基于頻率權(quán)重耦合模型的多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)爆發(fā)式同步

金彥亮,姚 林,王 雪,羅雪濤

(上海大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,上海 200444)

近幾年,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)逐漸成為熱門(mén)研究領(lǐng)域.生活中的很多現(xiàn)象,如生物體的運(yùn)作、電網(wǎng)、因特網(wǎng)系統(tǒng)的運(yùn)作及失效等問(wèn)題都可以抽象成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和系統(tǒng)進(jìn)行研究[1].復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型是一種由節(jié)點(diǎn)和連接節(jié)點(diǎn)的邊所組成的網(wǎng)絡(luò)模型,現(xiàn)實(shí)生活中的許多復(fù)雜系統(tǒng)都可以抽象成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究,因此在工程學(xué)、生物學(xué)、社會(huì)學(xué)和物理學(xué)等各個(gè)交叉領(lǐng)域中具有重要的地位[2-3].而同步是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中的一個(gè)重要分支,受到國(guó)內(nèi)外大量學(xué)者的關(guān)注.目前,該領(lǐng)域提出了幾種振子模型來(lái)研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的同步動(dòng)力學(xué)行為,常見(jiàn)的有Kuramoto 振子模型[4]、Lorenz 振子模型[5]以及FitzHugh[6]和Nagumo[7]提出的FHN(FitzHugh-Nagumo)振子模型等.

爆發(fā)式同步(explosive synchronization)現(xiàn)象在2011 年由G′omez-Gardenes 等[8]研究無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)同步現(xiàn)象時(shí)發(fā)現(xiàn),該現(xiàn)象指在同步化過(guò)程中,復(fù)雜系統(tǒng)從無(wú)序態(tài)到同步態(tài)的相變過(guò)程是不連續(xù)的一級(jí)相變過(guò)程.研究者們將這種動(dòng)力學(xué)行為命名為爆發(fā)式同步,此后便掀起了相關(guān)研究熱潮.Li等[9]研究了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征對(duì)爆發(fā)式同步產(chǎn)生的影響,發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)的度與節(jié)點(diǎn)自身的本征頻率呈正相關(guān)時(shí)會(huì)產(chǎn)生爆發(fā)式同步;Leyva等[10]研究了帶權(quán)重的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型上的爆發(fā)式同步現(xiàn)象;Zhang等[11]提出了一種以振子本征頻率的絕對(duì)值為耦合權(quán)重的新模型,將對(duì)爆發(fā)式同步現(xiàn)象的研究從無(wú)標(biāo)度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)推廣到了一般性的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).Zhou等[12]借助Kuramoto 頻率權(quán)重耦合模型,研究了振子本征頻率分布非對(duì)稱(chēng)情況下的爆發(fā)式同步現(xiàn)象.

目前,對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究大多是將復(fù)雜系統(tǒng)抽象成單個(gè)網(wǎng)絡(luò),而忽略了現(xiàn)實(shí)生活中不同復(fù)雜系統(tǒng)之間并非是獨(dú)立的.復(fù)雜系統(tǒng)之間常常存在著相互作用依賴(lài)關(guān)系,如計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中終端系統(tǒng)與服務(wù)器系統(tǒng)相互依存[13],電力基礎(chǔ)設(shè)施中通信網(wǎng)與電網(wǎng)的交互控制等[14].因此,對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究從之前的單一網(wǎng)絡(luò)逐漸開(kāi)始轉(zhuǎn)向多層網(wǎng)絡(luò),并逐漸成為近幾年的研究熱點(diǎn).Su等[15]研究了雙層共同演化網(wǎng)絡(luò)下的爆發(fā)式同步,得出了兩層網(wǎng)絡(luò)中相互依賴(lài)關(guān)系的強(qiáng)弱會(huì)影響爆發(fā)式同步現(xiàn)象的產(chǎn)生;Zhang等[16]采用局域同步序參量作為調(diào)節(jié)振子耦合強(qiáng)度的控制變量,將爆發(fā)式同步擴(kuò)展到了多層網(wǎng)絡(luò),并觀察到了一級(jí)相變過(guò)渡到二級(jí)相變的現(xiàn)象;Jiang等[17]利用社區(qū)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)作為外力作用層直接作用于另一層網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究其對(duì)爆發(fā)式同步的影響;Kachhvah等[18]利用二階Kuramoto 慣性模型研究了不同雙層網(wǎng)絡(luò)之間相互作用時(shí)對(duì)爆發(fā)式同步的影響.

單層網(wǎng)絡(luò)上爆發(fā)式同步現(xiàn)象的研究給出了臨界耦合強(qiáng)度[11],但對(duì)于多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生爆發(fā)式同步的臨界耦合強(qiáng)度還未有相關(guān)結(jié)論.因此,本工作提出了一種層間一對(duì)一相連的由Kuramoto 振子所組成的多層頻率權(quán)重耦合模型,并基于該模型研究了層間相互作用強(qiáng)度和網(wǎng)絡(luò)平均度對(duì)爆發(fā)式同步的影響,通過(guò)理論推導(dǎo)出了多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上爆發(fā)式同步的臨界耦合強(qiáng)度,最后通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.多層頻率權(quán)重耦合Kuromoto 模型的提出,有助于分析實(shí)際中各個(gè)領(lǐng)域的多層網(wǎng)絡(luò),例如由通信網(wǎng)和電網(wǎng)組成的智能電網(wǎng);服務(wù)器系統(tǒng)和終端系統(tǒng)所組成的計(jì)算機(jī)網(wǎng)以及生物系統(tǒng)中由不同分子組成的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等,這對(duì)于研究多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有很重要的意義.

1 Kuramoto 模型與同步判據(jù)

Kuramoto 模型是一種沒(méi)有振幅、只有相位的經(jīng)典相振子模型.網(wǎng)絡(luò)中的各個(gè)振子在未受到耦合作用時(shí)以各自的本征頻率獨(dú)立運(yùn)動(dòng),當(dāng)振子之間以某些方式發(fā)生耦合時(shí),系統(tǒng)便會(huì)隨著耦合作用的增強(qiáng)達(dá)到同步狀態(tài).對(duì)于由N 個(gè)Kuramoto 振子組成的復(fù)雜系統(tǒng),Kuramoto 耦合模型[8]為

式中:θi和ωi分別表示振子i 的相位和本征頻率;λ 為振子之間的相互耦合強(qiáng)度;Aij為網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣.

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步研究中,同步序參量R 是衡量整個(gè)系統(tǒng)中振子同步化的參量.對(duì)于N 個(gè)Kuramoto 振子的網(wǎng)絡(luò),序參量可定義為[8]

式中:ψ 為整個(gè)系統(tǒng)的平均相位.若把系統(tǒng)中所有振子的相位看作是分布在一個(gè)復(fù)平面單位圓上的點(diǎn),每個(gè)振子的相位可用一個(gè)單位向量eiθj表示.當(dāng)系統(tǒng)處于完全無(wú)序狀態(tài)時(shí),振子的相位均勻地分布在單位圓上,此時(shí)所有相位會(huì)相互抵消,R=0;隨著系統(tǒng)同步程度的增加,序參量R 也隨之增大;而當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到完全同步狀態(tài)時(shí),所有振子的單位向量均指向單位圓的某一點(diǎn)附近,此時(shí)序參量R=1.

為了進(jìn)一步觀察同步現(xiàn)象的細(xì)節(jié),可以通過(guò)計(jì)算振子在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的有效頻率來(lái)判定網(wǎng)絡(luò)同步化程度[8],

系統(tǒng)在未達(dá)到同步之前,每個(gè)振子會(huì)按照自身的本征頻率自由運(yùn)動(dòng),隨著同步程度增加直至完全同步時(shí),整個(gè)系統(tǒng)的有效頻率會(huì)變成系統(tǒng)的平均頻率.

2 多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)下的頻率權(quán)重耦合模型

本工作研究了兩層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的爆發(fā)式同步.如圖1 所示,每層網(wǎng)絡(luò)由N 個(gè)節(jié)點(diǎn)組成;λ 表示同一層內(nèi)節(jié)點(diǎn)之間的相互耦合作用強(qiáng)度;h 表示兩層網(wǎng)絡(luò)之間的相互作用強(qiáng)度.

圖1 由隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的雙層網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Topology structure of 2-layered network composed of random networks

對(duì)于由2N 個(gè)Kuramoto 振子所組成的雙層網(wǎng)絡(luò),本工作提出一種雙層頻率權(quán)重耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型,其動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中:i=1,2,···,N;下標(biāo)1 和2 分別表示兩層網(wǎng)絡(luò);λ 為層內(nèi)耦合強(qiáng)度;h 表示層間相互作用強(qiáng)度;ki,1和ki,2代表網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)振子自身的度;ωi,1和ωi,2為振子的本征頻率;Mij表示多層網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣M 中的元素.M 定義為

式中:A1和A2分別表示第一層網(wǎng)絡(luò)和第二層網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣,若節(jié)點(diǎn)i 和j 間存在相互耦合作用,則兩層網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣元素Aij=1,反之Aij=0;I 表示單位矩陣,表示網(wǎng)絡(luò)層與層之間是一對(duì)一相連的相互作用.為便于理論分析,兩層網(wǎng)絡(luò)均采用相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),兩層網(wǎng)絡(luò)振子的本征頻率分布采用同一種對(duì)稱(chēng)的鐘形曲線(xiàn)分布,這樣只需要研究其中一層網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)演化同步行為,并且隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)振子自身的度可以通過(guò)平均度〈k〉來(lái)代替.因此,兩層網(wǎng)絡(luò)的頻率權(quán)重耦合模型方程可表示為同一方程,

式中:P(k)為網(wǎng)絡(luò)的度分布;ρ(k;θ,t)為網(wǎng)絡(luò)振子相位的概率密度.非全連網(wǎng)下的序參量可定義為

根據(jù)自洽理論分析,利用平均場(chǎng)思想[20]將式(8)代入式(7)中可改寫(xiě)成如下平均場(chǎng)形式:

定義振子相位與網(wǎng)絡(luò)平均相位的相位差為?θi=θi?ψ,則平均場(chǎng)方程(9)可變?yōu)?/p>

由式(11)可知,相位差的正負(fù)與振子本征頻率的正負(fù)相同,且隨著耦合強(qiáng)度的增大逐步趨向于0.由于振子本征頻率分布是關(guān)于0 對(duì)稱(chēng)的鐘形分布,因此網(wǎng)絡(luò)振子的相位僅與本征頻率的正負(fù)有關(guān),而與具體數(shù)值無(wú)關(guān).由此,序參量的計(jì)算方程可改寫(xiě)為[9]

式中:?θ+和?θ?分別表示本征頻率為正負(fù)時(shí)的同步團(tuán)相位.將式(11)代入式(12)中可得,

進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得到關(guān)于序參量R 的一元四次方程為

通過(guò)穩(wěn)定性分析,可得出方程(14)存在非0 解時(shí)耦合強(qiáng)度λ 的范圍,

由此可得產(chǎn)生爆發(fā)式同步時(shí)的臨界耦合強(qiáng)度為

由式(16)可知,爆發(fā)式同步的臨界耦合強(qiáng)度λc與網(wǎng)絡(luò)層間的相互作用強(qiáng)度h 和網(wǎng)絡(luò)的平均度〈k〉有關(guān).當(dāng)層間相互作用強(qiáng)度為0 時(shí),特例λc=2 便是單層網(wǎng)絡(luò)下本征頻率權(quán)重耦合模型產(chǎn)生爆發(fā)式同步時(shí)后項(xiàng)相變的臨界耦合強(qiáng)度.通過(guò)方程(14)可得到序參量R 與耦合強(qiáng)度λ的關(guān)系為

由式(17)可以看出,R 與振子本征頻率分布的具體函數(shù)沒(méi)有任何關(guān)系,只要本征頻率分布是關(guān)于0 對(duì)稱(chēng)的分布,產(chǎn)生爆發(fā)式同步的相變臨界點(diǎn)就在λc=2(1+h/〈k〉)處.

3 數(shù)值模擬結(jié)果

為驗(yàn)證上述理論的正確性,本工作對(duì)雙層頻率權(quán)重耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了數(shù)值仿真驗(yàn)證.實(shí)驗(yàn)采用復(fù)雜隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中具有代表性的ER(Erdos-Renyi)網(wǎng)絡(luò)作為網(wǎng)絡(luò)模型.網(wǎng)絡(luò)中振子的本征頻率需采用單峰對(duì)稱(chēng)的鐘形分布,因此選取洛倫茲分布(g(ω)=,ω0=0,γ=1)作為振子的本征頻率分布,振子的初始相位為隨機(jī)大小.當(dāng)層間相互作用強(qiáng)度h 取不同數(shù)值時(shí),使用四階-龍格庫(kù)塔算法分別對(duì)前后項(xiàng)相變的兩個(gè)過(guò)程計(jì)算穩(wěn)態(tài)值R(λ),其中前項(xiàng)相變的耦合強(qiáng)度λ 由λ0,λ0+?λ,λ0+2?λ,···,λ0+n?λ 逐漸增加;反之,后項(xiàng)相變則由λ0+n?λ 按對(duì)應(yīng)耦合步長(zhǎng)?λ 逐漸減小到λ0.本工作參照文獻(xiàn)[8]中的仿真參數(shù),選取耦合步長(zhǎng)?λ=0.02.在對(duì)每個(gè)λ 值計(jì)算相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值時(shí),需演化足夠長(zhǎng)的時(shí)間后拋去暫態(tài),并對(duì)穩(wěn)態(tài)的一段時(shí)間T 內(nèi)取平均值,因此仿真中選取演化時(shí)間步長(zhǎng)?t=0.001,演化時(shí)間為5 000 時(shí)間步,穩(wěn)態(tài)時(shí)間T=2 000[16].仿真實(shí)驗(yàn)具體步驟如下.

步驟1 選定網(wǎng)絡(luò)振子的本征頻率分布和初始相位;

步驟2 設(shè)定層內(nèi)耦合強(qiáng)度λ 的取值范圍、網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉和層間相互作用強(qiáng)度h 的大小;

步驟3 設(shè)定λ 的步長(zhǎng)?λ 并進(jìn)行該耦合強(qiáng)度值下的動(dòng)態(tài)演化,待演化足夠長(zhǎng)時(shí)間后取平均時(shí)間T 記錄穩(wěn)態(tài);

步驟4 計(jì)算出當(dāng)前耦合強(qiáng)度λ 的穩(wěn)態(tài)后,再將該穩(wěn)態(tài)作為下一個(gè)新的耦合強(qiáng)度λ+?λ情況的初態(tài)進(jìn)行步驟3 的迭代;

步驟5 重復(fù)迭代步驟3 和4 并依次進(jìn)行前項(xiàng)和后項(xiàng)同步相變的數(shù)值模擬,最后得出理論和仿真的擬合曲線(xiàn).

圖2 給出了平均度〈k〉=98.87 的ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)在不同層間相互作用強(qiáng)度h 下,序參量隨耦合強(qiáng)度變化的同步相變圖,圖中R1F,R1B,R2F和R2B分別表示兩層網(wǎng)絡(luò)前項(xiàng)和后項(xiàng)的同步序參量.可以看出,圖(a)～(d)中均出現(xiàn)了明顯的磁滯回線(xiàn),兩層網(wǎng)絡(luò)隨耦合強(qiáng)度的變化均產(chǎn)生了爆發(fā)式同步現(xiàn)象,且爆發(fā)式同步相變的臨界點(diǎn)也發(fā)生了偏移,這說(shuō)明層間相互作用強(qiáng)度h 的變化對(duì)爆發(fā)式同步造成了一定的影響.當(dāng)h 取0,20,40 和60 時(shí),后項(xiàng)相變的臨界耦合強(qiáng)度值λc分別在1.96,2.36,2.76 和3.18 處,即隨著h 的增大λc變大.該結(jié)果表明在多層網(wǎng)絡(luò)的爆發(fā)式同步中,層間相互作用強(qiáng)度的增大會(huì)在一定程度上阻礙爆發(fā)式同步的產(chǎn)生.

圖2 不同層間相互作用強(qiáng)度下序參量隨耦合強(qiáng)度變化的同步相變圖Fig.2 Synchronous phase transition diagram of order parameter variation with coupling strength under different inter-layer interaction strength

為進(jìn)一步研究臨界耦合強(qiáng)度與層間相互作用強(qiáng)度的關(guān)系,圖3 給出了產(chǎn)生爆發(fā)式同步時(shí)的臨界耦合強(qiáng)度λc和層間相互作用強(qiáng)度h 的關(guān)系,圖中紅色曲線(xiàn)為理論結(jié)果(λc=2(1+h/98.87)),藍(lán)色圓圈代表層間相互作用強(qiáng)度h 在0～100 間每間隔10 取值時(shí),通過(guò)數(shù)值仿真得到的臨界耦合強(qiáng)度λc,可以看出λc和h 呈線(xiàn)性遞增關(guān)系.由表1 可以看到,仿真結(jié)果與理論數(shù)值之間的誤差特別小,這說(shuō)明實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析的結(jié)果相吻合,驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.

圖3 臨界耦合強(qiáng)度隨層間相互作用強(qiáng)度變化下理論結(jié)果與數(shù)值仿真的對(duì)比Fig.3 Comparison of theoretical results and numerical simulations that critical coupling strength variation with inter-layer interaction strength

表1 層間相互作用影響下臨界耦合強(qiáng)度λc 理論值與實(shí)驗(yàn)值的誤差Table 1 Deviation between the theoretical value and the experimental value of the critical coupling strength λc under the influence of inter-layer interaction strength

為進(jìn)一步觀察爆發(fā)式同步動(dòng)力學(xué)行為的細(xì)節(jié),本工作采用其中一層的有效頻率對(duì)后項(xiàng)相變的同步相變情況進(jìn)行表征分析.圖4 給出了層間相互作用強(qiáng)度不變時(shí)不同平均度下有效頻率隨耦合強(qiáng)度λ 的后項(xiàng)同步相變情況.圖4(a)～(d)中h=50,平均度〈k〉分別為39.92,60.03,79.94 和100.11.可以看出,當(dāng)耦合強(qiáng)度大于臨界值時(shí),所有振子的有效頻率演變?yōu)檎麄€(gè)系統(tǒng)的平均頻率〈ω〉,因網(wǎng)絡(luò)本征頻率采用的是對(duì)稱(chēng)的鐘形分布,故圖中〈ω〉 ≈0.當(dāng)耦合強(qiáng)度逐漸減小到同步臨界值時(shí),網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)振子的有效頻率突然從整個(gè)系統(tǒng)的平均頻率轉(zhuǎn)變?yōu)樽陨淼谋菊黝l率自由運(yùn)動(dòng),整個(gè)系統(tǒng)從同步鎖頻態(tài)瞬間變成混亂無(wú)序態(tài),并且可以看出是一個(gè)不連續(xù)的變化狀態(tài),這說(shuō)明產(chǎn)生了爆發(fā)式同步.由圖4(a)～(d)還可以看出,臨界耦合強(qiáng)度λc分別在4.62,3.64,3.20 和2.98 處,與平均度〈k〉呈遞減關(guān)系.這說(shuō)明在層間相互作用強(qiáng)度一定的情況下,網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉越大越能促進(jìn)爆發(fā)式同步的產(chǎn)生.

圖4 不同網(wǎng)絡(luò)平均度下有效頻率隨耦合強(qiáng)度向后項(xiàng)相變變化的同步相變圖Fig.4 Synchronous phase transition diagram that effective frequency variation with coupling strength of backward phase transition in different average degree of networks

同樣,為了體現(xiàn)臨界耦合強(qiáng)度隨網(wǎng)絡(luò)平均度變化的關(guān)系,圖5 給出了臨界耦合強(qiáng)度λc與網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉的關(guān)系,紅色曲線(xiàn)為理論結(jié)果(λc=2(1+50/〈k〉)),藍(lán)色星號(hào)代表網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉在20～120 間大致每間隔10 取值時(shí)數(shù)值仿真得到的λc.從圖中可以明顯觀察到,臨界耦合強(qiáng)度隨著網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉的增大而減小.表2 給出了不同網(wǎng)絡(luò)平均度下理論值與實(shí)驗(yàn)值的絕對(duì)誤差,可以看出隨著網(wǎng)絡(luò)平均度的增大,實(shí)驗(yàn)值逐漸接近理論值,這是由于系統(tǒng)漲落與網(wǎng)絡(luò)平均度呈負(fù)相關(guān),當(dāng)網(wǎng)絡(luò)平均度越大時(shí),仿真結(jié)果會(huì)越來(lái)越接近理論結(jié)果[19].這說(shuō)明通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論中臨界耦合強(qiáng)度與網(wǎng)絡(luò)平均度呈反比關(guān)系的結(jié)論.

表2 不同網(wǎng)絡(luò)平均度下臨界耦合強(qiáng)度λc 理論值與實(shí)驗(yàn)值的誤差Table 2 Deviation between the theoretical value and the experimental value of the critical coupling strength λc under the different average degree of networks

圖5 臨界耦合強(qiáng)度隨網(wǎng)絡(luò)平均度變化時(shí)理論結(jié)果和數(shù)值仿真的對(duì)比Fig.5 Comparison of theoretical results and numerical simulations that critical coupling strength variation with average degree of networks

在上述仿真分析中,只考慮了兩層隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的情況.為驗(yàn)證模型在多層網(wǎng)絡(luò)上的普適性,可以將雙層模型推廣到多層網(wǎng)絡(luò),并通過(guò)類(lèi)似理論分析得出多層網(wǎng)絡(luò)上的臨界耦合強(qiáng)度λc=2(1+).結(jié)果發(fā)現(xiàn)與兩層網(wǎng)絡(luò)情況類(lèi)似,臨界耦合強(qiáng)度只由層間相互作用強(qiáng)度和網(wǎng)絡(luò)平均度共同決定,并不受網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的影響.圖6 展示了實(shí)驗(yàn)仿真中臨界耦合強(qiáng)度λc隨網(wǎng)絡(luò)層數(shù)m 的變化情況,其中紅色實(shí)線(xiàn)代表h=40,〈k〉=98.87 時(shí)的理論曲線(xiàn),藍(lán)色圓點(diǎn)代表不同層數(shù)下的臨界耦合強(qiáng)度值.可以發(fā)現(xiàn),隨著網(wǎng)絡(luò)層數(shù)m 的增加,臨界耦合強(qiáng)度λc基本維持在理論值附近,并不隨網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的增加而變化.這說(shuō)明實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出模型在多層網(wǎng)絡(luò)上的普適性.

圖6 臨界耦合強(qiáng)度隨網(wǎng)絡(luò)層數(shù)變化時(shí)理論結(jié)果和數(shù)值仿真的對(duì)比Fig.6 Comparison of theoretical results and numerical simulations that critical coupling strength variation with number of network layers

4 結(jié)束語(yǔ)

本工作利用Kuramoto 振子所組成的多層頻率權(quán)重耦合模型研究了多層網(wǎng)絡(luò)上的爆發(fā)式同步這一集體動(dòng)力學(xué)行為,并得出了多層網(wǎng)絡(luò)上產(chǎn)生爆發(fā)式同步的臨界耦合強(qiáng)度.通過(guò)理論分析,發(fā)現(xiàn)臨界耦合強(qiáng)度由層間相互作用強(qiáng)度和網(wǎng)絡(luò)平均度共同決定.在網(wǎng)絡(luò)平均度固定的情況下,增大層間相互作用強(qiáng)度會(huì)在一定程度上阻礙爆發(fā)式同步的產(chǎn)生;同理,保持層間相互作用強(qiáng)度不變,網(wǎng)絡(luò)平均度越大越容易產(chǎn)生爆發(fā)式同步;而增加網(wǎng)絡(luò)層數(shù)并不影響爆發(fā)式同步的產(chǎn)生.上述結(jié)論對(duì)于研究現(xiàn)實(shí)生活中多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的產(chǎn)生和控制具有重要的指導(dǎo)意義.