帶約束分?jǐn)?shù)階正系統(tǒng)穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定的判定和計(jì)算的一個(gè)新方法

司新棟，楊洪禮

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

分?jǐn)?shù)階微積分是對整數(shù)階微積分的推廣。分?jǐn)?shù)階正系統(tǒng)是指具有非負(fù)狀態(tài)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，在許多問題中，由于其能直觀刻畫絕對溫度、能級、高度、濃度等[1-2]，能夠更準(zhǔn)確描述工程問題，因此近年來分?jǐn)?shù)階正系統(tǒng)的研究得到更多工程人員的關(guān)注[3-4]。相比較而言，整數(shù)階正系統(tǒng)的研究結(jié)果比較多：文獻(xiàn)[5-9]對整數(shù)階正系統(tǒng)基本問題，如正性、可控性、客觀性、可達(dá)性等進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[10-11]基于代數(shù)方法對正系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究；文獻(xiàn)[12-13]得到了正系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，并將其化為二次規(guī)劃問題；文獻(xiàn)[14]得到了正系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，把穩(wěn)定性條件轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式問題；文獻(xiàn)[15-17]得到了正系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，把穩(wěn)定性條件表示成線性規(guī)劃問題；文獻(xiàn)[18]提出了一種利用狀態(tài)反饋控制求解閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定問題的方法。

然而，對于分?jǐn)?shù)階正系統(tǒng)而言，上述問題的研究結(jié)果卻不多。特別是對帶有狀態(tài)和控制約束的工程問題，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是需要滿足的先決條件，是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的前提[19]，所以研究該問題具有實(shí)際意義。由于分?jǐn)?shù)階積分定義形式的特殊性，傳統(tǒng)整數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論和研究方法不能直接應(yīng)用于帶有控制和狀態(tài)約束的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[20]，因此，帶約束的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究是必要的。

本研究利用線性規(guī)劃方法研究帶控制約束的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問題。從Metzler矩陣?yán)碚摵头謹(jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論出發(fā)，針對系統(tǒng)為不確定系統(tǒng)、狀態(tài)非負(fù)有上界約束和控制非負(fù)有上界約束三種情況，利用線性規(guī)劃得到狀態(tài)反饋控制律，進(jìn)而使得分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)保持穩(wěn)定性與正性并且滿足約束條件。得到一類新的求解連續(xù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性與正性控制的線性規(guī)劃方法。該方法簡單可行，對于維數(shù)較高的問題也比較容易實(shí)現(xiàn)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明此方法穩(wěn)定，能提高狀態(tài)反饋控制求解效率，是一個(gè)比較有吸引力的方法。

文中符號的具體說明如下：Rn表示n維實(shí)向量空間，Rn×n表示n×n維實(shí)矩陣的集合，x(t)表示系統(tǒng)狀態(tài)向量，u(t)表示系統(tǒng)控制向量，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，O表示零矩陣，0表示零向量，x>0或x<0表示向量x的每一個(gè)分量xi>0或xi<0。bi表示矩陣B的第i行向量；bi(k)表示對應(yīng)矩陣B(k)的第i行向量；y(i)∈Rm(i=1，2，…，n)表示m維列向量。

1 引言

考慮連續(xù)分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)

(1)

其中：A∈Rn×n，B∈Rn×m為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u(t)∈Rm是系統(tǒng)控制向量。

定義1[21]令α為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階，則關(guān)于x(t)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

(2)

其中，Gamma函數(shù)為

(3)

定義2[21]令α為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階，則關(guān)于x(t)的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

(4)

根據(jù)定義1與定義2，得到Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)關(guān)系為

(5)

定義3[22]設(shè)A=[aij]∈Rn×n,若aij≥0(i≠j),則A為Metzler矩陣。

定理1[23]系統(tǒng)(1)為正的充分必要條件是矩陣A為Metzler矩陣。

根據(jù)定義3和定理1，系統(tǒng)(1)為分?jǐn)?shù)階正系統(tǒng)的充分必要條件是矩陣A中的非對角線元素非負(fù)，即aij≥0(i≠j)。

下面給出無控制約束條件下系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定問題。

定理2[23]若存在一個(gè)Lyapunov 函數(shù)和一個(gè)class-k函數(shù)βi，i=1，2，3，滿足

其中α∈[0，1]，則系統(tǒng)(1)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

引理1[23]對于連續(xù)分?jǐn)?shù)階正系統(tǒng)

(6)

函數(shù)V(x(t))=λTx(t)，λ>0為Lyapunov 函數(shù)的充要條件是A是Metzler矩陣且Aλ<0。

由定理2與引理1得到定理3。

定理3[23]系統(tǒng)(6)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)向量λ>0，使得Aλ<0。

若存在一個(gè)狀態(tài)反饋控制u(t)=Kx(t)，使得系統(tǒng)(1)對應(yīng)的連續(xù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

(7)

漸進(jìn)穩(wěn)定，則系統(tǒng)(1)能鎮(zhèn)定。

定理4系統(tǒng)(7)具有漸進(jìn)穩(wěn)定性和保持正性的充分必要條件是矩陣A+BK為Metzler矩陣且(A+BK)λ<0。

證明：存在一個(gè)狀態(tài)反饋控制u(t)=Kx(t)使得系統(tǒng)(1)中A=A+BK,B=O，得到系統(tǒng)(7)。

充分性：矩陣A+BK為Metzler矩陣，根據(jù)定理1，系統(tǒng)(7)具有正性。又由于(A+BK)λ<0，根據(jù)定理3，系統(tǒng)(7)具有漸進(jìn)穩(wěn)定性。

必要性：系統(tǒng)(7)具有正性，根據(jù)定理1，矩陣A+BK為Metzler矩陣。由于系統(tǒng)(7)具有漸進(jìn)穩(wěn)定性，A+BK為Metzler矩陣，根據(jù)定理3，(A+BK)λ<0。

2 主要結(jié)果

工程問題中，系統(tǒng)或狀態(tài)存在約束是常見的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[24]采用傳統(tǒng)Ziegler-Nichols方法進(jìn)行分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)，Luo等[25]基于相位裕度、幅值裕度及參數(shù)魯棒穩(wěn)定性條件，開展了分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)和數(shù)值計(jì)算方法的研究。上述研究成果都是基于頻域的線性系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)，若以狀態(tài)空間形式描述線性系統(tǒng)，并要求滿足不同的控制任務(wù)，則以上控制器并不適用。為確保不同的控制目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)，需要設(shè)計(jì)不同內(nèi)容形式的控制器對被控系統(tǒng)加以控制。

本節(jié)將對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(1)為不確定系統(tǒng)(uncertain)、狀態(tài)非負(fù)有上界約束、控制非負(fù)有上界約束三種情況進(jìn)行討論，尋找狀態(tài)反饋控制u(t)=Kx(t)，使得系統(tǒng)(7)保持穩(wěn)定和正性，進(jìn)而系統(tǒng)(1)能鎮(zhèn)定。受文獻(xiàn)[23]啟發(fā)，根據(jù)定理4，將該問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。

(8)

(9)

(A(k)+B(k)K)λ<0,k=1,2,…l,λ>0。

(10)

由于λj>0,對于i≠j有

(11)

根據(jù)式(10)、式(11)得到存在一個(gè)狀態(tài)反饋控制u(t)=Kx(t)，使得每一個(gè)A+BK矩陣為Metzler矩陣且(A+BK)λ<0，進(jìn)而根據(jù)定理4得到系統(tǒng)(7)具有穩(wěn)定性和正性。

(12)

根據(jù)(A+BK)λ<0得到

(13)

根據(jù)式(12)，式(13)得到線性規(guī)劃(LP1)。

引理2[26]系統(tǒng)(6)任意初始條件0≤x0≤x，有0≤x(t)≤x的充分必要條件是(A+BK)x<0。

根據(jù)引理2及定理4得到如下定理。

定理6當(dāng)系統(tǒng)(1)中狀態(tài)非負(fù)且有上界約束xmax，即0≤x(t)≤xmax時(shí)，則系統(tǒng)(7)保持穩(wěn)定和正性的充分必要條件是存在一個(gè)狀態(tài)反饋控制u(t)=Kx(t)，滿足下列線性規(guī)劃問題

(14)

(15)

(A+BK)ε<0,ε>0，

(16)

由于εj>0，對于i≠j，有

(17)

A+BK矩陣為Metzler矩陣且(A+BK)ε<0。根據(jù)引理2，對于0

0≤x(t)≤ε≤xmax。

(18)

根據(jù)式(16)和式(17)得到存在一個(gè)狀態(tài)反饋控制u(t)=Kx(t)，使得每一個(gè)A+BK矩陣為Metzler矩陣，且(A+BK)ε<0，進(jìn)而根據(jù)定理4得到系統(tǒng)(7)具有穩(wěn)定性和正性。根據(jù)式(18)得到滿足條件0≤x(t)≤xmax。

必要性：系統(tǒng)(7)具有穩(wěn)定性和正性，根據(jù)定理4得到存在一個(gè)狀態(tài)反饋控制u(t)=Kx(t)，使得每一個(gè)矩陣A+BK為Metzler矩陣且(A+BK)ε<0。由引理2，0≤x0≤ε時(shí)，有0≤x(t)≤ε。當(dāng)ε>xmax時(shí)，有x(t)>xmax，與狀態(tài)非負(fù)有上界矛盾，所以0<ε≤xmax。式(14)中第一個(gè)與第三個(gè)不等式證明同定理3，進(jìn)而得到線性規(guī)劃(LP2)。

(19)

(20)

(A+BK)x<0,x>0，

(21)

由于xj>0，對于i≠j，有

(22)

所以A+BK矩陣為Metzler矩陣且(A+BK)x<0。

3 數(shù)值例子

數(shù)值實(shí)驗(yàn)通過MATLAB軟件得出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果均四舍五入保留四位小數(shù)。

考慮分?jǐn)?shù)階R,L,u型電路，其中R1,R2,R3是電阻，L1,L2,L3是電感，u1,u2是源電壓，x1,x2是線圈里的電流。電路如圖1所示。

圖1 R,L,u形式電路圖

根據(jù)電路圖得到分?jǐn)?shù)階R,L,u型電路系統(tǒng)為

例1考慮分?jǐn)?shù)階R,L,u型電路系統(tǒng)，當(dāng)電感或者電阻變化時(shí)，系統(tǒng)為不確定系統(tǒng)且含有不確定因素β(0≤β≤1)，其中A,B表示如下

根據(jù)定理5，結(jié)合線性規(guī)劃不等式組

正性判定：通過狀態(tài)反饋控制得到新的系統(tǒng)(7)，當(dāng)β=0時(shí)，矩陣

根據(jù)例1，當(dāng)β=0時(shí)，對于不同的初始條件(10,20),(14,6),(16,2)，新系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如圖2所示，當(dāng)β=1時(shí)，對于不同的初始條件(10,20),(14,6),(16,2)，新系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如圖3所示。

圖2 例1系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

圖3 例1系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

其中，時(shí)間步長為0.1 s，總時(shí)長為50 s，并且Mittag-Leffler指數(shù)函數(shù)中的k=400。狀態(tài)軌跡在第一象限均收斂到(0,0)，表明新系統(tǒng)從隨機(jī)選取的非負(fù)初始條件演化而來，新系統(tǒng)具有穩(wěn)定性。

根據(jù)定理5，當(dāng)系統(tǒng)為不確定系統(tǒng)，即矩陣A,B含有不確定因素，可以利用線性規(guī)劃求出一個(gè)狀態(tài)反饋控制使新系統(tǒng)保持正性與穩(wěn)定性。

例2考慮分?jǐn)?shù)階R,L,u型電路系統(tǒng)，電路需要滿足條件為線圈里的電流非負(fù)有上界即0≤xi(t)≤2,i=1,2，其中A,B表示如下：

根據(jù)定理6，結(jié)合線性規(guī)劃不等式組

正性判定：通過狀態(tài)反饋控制得到新的系統(tǒng)(7)，矩陣

矩陣A+BK為 Metzler矩陣，得到系統(tǒng)(7)具有正性。

根據(jù)例2，對于不同的初始條件(1.5,0.5),(1.4,0.8),(0.8,1.2)，新系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如圖4所示。其中，時(shí)間步長為0.1 s，總時(shí)長為150 s，并且Mittag-Leffler指數(shù)函數(shù)中的k=400。狀態(tài)軌跡在第一象限收斂到(0,0)，表明新系統(tǒng)從隨機(jī)選取的非負(fù)初始條件演化而來，新系統(tǒng)具有穩(wěn)定性。

圖4 例2系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

根據(jù)定理6，當(dāng)原系統(tǒng)狀態(tài)非負(fù)有上界時(shí)，可以利用線性規(guī)劃求出一個(gè)狀態(tài)反饋控制使新系統(tǒng)具有正性和穩(wěn)定性，且新系統(tǒng)的狀態(tài)非負(fù)有上界。

例3考慮分?jǐn)?shù)階R,L,u型電路系統(tǒng)，電路需要滿足條件為源電壓非負(fù)有上界即0≤μi(t)≤30,i=1,2，其中A,B表示如下

根據(jù)定理7，結(jié)合線性規(guī)劃不等式組

根據(jù)例3，對于不同的初始條件(16,4),(10,20),(14,8)，新系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如圖5所示。

圖5 例3系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

其中，時(shí)間步長為0.1 s，總時(shí)長為30 s，并且Mittag-Leffler指數(shù)函數(shù)中的k=400。狀態(tài)軌跡在第一象限收斂到(0,0)，表明新系統(tǒng)從隨機(jī)選取的非負(fù)初始條件演化而來，新系統(tǒng)具有穩(wěn)定性。

相應(yīng)的控制軌跡如圖6所示。

圖6 例3狀態(tài)演化軌跡圖

可以看出，對μ的限制滿足條件。

根據(jù)定理6，當(dāng)原系統(tǒng)控制非負(fù)有上界時(shí)，可以利用線性規(guī)劃求出一個(gè)狀態(tài)反饋控制使新系統(tǒng)保持正性和穩(wěn)定性，且新系統(tǒng)的控制非負(fù)有上界。

4 結(jié)論

主要研究了帶約束的連續(xù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性與正性的一個(gè)判定與求解方法。首先得到連續(xù)分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)為正系統(tǒng)和漸進(jìn)穩(wěn)定的一個(gè)充要條件，然后將求解帶控制約束的連續(xù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制問題轉(zhuǎn)化為一類線性規(guī)劃問題，最后通過求解線性規(guī)劃得到滿足所給約束條件的控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定性與正性并且滿足控制約束條件。通過該方法可以得到使閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定性與正性并且滿足控制約束條件的控制律，符合實(shí)際工程的應(yīng)用。同其他方法相比，該方法易于數(shù)值實(shí)現(xiàn)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該方法正確可行且方便求解，提高了求解效率。在后續(xù)的研究中，將針對狀態(tài)空間描述的一般形式的分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)以及分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)，進(jìn)行穩(wěn)定性與正性控制研究。