矢量圖解法在消除轉(zhuǎn)子慣性力影響機(jī)械平衡中的應(yīng)用

余敏

（海軍士官學(xué)校，安徽 蚌埠 233012）

轉(zhuǎn)子在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，由于其質(zhì)量分布的不均勻而產(chǎn)生的與ω2成正比的離心慣性力，會(huì)對運(yùn)動(dòng)副產(chǎn)生附加動(dòng)載荷，從而引起一系列不良后果：（1）增加運(yùn)動(dòng)副的摩擦和構(gòu)件的內(nèi)應(yīng)力，降低機(jī)械效率和使用壽命；（2）呈周期性變化的慣性力（大小和方向），將引起機(jī)械及其基礎(chǔ)設(shè)施產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)，使機(jī)械的工作精度和可靠性下降，同時(shí)，會(huì)引起零件內(nèi)部材料的疲勞損壞，產(chǎn)生噪聲；（3）當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速等于或接近其臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，機(jī)械產(chǎn)生共振，不僅影響機(jī)械本身，還會(huì)使附近工作的機(jī)械以及基礎(chǔ)設(shè)施受到影響乃至破壞，甚至危及周圍人員和廠房建筑的安全。因此，在機(jī)械中，尤其對轉(zhuǎn)速較高的轉(zhuǎn)子，必須將這類離心慣性力予以平衡，以減小或消除由此產(chǎn)生的不良影響。

1 轉(zhuǎn)子慣性力及其特點(diǎn)

1.1 轉(zhuǎn)子

機(jī)械在運(yùn)動(dòng)過程中，除機(jī)架以外的其他構(gòu)件都要運(yùn)動(dòng)。這些運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)方式有三種：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、往復(fù)移動(dòng)和做平面復(fù)合運(yùn)動(dòng)。在機(jī)械中，將繞固定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的構(gòu)件稱為轉(zhuǎn)子，根據(jù)轉(zhuǎn)子在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中軸線是否產(chǎn)生彈性變形，可以將轉(zhuǎn)子分為剛性轉(zhuǎn)子和撓性轉(zhuǎn)子兩類。

（1）剛性轉(zhuǎn)子。轉(zhuǎn)子固有頻率較大、剛性較好、工作轉(zhuǎn)速v＜0.7ve1(第一臨界轉(zhuǎn)速)、運(yùn)轉(zhuǎn)中轉(zhuǎn)子軸線變形小。

（2）撓性轉(zhuǎn)子。轉(zhuǎn)子質(zhì)量大、跨度大、徑向尺寸較小、工作轉(zhuǎn)速v≥0.7ve1，運(yùn)轉(zhuǎn)中轉(zhuǎn)子軸線產(chǎn)生明顯變形。

1.2 轉(zhuǎn)子慣性力

當(dāng)轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不均勻，或由于制造誤差而造成質(zhì)心與回轉(zhuǎn)軸線不重合時(shí)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，將會(huì)產(chǎn)生離心慣性力。如圖1所示，偏心轉(zhuǎn)子P（m,r）產(chǎn)生的離心慣性力大小為F=mrω2，其中ω為轉(zhuǎn)子角速度。

1.3 轉(zhuǎn)子慣性力的特點(diǎn)

由F=mrω2可 知，ω↑→F↑。 在 圖1中， 若 轉(zhuǎn) 子P(G=10N)，r=1mm，ω=100πrad/s，則產(chǎn)生慣性力F=ma=Grω2/g=10×10-3×104π2/g≈100N。顯而易見：產(chǎn)生的慣性力是其自重的10倍，即此時(shí)轉(zhuǎn)子支承處的動(dòng)反力是靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的10倍；而若將其轉(zhuǎn)速增加1倍，則動(dòng)反力將增大到原來的4倍，是其自身重力的40倍。因此，在機(jī)械中，尤其對轉(zhuǎn)速較高的轉(zhuǎn)子，必須將這類離心慣性力予以平衡，這就是轉(zhuǎn)子的平衡問題。

圖1

2 轉(zhuǎn)子平衡的原理

為了完全或部分地消除慣性力對機(jī)械的不良影響，就必須研究慣性力的變化規(guī)律，設(shè)法將構(gòu)件的不平衡慣性力消除或減小，這就是轉(zhuǎn)子平衡的目的。轉(zhuǎn)子平衡分為剛性轉(zhuǎn)子的平衡和撓性轉(zhuǎn)子的平衡，其中，撓性轉(zhuǎn)子，其轉(zhuǎn)速增大→變形增大→離心慣性力增大→解決平衡問題難度增大，撓性轉(zhuǎn)子的平衡屬于專門學(xué)科研究的問題，本文不涉及。本文主要研究剛性轉(zhuǎn)子的平衡。

2.1 剛性轉(zhuǎn)子平衡的類型

（1）轉(zhuǎn)子靜平衡。在一般機(jī)械中，當(dāng)轉(zhuǎn)子的厚徑比L/D≤0.2時(shí)，可以將其視為圓盤狀，如圖2（a）所示。對這類軸向尺寸不大的轉(zhuǎn)子，可近似地認(rèn)為其不平衡質(zhì)量分布在同一回轉(zhuǎn)平面內(nèi)。當(dāng)轉(zhuǎn)速較低時(shí)，各偏心質(zhì)量mk所產(chǎn)生的慣性力形成的是平面匯交力系，但合力，使得轉(zhuǎn)子處于不平衡狀態(tài)。這種不平衡現(xiàn)象在轉(zhuǎn)子靜態(tài)時(shí)即可表現(xiàn)出來，故稱為靜不平衡。對此可采取平衡掉各偏心質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力的措施來達(dá)到平衡，這種平衡稱為轉(zhuǎn)子的靜平衡。

（2）轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡。對于厚徑比L/D＞0.2的轉(zhuǎn)子（圖2（b）所示），由于其軸向尺寸較大，其質(zhì)量沿軸線分布在若干個(gè)互相平行的回轉(zhuǎn)平面內(nèi)。當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速較高時(shí)，即使轉(zhuǎn)子的質(zhì)心S在回轉(zhuǎn)軸線上，但各偏心質(zhì)量所產(chǎn)生的慣性力不在同一回轉(zhuǎn)平面內(nèi)，以致形成慣性力矩，使得轉(zhuǎn)子處于不平衡狀態(tài)。這種不平衡，在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)情況下才能顯示出來，故稱為動(dòng)不平衡。對此，可以采取同時(shí)平衡掉各偏心質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力和慣性力矩的措施來達(dá)到平衡，這種平衡稱為轉(zhuǎn)子的動(dòng)平衡。

圖2 剛性轉(zhuǎn)子平衡的類型

表1

2.2 剛性轉(zhuǎn)子平衡的原理

轉(zhuǎn)子平衡是指繞固定軸線回轉(zhuǎn)構(gòu)件的慣性力和慣性力矩均平衡。通常采用配置質(zhì)量mb的方法來平衡轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的慣性力和慣性力矩，其平衡原理是基于理論力學(xué)中的力系平衡理論。由于動(dòng)平衡同時(shí)滿足靜平衡的條件，所以，達(dá)到動(dòng)平衡的轉(zhuǎn)子一定是靜平衡的，而達(dá)到靜平衡的轉(zhuǎn)子不一定是動(dòng)平衡的。

3 矢量圖解法在消除轉(zhuǎn)子慣性力影響機(jī)械平衡中的應(yīng)用

3.1 矢量圖解法

利用矢量圖來分析或解決某個(gè)物理量的大小、方向及變化趨勢的一種解題方法，稱為矢量圖解法。矢量圖解法具有直觀形象、簡單明了等優(yōu)點(diǎn)。其步驟是：（1）選定適當(dāng)?shù)谋壤?，用帶箭頭的線段代表矢量的大小和方向；（2）按矢量平行四邊形或多邊形法則對矢量進(jìn)行加法或減法；（3）依據(jù)選定的比例尺，從矢量多邊形圖中直接量出未知矢量的大小，同時(shí)獲得方向。

3.2 矢量圖解法在實(shí)現(xiàn)剛性轉(zhuǎn)子靜平衡中的應(yīng)用

3.3 矢量圖解法在實(shí)現(xiàn)剛性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡中的應(yīng)用

對于厚徑比L/D＞0.2的轉(zhuǎn)子，由于其軸向尺寸較大，其質(zhì)量沿軸線分布在若干個(gè)互相平行的回轉(zhuǎn)平面內(nèi)，各偏心質(zhì)量所產(chǎn)生的慣性力不在同一回轉(zhuǎn)平面內(nèi)，形成的是一個(gè)不匯交空間力系，同時(shí)，產(chǎn)生慣性力矩，此時(shí)，不平衡既有，又有。從理論上講，可以對每個(gè)回轉(zhuǎn)平面配置平衡質(zhì)量，但實(shí)際情況是：①實(shí)際結(jié)構(gòu)不允許在偏心質(zhì)量所在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)加減平衡配重；②由于轉(zhuǎn)子的軸向尺寸較大，僅靠在某一回轉(zhuǎn)平面內(nèi)加減平衡配重，即使達(dá)到了慣性力平衡，但還存在慣性力矩的不平衡。

圖3 轉(zhuǎn)子靜平衡矢量圖解法

解決轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡的辦法就是運(yùn)用理論力學(xué)的空間力系平衡理論：在轉(zhuǎn)子的適當(dāng)位置選取垂直于軸線的互相平行的兩個(gè)平衡基面（又稱校正面），將各不平衡質(zhì)量所產(chǎn)生的慣性力分解到校正面上（等效替代），則將原不匯交的空間力系轉(zhuǎn)化為平面匯交力系，從而將問題轉(zhuǎn)化為不平衡質(zhì)量分布在同一回轉(zhuǎn)平面內(nèi)的轉(zhuǎn)子靜平衡問題。矢量圖解法實(shí)現(xiàn)剛性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡的步驟如下：

（1）選擇基面，分解慣性力。如圖4所示，設(shè)有3個(gè)在不同回轉(zhuǎn)平面內(nèi)的偏心質(zhì)量m1、m2和m3。現(xiàn)選取兩個(gè)互相平行的平衡基面I面和II面，將mk產(chǎn)生的慣性力分解到I面()和II面()。于是，3個(gè)偏心質(zhì)量所產(chǎn)生的慣性力可以用集中在兩個(gè)平衡基面內(nèi)的各個(gè)慣性力分量代替，且代替前后由它們引起的不平衡完全相同。根據(jù)理論力學(xué)公式，有

圖4 轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡矢量圖解法

圖5 轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡矢量圖解

綜上所述，對于任何動(dòng)不平衡的剛性轉(zhuǎn)子，無論其不平衡質(zhì)量分布在多少個(gè)不同的平面內(nèi)，均可將其分解到任選的兩個(gè)垂直于軸線的平面I和II內(nèi)，且只需在I和II面內(nèi)各自配置平衡質(zhì)量，即可使該轉(zhuǎn)子達(dá)到完全平衡。因?yàn)閯?dòng)平衡需要選定兩個(gè)平衡基面，故稱為雙面平衡；而靜平衡只需要在一個(gè)平面內(nèi)配置平衡質(zhì)量即可，故靜平衡又稱為單面平衡。平衡基面可以根據(jù)回轉(zhuǎn)件的具體結(jié)構(gòu)選定，通常選擇回轉(zhuǎn)件的兩個(gè)端面。