基于屈曲分析的連桿截面參數(shù)優(yōu)化

郭旭陽，陳宇，徐琳，韋靜思，占文鋒

(廣州汽車集團(tuán)股份有限公司廣汽工程研究院，廣東 廣州 511434)

發(fā)動機(jī)工作過程中，連桿主要承受氣體壓力和慣性力交變負(fù)荷，因此，在設(shè)計連桿時，首先要保證其有足夠的疲勞強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)剛度。桿身剛度不足時，在壓縮載荷作用下，會引起平行和垂直于曲軸軸線平面內(nèi)的彎曲，制造連桿時，如有初始彎曲和偏心，以上情況會加劇[1]。

為了增加連桿的強(qiáng)度和剛度，不能簡單加大結(jié)構(gòu)尺寸，因為連桿質(zhì)量的增加使慣性力相應(yīng)增加。因此，對于連桿的設(shè)計，要求在盡可能輕巧的結(jié)構(gòu)尺寸下保證足夠的剛度和強(qiáng)度[2]。

在高性能發(fā)動機(jī)的開發(fā)中，燃?xì)馊紵龎毫Τ手饾u上升趨勢，邊界條件越來越苛刻，對連桿強(qiáng)度和剛度提出很大的挑戰(zhàn)。同時，由于排放法規(guī)收嚴(yán)和降油耗目標(biāo)，要求盡量減小曲柄連桿機(jī)構(gòu)質(zhì)量，實現(xiàn)輕量化設(shè)計。傳統(tǒng)的經(jīng)驗優(yōu)化設(shè)計已不能滿足輕量化設(shè)計需求，如何采用參數(shù)化的優(yōu)化方法，在指定條件下獲得最優(yōu)設(shè)計方案尤為重要。

連桿疲勞危險位置主要在大小頭過渡區(qū)域，其優(yōu)化方法一般為局部形狀優(yōu)化，對質(zhì)量影響較小，研究較為成熟。而屈曲變形發(fā)生在桿身部位，桿身連接大小頭端，其方案設(shè)計對質(zhì)量影響很大，國內(nèi)研究較少。為了在較小質(zhì)量下得到較大的剛度，高速內(nèi)燃機(jī)的連桿桿身的斷面都是“工”字形的，而且其長軸應(yīng)在連桿擺動平面內(nèi)。這是由于連桿在擺動平面內(nèi)上下兩端的連接相當(dāng)于鉸支，而在垂直連桿擺動平面內(nèi)上下兩端的連接相當(dāng)于兩端固定的壓桿[3]。有文獻(xiàn)指出，減小工字梁翼板和腹板的厚度可提高抗屈曲性能，腹板最小厚度2.3 mm[4]，但缺少具體理論和計算分析。有學(xué)者進(jìn)行了考慮桿身屈曲優(yōu)化的研究，但沒有具體方法和指標(biāo)說明[5-6]。

本研究以某高強(qiáng)度汽油機(jī)連桿為例，采用試驗設(shè)計(DOE)方法開展工字梁結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性分析，提取對質(zhì)量和屈曲貢獻(xiàn)度大的參數(shù)，進(jìn)行基于NLPQL算法的參數(shù)優(yōu)化，實現(xiàn)連桿的最優(yōu)輕量化設(shè)計。

1 理論分析

1.1 壓桿屈曲理論

壓桿屈曲計算根據(jù)柔度值分為大柔度桿、中柔度桿、小柔度桿，并采用不同的計算公式[7]。

1) 當(dāng)λ≥λp時，壓桿為長柔度桿，采用Eular公式：

(1)

2) 當(dāng)λs≤λ<λp時，壓桿為中柔度桿，多采用經(jīng)驗公式：

σcr=a-bλ。

(2)

3) 當(dāng)λ<λs時，壓桿小柔度桿，按強(qiáng)度條件進(jìn)行計算：

σcr=σs。

(3)

對于小柔度桿，其受到的破壞是由于壓應(yīng)力達(dá)到屈服極限而引起的，因此，采用屈服強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行計算。

1.2 Neuber理論

連桿截面應(yīng)力直接計算結(jié)果為線彈性應(yīng)力應(yīng)變，采用Neuber方程將其轉(zhuǎn)化為彈塑性狀態(tài)應(yīng)力應(yīng)變。構(gòu)件局部區(qū)域在大載荷作用下進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，應(yīng)力應(yīng)變不再是線性關(guān)系，此時需考慮塑性應(yīng)變影響。將彈性的應(yīng)力應(yīng)變轉(zhuǎn)化為彈塑性應(yīng)力應(yīng)變，工程上普遍采用Neuber法或Neuber修正法[8-9]。Neuber提出的計算缺口的根部彈塑性應(yīng)力應(yīng)變方程為

(4)

式中：KT為理論應(yīng)力集中系數(shù)；Kσ=σ/S為應(yīng)力集中系數(shù)，σ為缺口根部的局部應(yīng)力，S為名義應(yīng)力，當(dāng)構(gòu)件處于彈性狀態(tài)時，Kσ=KT；Kε=ε/e為應(yīng)變集中系數(shù)，ε為缺口根部的局部應(yīng)變，e為名義應(yīng)變。當(dāng)構(gòu)件處于彈性狀態(tài)時，

(5)

名義應(yīng)力和名義應(yīng)變之間為彈性關(guān)系，S=Ee，代入式(4)得：

(6)

式中：C為Neuber常數(shù)；E為彈性模量。

本研究通過壓縮試驗獲得連桿材料真實的應(yīng)力應(yīng)變曲線，根據(jù)式(4)將計算所得的名義應(yīng)力轉(zhuǎn)化為彈塑性狀態(tài)下的局部應(yīng)力(見圖1)。

圖1 材料應(yīng)力轉(zhuǎn)換曲線

1.3 NLPQL參數(shù)優(yōu)化算法

NLPQL(序列二次規(guī)劃)算法具有穩(wěn)健性好、優(yōu)化效率高的優(yōu)點，是求解帶有約束的非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問題最有效的方法，在實際工程設(shè)計問題中應(yīng)用廣泛。將目標(biāo)函數(shù)以二級泰勒級數(shù)展開，并把約束條件線性化，通過解二次規(guī)劃得到下一個設(shè)計點。然后根據(jù)兩個可供選擇的優(yōu)化函數(shù)執(zhí)行一次線性搜索，其中Hessian矩陣由BFGS公式更新[10]。

尋找x=(x1,x2,…xn)，

設(shè)計變量

使得F(x)最小，

目標(biāo)函數(shù)

gi(x)=0i∈E={1,2,…me}，

等式約束

gi(x)≥0i∈I={me+1,…m}，

不等式約束

xl≤x≤xu。

邊界約束

作為一種迭代算法，NLPQLP是在每次迭代中求解一個對原問題近似的二次規(guī)劃子問題。子問題的目標(biāo)函數(shù)是原問題的Lagrange函數(shù)的二次近似，約束條件是原問題約束函數(shù)的線性近似：

gi(xk)Td+gi(xk)=0i∈E，
gi(xk)Td+gi(xk)≥0i∈I，
xl-xk≤d≤xu-xk。

為了讓算法更加穩(wěn)定，尤其是在起始點X0不理想的情況下，要保證達(dá)到全局收斂，在NLPQL中應(yīng)用了附加線性搜索，算法穩(wěn)定。

2 參數(shù)優(yōu)化模型

2.1 設(shè)計變量

根據(jù)連桿桿身結(jié)構(gòu)設(shè)計特點，對工字梁的截面進(jìn)行參數(shù)化：翼板寬度A1,翼板厚度B1，腹板寬度A2,腹板厚度B2，過渡圓角半徑R1、R2、R3，拔模角α，共8個設(shè)計變量(見圖2)。

圖2 連桿截面參數(shù)

受鍛造工藝影響，拔模角不可變更，本研究不考慮拔模角的影響。確定設(shè)計范圍需要考慮以下因素：截面兩壁過薄或圓角過小，容易導(dǎo)致鑄造過程桿身邊緣出現(xiàn)裂紋；翼板寬度A1和翼板厚度B1不能過大，保證連桿運(yùn)動包絡(luò)不受干涉。本研究以開發(fā)中的某汽油機(jī)連桿為研究對象，參數(shù)設(shè)計見表1。

表1 連桿截面優(yōu)化設(shè)計參數(shù)

2.2 優(yōu)化目標(biāo)及約束

連桿的截面設(shè)計直接影響抗屈曲能力和輕量化水平。屈曲與截面面積及慣性矩相關(guān)，桿身質(zhì)量與截面面積直接相關(guān)。桿身截面面積A，慣性矩Ix和Iy與設(shè)計變量之間的關(guān)系通過編程獲得。

截面設(shè)計優(yōu)化的目標(biāo)是在保證不發(fā)生屈曲條件下，連桿桿身質(zhì)量最輕。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

安全系數(shù)SF表征抗屈曲能力的大小。連桿屈曲計算方法需要根據(jù)柔度確定連桿類型。按照表1中初始設(shè)計方案計算連桿擺動平面和垂直擺動平面柔度，計算結(jié)果見表2。由表2可見，連桿為小柔度桿，需要按照屈服強(qiáng)度準(zhǔn)則計算屈曲，并且垂直擺動平面的柔度略大于擺動平面柔度，風(fēng)險更大。根據(jù)尺寸鏈公差計算得到曲柄連桿機(jī)構(gòu)沿活塞軸線的最大偏心量。偏心量的存在會大大減小連桿垂直擺動平面屈曲臨界載荷。因此本研究進(jìn)行了垂直擺動平面的屈曲研究，并考慮偏心量的作用。

表2 柔度計算結(jié)果

由于連桿為小柔度桿，高燃燒壓力導(dǎo)致的高應(yīng)力水平作用使得桿身薄弱區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變不再呈線性關(guān)系。如直接采用線性分析則誤差較大，通過Neuber法將彈性應(yīng)力轉(zhuǎn)化為彈塑性應(yīng)力，屈曲安全系數(shù)的計算公式如下：

(7)

式中：σs為材料屈服強(qiáng)度；σe-p為連桿截面彈塑性狀態(tài)應(yīng)力，需要把計算出的彈性應(yīng)力經(jīng)過Neuber公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：

(8)

(9)

(10)

式中：e為偏心量；Ix為對X軸慣性矩；D為發(fā)動機(jī)缸徑；Pmax為最大屈曲燃燒壓力。在此邊界條件下，屈曲安全系數(shù)要求不小于1.1。

3 敏感性分析及優(yōu)化

3.1 敏感性分析

影響連桿屈曲性能的主要參數(shù)包括材料壓縮彈性模量、泊松比、應(yīng)力應(yīng)變曲線、連桿截面尺寸和桿長。連桿材料為46MnVS5，為提高計算精度，從連桿本體取樣獲取試棒進(jìn)行軸向壓縮試驗，得到材料壓縮彈性模量(203 GPa)和應(yīng)力應(yīng)變曲線(見圖3)。0.2%塑性應(yīng)變對應(yīng)的屈服強(qiáng)度取5個試棒結(jié)果的平均值，為750 MPa。

圖3 連桿材料性能

首先對參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，根據(jù)計算結(jié)果判斷各個參數(shù)對屈曲的貢獻(xiàn)度。各設(shè)計參數(shù)的上下限按照表1給出的邊界確定為高水平和低水平，并取中間值作為中間水平。七因子三水平的全因子正交試驗需要進(jìn)行L2187(37)次試驗，試驗次數(shù)多，計算量大。為提高計算效率，減少試驗次數(shù)，并使正交表盡量覆蓋保證計算精度，采用L27(37)的田口正交設(shè)計，分別計算截面上最大彈塑性應(yīng)力和截面面積，并對結(jié)果進(jìn)行主效應(yīng)和敏感度分析。

從圖4應(yīng)力主效應(yīng)圖看出，隨參數(shù)A1，B1，R1，R2水平增加應(yīng)力減小，隨參數(shù)A2，B2增加應(yīng)力增大，隨參數(shù)R3水平增加應(yīng)力先增大后減小。從圖5面積主效應(yīng)圖看出，隨參數(shù)A1，B1，B2，R1水平增加面積增大，隨參數(shù)A2，R2，R3水平增加面積減小。說明增大翼板厚度和寬度可以減小應(yīng)力，提升抗屈曲能力，但會使質(zhì)量增加很多；而增大腹板寬度可以減重，但會使應(yīng)力提升。

圖4 應(yīng)力主效應(yīng)圖

圖5 面積主效應(yīng)圖

從圖6和圖7敏感性結(jié)果看出，A1，B1，A2，R3這4個因素對屈曲應(yīng)力較敏感，R1，R2和B2對屈曲應(yīng)力不敏感，而A1，B1，A2 這3個因素對面積較敏感。故優(yōu)化過程中重點考慮A1，B1，A2，R3 4個因素的影響。

圖6 應(yīng)力敏感性結(jié)果

圖7 面積敏感性結(jié)果

3.2 連桿截面優(yōu)化

為了追求輕量化設(shè)計，連桿初始截面尺寸設(shè)計較激進(jìn)，不滿足屈曲要求，工作過程中當(dāng)燃燒壓力較大時連桿存在桿身壓彎的風(fēng)險。因此，需要對截面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，使其既滿足屈曲要求，又滿足質(zhì)量要求。根據(jù)敏感性分析結(jié)果，對A1，A2，B1，R3進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化?？紤]到建模和鍛造要求，取B2=2.65 mm，R1=3 mm，R2=1.5 mm。A1限值為[19，22]，B1限值為[12，14.2]，A2限值為[9，12]，R3限值為[1.5，3]。

為研究不同參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)和約束指標(biāo)的影響，采用最優(yōu)超拉丁方設(shè)計獲取30組關(guān)于4個參數(shù)與安全系數(shù)和截面積的試驗數(shù)據(jù)，構(gòu)建二次響應(yīng)面模型。設(shè)截面積為y1，屈曲安全系數(shù)為y2，A1，A2，B1，R3截面參數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，其響應(yīng)面模型為

y1=6.16+2.65x2-0.49x3-
0.76x42+x1x3-x2x3，

(11)

y2=0.01(160.71-8.16x1+7.37x2-7.29x3+
2.89x4+0.17x12+0.13x22+0.15x32-
0.2x42-0.29x1x2+0.54x1x3-0.13x1x4-
0.5x2x3+0.09x2x4-0.09x3x4)。

(12)

優(yōu)化目標(biāo)y1和約束指標(biāo)y2隨4個截面參數(shù)的變化情況見圖8和圖9。由圖可見，隨翼板寬度A1和翼板厚度B1增大，屈曲安全系數(shù)顯著增加，但面積也顯著增加；隨腹板寬度A2和翼板外側(cè)過渡圓角R3增大，屈曲安全系數(shù)降低，但面積有所減小。提升截面抗屈曲能力可通過增大A1，B1，減小A2，R3實現(xiàn)；輕量化設(shè)計可通過減小A1，B1，增大A2，R3實現(xiàn)。

圖8 面積隨截面參數(shù)變化情況

圖9 屈曲安全系數(shù)隨截面參數(shù)變化情況

采用Isight搭建模型(見圖10)，優(yōu)化目標(biāo)為截面面積最小，約束指標(biāo)為屈曲安全系數(shù)達(dá)到1.1。

圖10 Isight參數(shù)優(yōu)化模型

優(yōu)化算法選擇NLPQLP，最大迭代次數(shù)設(shè)置為50次，計算迭代過程見圖11。迭代次數(shù)達(dá)到20次時得到了最優(yōu)解，應(yīng)用該優(yōu)化算法收斂速度快、穩(wěn)健性好。

圖11 迭代過程

優(yōu)化前后的計算結(jié)果見表3。對比優(yōu)化前后計算結(jié)果，在約束邊界條件下，優(yōu)化計算通過減小A1，A2，增大B1和保持R3不變，將安全系數(shù)從優(yōu)化前的1.05提高到優(yōu)化后的1.1，提升約5%，截面積(S)略有增加，既保證了抗屈曲性能，又達(dá)到輕量化設(shè)計要求。如按照經(jīng)驗設(shè)計，一般通過加大截面尺寸提高截面抗屈曲能力，但會使連桿質(zhì)量大大增加。

表3 優(yōu)化前后結(jié)果對比

4 連桿屈曲有限元分析

為驗證截面優(yōu)化的有效性，對連桿基于截面進(jìn)行重構(gòu)設(shè)計，對優(yōu)化前和優(yōu)化后的連桿進(jìn)行屈曲仿真分析。仿真模型既考慮截面、長度等尺寸設(shè)計的影響，同時考慮沿活塞銷周向偏心量作用。優(yōu)化前后連桿模型長度未變化，僅截面及大小頭過渡區(qū)域發(fā)生變化，因此通過有限元分析可以評估截面抗屈曲能力?；贏baqus中的Riks分析步進(jìn)行，有限元模型包括活塞銷、襯套、連桿、軸瓦、螺栓，網(wǎng)格單元類型為C3D10M，大頭孔中心點與軸瓦內(nèi)側(cè)120°面剛性耦合，約束大頭孔中心點。有限元仿真模型見圖12。

圖12 有限元仿真模型

輸出大頭孔中心點支反力轉(zhuǎn)化為缸內(nèi)壓力值，以此作為Y軸，取連桿截面PEEQ最大位置的塑性應(yīng)變作為X軸，計算結(jié)果及連桿屈曲形態(tài)見圖13。由圖13可見，優(yōu)化前連桿屈服對應(yīng)的壓力為19.6 MPa，失穩(wěn)對應(yīng)的極限壓力為20.8 MPa；優(yōu)化后連桿屈服對應(yīng)的壓力為 22.4 MPa，失穩(wěn)對應(yīng)的極限壓力為24.1 MPa。優(yōu)化后，連桿抗屈服能力提升了14%，抗極限失穩(wěn)能力提升了16%，連桿的抗屈曲能力大幅提高，驗證了截面參數(shù)優(yōu)化的有效性。

圖13 有限元屈曲結(jié)果

5 結(jié)論

a) 采用試驗設(shè)計可快速識別出對屈曲應(yīng)力和截面面積敏感的參數(shù)，篩選出貢獻(xiàn)度大的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計算，大幅提高了優(yōu)化效率；

b) 利用Isight搭建基于A1，B1，A2，R3共4個參數(shù)的優(yōu)化模型，以NLPQLP優(yōu)化算法計算得到最優(yōu)方案，定量地實現(xiàn)屈曲安全系數(shù)達(dá)到1.1和質(zhì)量最小的目標(biāo)；提出的優(yōu)化方法實現(xiàn)了連桿設(shè)計從定性分析到定量分析的轉(zhuǎn)換；

c) 對優(yōu)化前后的連桿進(jìn)行Riks屈曲仿真計算，結(jié)果表明，優(yōu)化后連桿抗屈服能力提升了14%，抗極限失穩(wěn)能力提升了16%，連桿的抗屈曲能力大幅提高，驗證了截面參數(shù)優(yōu)化方法的有效性；連桿屈曲優(yōu)化分析方法在概念設(shè)計階段應(yīng)用，對于實現(xiàn)連桿輕量化設(shè)計，預(yù)防屈曲問題具有積極有效的指導(dǎo)意義。