基于分?jǐn)?shù)階非線性各向異性擴(kuò)散的圖像去霧算法

吳 緒 玲

(西南交通大學(xué)希望學(xué)院信息工程系 四川 成都 610400)

0 引 言

隨著戶外計算機(jī)視覺系統(tǒng)在城市交通、自主導(dǎo)航和遙感探測等方面的應(yīng)用越來越多，人們對監(jiān)控系統(tǒng)拍攝出來的圖像清晰度的要求也越來越高[1]。但是，在真實情況下獲取的圖像可能會受到惡劣天氣、霧或霾等條件的影響，出現(xiàn)大量細(xì)節(jié)信息丟失的現(xiàn)象，影響后期圖像特征的提取[2]。作為計算機(jī)視覺系統(tǒng)的輸入源，圖像質(zhì)量會對整個系統(tǒng)的性能產(chǎn)生直接影響。因此，國內(nèi)外研究人員創(chuàng)建許多圖像去霧算法來降低這種影響。

目前，圖像去霧技術(shù)[3]大致可以分成兩類。一類是不考慮圖像降質(zhì)原因,采取常規(guī)圖像增強算法如對比度增強[4]、直方圖均衡化[5]、基于Retinex理論的圖像增強[6]作為基礎(chǔ)處理手段的非物理模型圖像去霧技術(shù)，這類方法通過提高圖像對比度降低霧或霾對圖像的影響，但是也容易造成過增強或者信息損失現(xiàn)象；另一類是考慮圖像霧天降質(zhì)原因，利用大氣散射原理復(fù)原真實場景的物理模型圖像去霧技術(shù)，如暗通道先驗方法[7]，這類方法畸變較小，去霧效果很好，但是計算復(fù)雜度較高?；谄⒎址匠痰母飨虍愋詳U(kuò)散方法[8]是一種基于物理模型的圖像去霧算法，該方法通過對有霧圖像的多次迭代處理獲得較好的去噪效果。Nnolim[9]提出一種基于偏微分方程(PDE)的模糊圖像對比度增強算法，在適當(dāng)?shù)腜DE框架中采用倒對數(shù)反射和梯度優(yōu)化對圖像進(jìn)行多尺度局部增強。Bai等[10]提出一類廣義各向異性擴(kuò)散方程用于圖像去噪，首先對圖像強度函數(shù)G-導(dǎo)數(shù)進(jìn)行傅里葉變換，然后將其引入廣義各向異性擴(kuò)散方程，并利用G-導(dǎo)數(shù)算子的半群性質(zhì)進(jìn)行圖像去噪。Pushparaj等[11]提出一種基于局部灰度級的對數(shù)正態(tài)分布的各向異性擴(kuò)散的全色圖像方法，利用擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)中的自適應(yīng)閾值參數(shù)，自適應(yīng)地調(diào)整了特征空間的低邊緣梯度對噪聲圖像去噪和平滑的影響，在保留了全色圖像特征的同時，有效地去除了圖像中的噪聲。Yin等[12]提出了一種基于分?jǐn)?shù)階差分曲率的分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散方程，利用傅里葉變換引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的頻域定義，用于表征圖像中強度的變化，使得新的邊緣指示器更好地處理精細(xì)紋理。

針對大多數(shù)各向異性擴(kuò)散方程在去霧過程中容易模糊邊緣細(xì)節(jié)的問題，本文提出一種基于分?jǐn)?shù)階非線性各向異性擴(kuò)散的去霧算法。使用從模糊圖像中提取的大氣光作為各向異性擴(kuò)散過程中的初始值，然后通過迭代擴(kuò)散過程計算精細(xì)的大氣光傳輸圖，能夠有效地突出去霧圖像的細(xì)節(jié)，而且在空間域中執(zhí)行迭代過程使得算法在計算方面能夠簡單快速的實現(xiàn)。

1 分?jǐn)?shù)階非線性各向異性擴(kuò)散模型

1.1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

(1)

式中:α,μ∈R且α,μ≠1；ξ表示積分變量；Γ(·)表示伽馬函數(shù)。當(dāng)μ=0時，上述積分可轉(zhuǎn)換為經(jīng)典的黎曼-劉維爾分?jǐn)?shù)積分。本文將利用這個分?jǐn)?shù)積分定義黎曼-劉維爾分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)。類似于廣義分?jǐn)?shù)積分，α階廣義微分算子可以定義為：

(2)

(3)

式中：0≤α<1。

偏分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的x與y分量分別由初始大氣光傳輸圖與固定小尺度矩陣A和B的卷積計算得到，其中小尺度矩陣A和B表示為：

(4)

隨著迭代次數(shù)的增加，導(dǎo)數(shù)將根據(jù)大氣光傳輸圖中的精細(xì)化程序進(jìn)行微調(diào)，卷積方法返回卷積層的中心部分與大氣光傳輸圖的尺寸相同。

1.2 各向異性擴(kuò)散

Perona等[13]提出了基于熱擴(kuò)散方程的各向異性擴(kuò)散方程，用于對圖像進(jìn)行平滑去噪。該模型克服了低通濾波方法在各向同性方向上平滑圖像的缺點，根據(jù)像素的分布情況有選擇地進(jìn)行各向異性擴(kuò)散。各向異性擴(kuò)散模型是一種線性熱擴(kuò)散方程的推廣，其橢圓型偏微分方程可以表達(dá)為：

(5)

在非線性各向異性擴(kuò)散中，擴(kuò)散張量D根據(jù)濾波后的圖像u來定義：

(6)

Du(x,t)=cu(x,t)Id

(7)

(8)

2 算法設(shè)計

2.1 霧天成像模型

由Koschmieder準(zhǔn)則[14]，霧天成像模型通常可以表示為：

I(x,y)=I0(x,y)e-kd(x,y)+I∞(1-e-kd(x,y))

(9)

式中：I0(x,y)和I(x,y)分別表示為無霧圖像和有霧圖像在像素(x,y)處的強度；k是與大氣相關(guān)的散射系數(shù)；d(x,y)是場景與相機(jī)的距離；I∞表示大氣光或者天空強度；e-kd(x,y)表示透射率圖，一般由t(x,y)表示。在無霧圖像時，k≈0；但是在模糊圖像中，k≠0是不可忽略的量。因此，式(9)中的第一項表示直接衰減量，使得場景輻射在介質(zhì)中發(fā)生衰減，對比度降低；第二項表示大氣光傳輸圖A(x,y)，場景顏色通常會因為大氣光傳輸圖的發(fā)散而發(fā)生變化。

通過將天空強度取為1，模糊圖像標(biāo)準(zhǔn)化后模型表示為：

I(x,y)=I0(x,y)(1-A(x,y))+A(x,y)

(10)

可以看出，為了將模糊圖像恢復(fù)至無霧圖像，需要精確估計A(x,y)。

2.2 去霧算法實現(xiàn)

平滑是圖像恢復(fù)和增強的一種重要的技術(shù)手段，但是傳統(tǒng)的平滑濾波方法容易造成圖像紋理和邊緣細(xì)節(jié)的丟失。為了避免濾波過程中的圖像細(xì)節(jié)的損失，本文采用基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的各向異性擴(kuò)散理論自適應(yīng)地估計大氣光傳輸圖A(x,y)。該方法既克服了純各向異性擴(kuò)散方程在平滑區(qū)域因過度擴(kuò)散導(dǎo)致的階梯效應(yīng)，也避免了整數(shù)階PED模型在去噪方面效率低的問題，而且分?jǐn)?shù)階模型能夠通過平滑程度和平滑方向來穩(wěn)健地控制平滑效果。

設(shè)c是擴(kuò)散常數(shù)，t表示時間，各向異性擴(kuò)散表示為：

(11)

與式(11)相關(guān)的能量函數(shù)為：

(12)

(13)

對于歐拉-拉格朗日方程的最小值問題，可由下列方程計算得到：

對于任意函數(shù)η，假定：

(14)

則：

(15)

(16)

當(dāng)α=1時，式(16)為標(biāo)準(zhǔn)Pietro-Malik模型，α=2為四階各向異性擴(kuò)散模型，本文采用分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散模型，即1<α<2。

式(16)可以根據(jù)梯度下降法求解：

(17)

初始條件為A(x,y)，t→∞時獲得最終解。但是，在數(shù)值求解的過程中，一般選擇在去霧和邊緣細(xì)節(jié)完好保存兩者之間的最佳折衷時停止迭代。

對于實際模糊圖像，首先假設(shè)初始離散圖像A的像素尺度為m×m，像素從(0,0)開始，以均勻間隔Δx=1和Δy=1進(jìn)行采樣。

假定K1、K2是空間域中的純對角運算符，定義為：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

因此，提出的去霧算法估計大氣光傳輸圖的偽碼如算法1所示。

算法1基于空間域分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的各向異性擴(kuò)散

輸入：初始大氣光傳輸圖A(x,y)，最大迭代次數(shù)nmax，α和Δt=4-α。

1.n=0時，輸入u0=A(x,y)，nmax，t=kΔt

forn=0,1,…,nmax,do

3. 計算hxn、hyn；

5. 計算un+1=un-gn×Δt；

End for

6. 返回A(x,y)=un。

(24)

式中：c∈(r,g,b)。上述方法也適用于灰度圖像，唯一不同的地方是初始的大氣光傳輸圖。

圖1 本文去霧算法流程

3 實 驗

所有實驗在一臺配置為CPU Intel Core i7-4700 MQ-2.4 GHz@6 GB RAM的機(jī)器上執(zhí)行，所有測試均在MATLAB 2017a環(huán)境下實現(xiàn)。選取數(shù)字圖像處理常用的七幅圖像，即Forest、Wheat、Tomb、Ny17、Swan、N6和Train作為驗證算法的測試圖像。這些圖像具有不同的紋理細(xì)節(jié)，并且圖像中含霧量也有所不同，像素尺寸為256×256。在本文研究中，分?jǐn)?shù)階參數(shù)α取1.8較為合適。將測試結(jié)果與基于高斯過程回歸(GPR)去噪算法[2]、基于偏微分方程(PDE)去噪算法[9]、廣義各向異性擴(kuò)散方程(GAD)去噪算法[10]和基于核回歸模型(KRM)去噪算法[15]。

3.1 主觀分析

圖2-圖3給出了幾種不同去霧算法在Forest和Train兩幅圖像中的定性結(jié)果。這些定性結(jié)果驗證了本文算法的恢復(fù)圖像明顯優(yōu)于其他四種現(xiàn)有算法。使用GPR[2]和PDE算法[9]獲得的結(jié)果在局部區(qū)域存在低對比度的現(xiàn)象，使用KRM算法[15]獲得的結(jié)果沿邊緣具有白度，而使用本文算法獲得的結(jié)果對比度較高，邊緣平滑性更好。因此，綜合來說，本文算法成為圖像恢復(fù)的更優(yōu)選擇。

(a) 有霧圖像 (b) PDE[9] (c) KRM[14]

(a) 有霧圖像 (b) PDE[9] (c) KRM[15]

3.2 客觀分析

為了驗證本文去霧算法的性能，采用對比度增益(CG)，色度指數(shù)(CI)和對比噪聲比(CNR)三個客觀指標(biāo)對測試結(jié)果進(jìn)行評價。

對比度增益CG是定義有霧圖像和恢復(fù)圖像的平均對比度之間的差異，該值越高，表示恢復(fù)圖像的對比度質(zhì)量越好：

(25)

色度指數(shù)CI估計恢復(fù)圖像中的顏色質(zhì)量。通常，有圖圖像可能具有更多的白度，導(dǎo)致圖像的CI值較小，RGB空間圖像的CI值的計算公式為：

(26)

式中：σ、μ分別表示圖像的標(biāo)準(zhǔn)差和平均值；I1=IR-IG，I2=0.5×(IR+IG-IB)，IR、IG和IB分別表示圖像I在亮度、色調(diào)和飽和度空間上的值。

對比噪聲比CNR是指兩個相鄰區(qū)域之間信號強度差異與圖像噪聲的比率，常用來評估細(xì)節(jié)檢出的可能性，信號強度差異越大，圖像噪聲越小，CNR則越大：

(27)

式中：SA、SB分別表示區(qū)域A和B的信號強度；σN是圖像噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。

將本文算法與四種不同算法的性能進(jìn)行比較，圖4-圖6分別給出了不同算法在CG、CI、CNR方面的測試結(jié)果?？梢悦黠@看出，本文方法在CG、CI、CNR三個指標(biāo)上比其他去霧方法表現(xiàn)更好，明顯地體現(xiàn)出本文方法在去霧方面的優(yōu)越性。

圖4 不同算法在CG方面的性能表現(xiàn)

圖5 不同算法在CI方面的性能表現(xiàn)

圖6 不同算法在CNR方面的性能表現(xiàn)

將本文算法與基于傅里葉域[10]的分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散算法所花費的計算時間進(jìn)行比較。從表1中可以看出，本文算法所花費的時間不到傅里葉域算法所用時間的一半，計算效率大大提高。

表1 基于空間域和傅里葉域算法的計算時間

4 結(jié) 語

現(xiàn)有各向異性擴(kuò)散方程可以有效地恢復(fù)模糊圖像，但是在去霧過程中容易出現(xiàn)模糊邊緣細(xì)節(jié)的現(xiàn)象。針對這一問題，本文提出一種基于分?jǐn)?shù)階非線性各向異性擴(kuò)散的去霧算法，通過對擴(kuò)散過程進(jìn)行多次迭代來精細(xì)估計大氣光傳輸圖。實驗結(jié)果表明，本文算法在多個指標(biāo)方面優(yōu)于其他算法，而且在有效突出去霧圖像細(xì)節(jié)的同時，計算效率也得到提升。