小徑木梯形板抽芯下鋸法出材率的優(yōu)化設(shè)計(jì)

任長(zhǎng)清， 婁月軒， 楊春梅， 蔣 婷， 馬 巖

(東北林業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 哈爾濱 150040)

隨著木材資源的變化，木材供需矛盾日益尖銳[1]。中國(guó)人均資源貧乏，木材的需求量與供應(yīng)量之間的矛盾長(zhǎng)期存在[2]。自從實(shí)施了對(duì)天然林資源的保護(hù)工程，中國(guó)提高了對(duì)天然林和森林管理的保護(hù)力度，實(shí)行木材停伐減產(chǎn)政策，以遏制天然林資源不斷銳減的趨勢(shì)[3]。面對(duì)大徑級(jí)木材資源的日益緊缺，小徑木在各類市場(chǎng)中備受關(guān)注，應(yīng)用廣泛[4]。木材資源的利用對(duì)象主體從傳統(tǒng)的天然林轉(zhuǎn)移到了人工林中的小徑級(jí)木材。小徑木來(lái)源廣泛，具有較少的死節(jié)數(shù)量。雖然不適合直接作為結(jié)構(gòu)構(gòu)件使用[5]，但可以通過(guò)將小徑木鋸切加工成為單板，然后再將單板重新組合為加工鋸材集成材，能夠有效降低加工成本[6]。這種小徑木集成材是一種先進(jìn)生物質(zhì)材料,在家具、地板制造和室內(nèi)外用材等方面具有較好的應(yīng)用前景[7]。但是，傳統(tǒng)的下鋸方法出材率低，無(wú)法充分利用木材資源。而小徑木的梯形板抽芯下鋸法是采用適合于小徑級(jí)木材的兩面下鋸方式[8]，順著削度鋸切的，能夠有效地提高小徑木的綜合利用率和附加值。

在制材優(yōu)化和CAD技術(shù)發(fā)展中，如何在小徑木原木端面合理地排布下鋸圖，是梯形板抽芯下鋸優(yōu)化的重要課題。其中，主產(chǎn)鋸材梯形板的合理排布，又是下鋸圖的主要優(yōu)化問(wèn)題。因此，對(duì)小徑木的梯形板抽芯下鋸法出材率進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)分析，對(duì)利用小徑木加工鋸材集成材起到了至關(guān)重要的作用。

現(xiàn)首先提出梯形板抽芯下鋸法及其工藝流程，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型并分別用LINGO和MATLAB進(jìn)行出材率的優(yōu)化設(shè)計(jì)，最后對(duì)比并分析結(jié)果，得到出材率提高的原因。旨在提出并分析一種適用于小徑級(jí)木材且能夠取得更高出材率的新型鋸解工藝，為加工和利用小徑木提供新的思路，同時(shí)也為木材資源和環(huán)境的保護(hù)做出貢獻(xiàn)。

1 梯形板抽芯下鋸法介紹

1.1 梯形板抽芯下鋸法的原理

原木制材中，按照鋸材的種類與規(guī)格，確定鋸口部位和鋸解順序進(jìn)行下鋸的這種鋸解方法，稱為下鋸法[9]。如圖1、圖2所示，梯形板抽芯下鋸法是從小徑木原木兩側(cè)鋸出等厚的板皮，順著削度鋸切并裁邊，使其位于中間的板材成為矩形截面的髓心板板材，位于兩側(cè)的板材成為梯形截面的斜面梯形板板材的下鋸方法。其中，髓心板的材面呈矩形，材端呈等腰梯形；梯形板的材面呈梯形，材端呈等腰梯形。這種方法更加適用于具有尖削度普遍較大特點(diǎn)的小徑木類原木材，既減少了通常裁邊時(shí)木材的損失，又克服了小徑木原木尖削度較大的不利條件，有效地提高了出材率。

圖1 小徑木梯形板抽芯下鋸法的截面Fig.1 The cross-section of the small-diameter wooden trapezoidal board using core-pulling sawing

圖2 小徑木梯形板抽芯下鋸法Fig.2 The small-diameter wooden trapezoidal board using core-pulling sawing

1.2 梯形板抽芯下鋸法的板材加工

小徑木梯形板抽芯下鋸法主要的產(chǎn)出板材為圖3所示的梯形板。

圖3 梯形板Fig.3 Trapezoidal broad

如圖4所示，將上述梯形板按照大頭端與小頭端，上底面與下底面依次相對(duì)的方式逐個(gè)進(jìn)行拼接，加工成為梯形板加工鋸材集成材。

圖4 梯形板集成材Fig.4 The laminated timber of trapezoidal boards

如圖5所示，小徑木梯形板抽芯下鋸法的髓心板同樣可以通過(guò)大頭端與小頭端相對(duì)，以鋸切面相接觸拼接的方式進(jìn)行拼板，形成髓心板加工鋸材集成材。

圖5 髓心板集成材Fig.5 The laminated timber of heart boards

1.3 梯形板抽芯下鋸法的優(yōu)勢(shì)

眾所周知，木材的力學(xué)性質(zhì)具有各向異性的特點(diǎn)。這是由于木材中木質(zhì)部的纖維方向所決定的。當(dāng)受力方向與纖維方向一致時(shí)，即順紋受力時(shí)，抗拉強(qiáng)度為木材所有強(qiáng)度中最大。由此可見(jiàn)，在鋸切加工過(guò)程中如果能夠完整地保護(hù)好板材的木材纖維結(jié)構(gòu)，可以有效地提高鋸切板材的力學(xué)性質(zhì)。因?yàn)樘菪伟宄樾鞠落彿ㄊ琼樦侥驹镜南鞫冗M(jìn)行鋸切加工的，可以極大地避免在鋸切加工過(guò)程中切斷木材纖維結(jié)構(gòu)，所以通過(guò)梯形板抽芯下鋸法生產(chǎn)的板材要比其他鋸切方法生產(chǎn)的板材具有更好的力學(xué)性能。

2 數(shù)學(xué)模型的建立及問(wèn)題描述

根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析可知，小徑木原木橫斷面有59.6%為橢圓(圓是橢圓度qe=1的橢圓)。在小徑木原木的其他橫斷面形狀中，蛋圓形為13%、三角形為11.7%、四邊形為10.2%。以上三種小徑木橫斷面形狀中的絕大部分依然可以近似為橢圓。對(duì)小徑木原木干曲線的分析可以得知，直線、拋物線、凹曲線、對(duì)數(shù)曲線和指數(shù)曲線皆能夠近似為連續(xù)冪曲線。所以，以理想小徑木原木為研究對(duì)象，其橫斷面是橢圓或能夠看作是橢圓，橢圓度qe為常數(shù)，縱斷面為冪曲線，小徑木原木的中心線是直線，其他各項(xiàng)缺陷忽略不計(jì)。

理想小徑木原木的示意圖如圖6所示。

Da1為小徑木原木的小頭長(zhǎng)徑；Db1為小徑木原木的小頭短徑；Da2為小徑木原木的大頭長(zhǎng)徑；Db2為小徑木原木的大頭短徑; L為材長(zhǎng)

首先需要對(duì)小徑木原木的材積進(jìn)行分析，以小徑木原木的短徑方向?yàn)榛鶞?zhǔn)。理想小徑木原木的數(shù)學(xué)模型[10-11]為

式(1)中：ci為原木描述方程常數(shù)，i=1,2,…,6。

在理想小徑木原木的數(shù)學(xué)模型中，式(1)是橢圓冪函數(shù)柱體的頂點(diǎn)沿著z向平移，F(xiàn)(x,y,z)中的ci都能夠在實(shí)際的測(cè)量檢測(cè)中獲得。其中c5與c6定義了數(shù)學(xué)模型z向的定義域，c3=t，t為模型系數(shù)，當(dāng)木材為理想小徑木原木模型時(shí)，t=1[12-13]。

通過(guò)對(duì)上述數(shù)學(xué)模型的積分計(jì)算，可得出小徑木原木整體材積VT為[14]

由此即可計(jì)算出小徑木原木整體材積VT的精確結(jié)果，但是積分的計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，同時(shí)計(jì)算難度比較大。在式(2)中，可以被有效利用的梯形板和髓心板截面面積與小徑木原木的整體橫斷面面積都涉及相同的小徑木高度，其高度可以約分，因此出材率為能夠有效進(jìn)行利用的單板截面面積與小徑木原木的整體橫斷面面積之比(即圖7中黃色區(qū)域面積與整個(gè)橢圓面積之比)，即

Db1為小徑木小頭橫截面橢圓短徑；Da1為其長(zhǎng)徑；Ba為髓心板的小頭橫截面厚度；Bb為梯形板的厚度；Bc為板皮的厚度；B0為鋸面寬度

式(3)中：η為小徑木梯形板抽芯下鋸法的出材率；S為小徑木原木的截面面積，mm2；S1為髓心板的截面面積，mm2；S2為梯形板的截面面積，mm2。

以小徑木小頭橫截面橢圓長(zhǎng)徑Da1所在的直線為x軸，以小徑木小頭橫截面橢圓長(zhǎng)徑Db1所在的直線為y軸，建立如式(4)的橢圓方程[15]為

式(4)中：S可以根據(jù)橢圓面積公式求出，即

在圖7的坐標(biāo)系中，設(shè)y軸兩側(cè)各有n塊梯形板，髓心板右側(cè)邊界線與x軸交點(diǎn)的位置為x1，位于髓心板右側(cè)與其相鄰鋸面的左側(cè)邊界線與x軸交點(diǎn)的位置為x2，以此類推，最靠右側(cè)的梯形板的右側(cè)邊界線與x軸交點(diǎn)的位置為x2n+1。則很容易計(jì)算得

根據(jù)式(7)的坐標(biāo)關(guān)系，能夠經(jīng)由式(6)的結(jié)果推導(dǎo)得出過(guò)xi處且與y軸平行的橢圓弦長(zhǎng)為

髓心板的截面形狀為矩形，有

S1=2x1y1(8)

梯形板的截面形狀為梯形，有

且梯形板關(guān)于y軸對(duì)稱分布，左右兩側(cè)面積相等，故可得

代入式(3)可得小徑木梯形板抽芯下鋸法的出材率為

3 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及邊界條件

3.1 初始條件

現(xiàn)需要對(duì)某根小徑木原木進(jìn)行梯形板抽芯下鋸法的縱剖生產(chǎn)。已知的此根小徑木的參數(shù)包括：小徑面寬度木原木的小頭長(zhǎng)徑Da1=220 mm;小徑木原木的小頭短徑Db1=200 mm;鋸面寬度B0=3 mm。需確定對(duì)此根小徑木原木進(jìn)行梯形板抽芯下鋸法出材率達(dá)到最大時(shí)的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，并確定此時(shí)的出材率。

3.2 初始條件

選取某根小徑木原木的小頭截面作為研究對(duì)象。影響小徑木原木梯形板抽芯下鋸的參數(shù)比較多，其中重要的有：髓心板的厚度；梯形板的厚度；板皮的厚度；鋸面的厚度；梯形板的數(shù)量。鋸面的厚度在初始條件中已經(jīng)給定，故不需要對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。而板皮的厚度可以通過(guò)小徑木原木小頭短徑、髓心板的厚度、梯形板的厚度和鋸面的厚度推導(dǎo)計(jì)算得出，故此參數(shù)并不獨(dú)立，不可作為設(shè)計(jì)變量。因此，優(yōu)化設(shè)計(jì)變量如下：①梯形板的數(shù)量2n；②梯形板的厚度Bb；③髓心板的厚度Ba。

3.3 目標(biāo)函數(shù)

由式(11)可知，目標(biāo)函數(shù)為

3.4 邊界條件

(1)梯形板的數(shù)量為2n：n∈N+。小徑木梯形板抽芯下鋸法要求必須能通過(guò)鋸切加工得到梯形板，故n≠0。且梯形板對(duì)稱分布在y軸兩側(cè)，因此設(shè)梯形板的數(shù)量為2n。

(2)梯形板的厚度為Bb：Bb∈{12,15,18,21}。根據(jù)《闊葉樹(shù)鋸材》(GB/T 4817—2009)，梯形板的厚度Bb在4種尺寸中進(jìn)行選取，即選取12、15、18、21 mm。

(3)梯形板的厚度為Bb：0

(4)髓心板的厚度Ba：0

4 優(yōu)化程序和優(yōu)化結(jié)果

4.1 LINGO優(yōu)化及其結(jié)果

4.1.1 LINGO介紹

LINGO是一個(gè)專門用于數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)學(xué)建模的常規(guī)求解軟件，能夠有效地、快速地對(duì)線性、非線性規(guī)劃模型問(wèn)題進(jìn)行求解，其具有較為強(qiáng)大的功能，包含了LINGO建模語(yǔ)言和各種常用的內(nèi)部數(shù)學(xué)函數(shù)[16]，可以供使用者建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型時(shí)調(diào)用，因此更加易輸入。

4.1.2 LINGO優(yōu)化

根據(jù)前文所述的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，編制LINGO源程序的.lg4文件。改變初始條件中的與直徑相關(guān)的原始數(shù)據(jù)，進(jìn)行多組優(yōu)化設(shè)計(jì)分析。

將此文件導(dǎo)入至LINGO軟件中，點(diǎn)擊“Solve”按鈕可以得出如表1所示的結(jié)果。

表1 LINGO的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

4.2 遺傳算法的優(yōu)化及其結(jié)果

4.2.1 染色體編碼

一般來(lái)說(shuō)，染色體編碼使用二進(jìn)制。研究使用實(shí)數(shù)編碼即可滿足要求，無(wú)需編碼和解碼過(guò)程。

4.2.2 種群規(guī)模

遺傳算法中關(guān)于種群規(guī)模的設(shè)置會(huì)對(duì)問(wèn)題的優(yōu)化程度產(chǎn)生較大影響。若種群規(guī)模過(guò)于小，則種群的樣本多樣性減少，在接下來(lái)的迭代過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)收斂過(guò)快的現(xiàn)象，有意義的搜索點(diǎn)和最優(yōu)點(diǎn)可能被丟失，導(dǎo)致結(jié)果在局部最優(yōu)解處收斂，不能夠得出最優(yōu)解。若種群規(guī)模過(guò)于大，無(wú)效的計(jì)算將會(huì)在后續(xù)的迭代過(guò)程中明顯增多，降低遺傳算法的計(jì)算效率。

由于3個(gè)設(shè)計(jì)變量間存在很強(qiáng)的約束，所以可能的解并不多。故將初始種群設(shè)置為4。因?yàn)槿绻跏挤N群設(shè)置得太大，初始化種群的時(shí)候，可能所有可行解就已經(jīng)得出，最優(yōu)解就已經(jīng)出現(xiàn)在初代樣本里，后續(xù)的迭代也就沒(méi)有意義了。

4.2.3 適應(yīng)度函數(shù)

適應(yīng)度函數(shù)是用來(lái)評(píng)判染色體好壞程度的指標(biāo)，其大小直接影響到遺傳算法的選擇和交叉。算法要求適應(yīng)度越高的個(gè)體遺傳到下一代的概率越大，所以要求適應(yīng)度函數(shù)為正值。函數(shù)表達(dá)式為

式(13)中：F為適應(yīng)度函數(shù)，其數(shù)值越小，表示優(yōu)化效果越好，也即遺傳到下一代的概率越大；ηmax為采用當(dāng)前下鋸方案時(shí)的出材率。

4.2.4 交叉算子

染色體的交叉能夠明顯提高遺傳算法的搜索能力。本文算法的交叉需要利用rand生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)，即隨機(jī)選定兩個(gè)父代染色體的某一列，將這一列的值進(jìn)行交換，生成新的子代染色體。每一次交叉會(huì)產(chǎn)生2個(gè)子代。

選取交叉概率pc=0.5，即對(duì)每一條染色體，選取隨機(jī)數(shù)p∈[0,1]，若p

4.2.5 選擇算子

遺傳算法中，適應(yīng)度越高的染色體遺傳到下一代的概率越大，即被選擇的概率越大。每一條染色體被選擇的概率為

由式(14)可知，選擇概率高的染色體被選中遺傳到下一代，產(chǎn)生新的種群。

4.2.6 變異算子

變異操作可以使遺傳算法具有局部搜索能力，同時(shí)可以提高種群多樣性、避免遺傳過(guò)程陷于局部最優(yōu)解。由于3個(gè)設(shè)計(jì)變量之間存在約束，不能單獨(dú)對(duì)某個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行變異，所以設(shè)置了個(gè)體全基因變異。

但由于3個(gè)參數(shù)間存在很強(qiáng)的約束，無(wú)法以隨機(jī)數(shù)來(lái)直接代替，否則會(huì)出現(xiàn)大量錯(cuò)誤樣本。所以全基因變異的具體步驟如下：隨機(jī)生成一個(gè)大于0但小于種群個(gè)體數(shù)的隨機(jī)數(shù)，選定該個(gè)體發(fā)生全基因變異。然后對(duì)該個(gè)體重新生成含有彼此約束的基因，相當(dāng)于重新創(chuàng)造一個(gè)新的個(gè)體。設(shè)置的變異概率為0.5，即50%的個(gè)體發(fā)生變異，精英不參與變異；確定要變異的個(gè)體數(shù)；再創(chuàng)建一個(gè)新的種群，要變異個(gè)體的內(nèi)容就從這個(gè)新種群抽??；得到要變異的種群的序號(hào)；完成變異，得到變異之后的種群。

4.2.7 進(jìn)化終止條件

為了提高運(yùn)算效率并得到滿意的運(yùn)算結(jié)果，遺傳算法需要設(shè)置進(jìn)化終止條件，采用的最大演化代數(shù)為1 000代。當(dāng)個(gè)體適應(yīng)度函數(shù)值F<0.000 001時(shí)進(jìn)化終止。

4.2.8 優(yōu)化結(jié)果

通過(guò)編寫如上所述的MATLAB源程序，改變初始條件中的各項(xiàng)與直徑相關(guān)的原始數(shù)據(jù)，進(jìn)行多組優(yōu)化設(shè)計(jì)分析，其結(jié)果如表2所示。

表2 MATLAB的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

4.3 兩種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法結(jié)果的綜合分析

參考文獻(xiàn)[17-19]對(duì)傳統(tǒng)梯形下鋸法的出材率進(jìn)行計(jì)算，并結(jié)合上述兩種算法的結(jié)果作圖，如圖8所示。

圖8 優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.8 Optimization design results

B-and-B(branch and bound)代表利用LINGO分支界定法的優(yōu)化結(jié)果，其數(shù)據(jù)來(lái)源于表1；GA(genetic algorithm)代表利用MATLAB遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果，其數(shù)據(jù)來(lái)源于表2。

由圖8可知，優(yōu)化后出材率有明顯提升，完成了小徑木梯形板抽芯下鋸法出材率的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

通過(guò)對(duì)圖8的分析，不難看出兩種優(yōu)化方法得出的結(jié)果比較接近，一致性較好。且兩條折線的變化規(guī)律基本相同：隨著小徑木直徑的變大，出材率也逐漸變大。這與制材工藝中原木直徑越大出材率越高的規(guī)律相吻合。當(dāng)原木的直徑較小時(shí)，梯形板抽芯下鋸法的出材率遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)梯形下鋸法的出材率。證明了梯形板抽芯下鋸法對(duì)小徑木的適應(yīng)性更強(qiáng)，效果更好。由于數(shù)學(xué)上的分支界定法與仿生類的智能算法存在著算法本身的差異，故優(yōu)化結(jié)果不完全吻合。從總體情況來(lái)看，兩種優(yōu)化結(jié)果的差異合理，不會(huì)對(duì)優(yōu)化整體結(jié)果產(chǎn)生不良影響。可見(jiàn)優(yōu)化結(jié)果切實(shí)合理。

結(jié)合圖8和資料分析優(yōu)化提高出材率的原因：優(yōu)化前傳統(tǒng)的梯形下鋸法存在不合理之處。當(dāng)原木的徑級(jí)較小(<14 cm)時(shí)，統(tǒng)一剖分3個(gè)鋸口；當(dāng)原木的徑級(jí)較大(>15 cm)時(shí)，統(tǒng)一剖分5個(gè)鋸口。這種方式過(guò)于粗糙，無(wú)法針對(duì)特定尺寸的小徑木原木給出最佳的下鋸方案。而優(yōu)化得出了每個(gè)尺寸的最佳下鋸方案，并保證了其加工得到的板材符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，達(dá)到了優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的。

5 結(jié)論

(1)建立了小徑木梯形板抽芯下鋸法數(shù)學(xué)模型，得出了其出材率公式。

(2)利用分枝界定法和遺傳算法得到了兩組優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果，證明了小徑木梯形板抽芯下鋸法的高出材率和其數(shù)學(xué)模型的合理性，優(yōu)化了傳統(tǒng)梯形下鋸法的不合理之處是出材率提高的原因。