張玉元 張?jiān)?張 慧

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 蘭州 730070)

大跨度混凝土箱梁橋下?lián)虾烷_裂是制約其發(fā)展和應(yīng)用的主要因素之一.國(guó)內(nèi)外學(xué)者普遍認(rèn)為，進(jìn)一步優(yōu)化薄壁結(jié)構(gòu)剪應(yīng)力計(jì)算方法對(duì)分析箱梁橋屈曲變形和撓度控制具有十分重要的力學(xué)意義[1-6].

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)箱梁橋剪應(yīng)力計(jì)算方法已開展了比較深入的理論和試驗(yàn)研究，同時(shí)也取得了一些對(duì)工程設(shè)計(jì)有指導(dǎo)意義的方法和結(jié)論.在試驗(yàn)研究方面，張哲等[7]以某工程單箱八室變截面PC組合箱梁橋?yàn)槔M(jìn)行了實(shí)橋試驗(yàn)研究和有限元模擬，發(fā)現(xiàn)各腹板剪應(yīng)力分配不均勻，在設(shè)計(jì)中應(yīng)予以充分考慮；李海燕等[8]以運(yùn)寶黃河大橋?yàn)楣こ瘫尘?，研究了單箱五室斜拉箱梁橋腹板的抗剪性能，得到混凝土腹板的剪力分配比重高于鋼腹板；鄧文琴等[9]以模型試驗(yàn)和數(shù)值模擬為手段，研究了內(nèi)襯混凝土對(duì)變截面組合箱梁橋剪切和扭轉(zhuǎn)性能的影響，發(fā)現(xiàn)內(nèi)襯混凝土與鋼腹板承剪比隨荷載的增加而變化；崔學(xué)峰等[10]研究了內(nèi)襯混凝土對(duì)波形鋼腹板受剪性能的影響，并給出了內(nèi)襯混凝土構(gòu)造尺寸的優(yōu)化建議.在理論研究方面，尼穎升等[11]運(yùn)用空間網(wǎng)格法分析了多室組合箱梁的腹板剪力分配情況，揭示了橫隔板處截面的剪應(yīng)力分布規(guī)律；劉超等[12]在不考慮組合梁界面滑移的前提下，運(yùn)用梁段微元法給出了組合箱梁的剪應(yīng)力計(jì)算方法；李杰等[13-14]以理論推導(dǎo)和有限元方法為手段，計(jì)算分析了多種荷載作用下組合箱梁波形鋼腹板的剪應(yīng)力分布規(guī)律及其傳遞效率；王強(qiáng)等[15]在既有變截面箱梁剪應(yīng)力計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，分析了懸臂板寬度和厚度、梁高、腹板和底板厚度及箱室寬度對(duì)腹板剪力流分配的影響；喬朋等[16]建立了單箱雙室和三室波形鋼腹板組合梁的有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ停治隽藱M向?qū)ΨQ和偏心荷載作用下波形鋼腹板的剪應(yīng)力分布模式，并揭示了其產(chǎn)生機(jī)理及分布規(guī)律；Zhou等[17]在分析變截面箱梁剪應(yīng)力分布模式的基礎(chǔ)上，結(jié)合力的等效原理給出了該箱梁剪應(yīng)力的簡(jiǎn)化計(jì)算公式.上述文獻(xiàn)對(duì)箱梁橋剪應(yīng)力的計(jì)算方法已開展了比較深入的研究，但現(xiàn)有方法計(jì)算箱梁剪應(yīng)力時(shí)過程較繁瑣，不便于設(shè)計(jì)人員使用，尤其對(duì)于變厚度的變截面箱梁剪應(yīng)力計(jì)算更是麻煩，因此需要對(duì)該方法做進(jìn)一步優(yōu)化和精簡(jiǎn).

本文運(yùn)用變截面梁段內(nèi)力微分關(guān)系和微元體平衡微分方程建立箱梁剪應(yīng)力的傳統(tǒng)計(jì)算方法(即TCM法)；基于TCM法計(jì)算公式，分析變截面箱梁各項(xiàng)剪應(yīng)力分布模式之間的相似關(guān)系，提出截面換算剪力的概念，并引入剪應(yīng)力分項(xiàng)系數(shù)，建立變截面箱梁剪應(yīng)力的簡(jiǎn)化計(jì)算方法(即SCM法)；以變截面懸臂箱梁為例，通過有限元解和TCM解來考證簡(jiǎn)化計(jì)算方法的正確性，并揭示各項(xiàng)剪應(yīng)力沿截面橫、縱向的分布規(guī)律.

1 傳統(tǒng)計(jì)算方法

圖1為受任意豎向?qū)ΨQ荷載p(z)作用的變截面箱梁橫斷面簡(jiǎn)圖.oxyz為右手直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)o位于截面形心處，z為縱軸；b1、b2、b3分別為頂、底板半寬和懸臂板寬，hu、hb分別為頂、底板中面至形心軸的距離，h為頂?shù)装逯忻嬷g的距離，tu、tb分別為頂、底板厚度，tw為腹板厚度，θ為腹板俯角；中面上的箭頭表示剪力流坐標(biāo)系(即s坐標(biāo)系)，計(jì)算起點(diǎn)選在頂、底板中點(diǎn)和懸臂板自由端處，箭頭指向表示靜面矩積分方向，數(shù)字1～10表示相應(yīng)的積分起止點(diǎn).計(jì)算時(shí)假定箱梁彎曲剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布，則剪力流可表達(dá)為剪應(yīng)力τ與壁厚t的乘積，即q=τt.

圖1 箱梁橫截面及坐標(biāo)系

如圖2所示，在變截面箱梁上取長(zhǎng)度為dz的微段，圖中M、Q、N分別為作用在梁端的彎矩、剪力和軸力，α為兩端橫截面形心連線的水平傾角，β為梁底傾角.

圖2 變截面箱梁微段受力圖

運(yùn)用力矩平衡條件可得內(nèi)力的微分關(guān)系，即

(1)

式中，M為截面繞x軸的彎矩，其方向?yàn)榱后w下側(cè)受拉為正，受壓為負(fù)；N的方向?yàn)閴簽檎瓰樨?fù)；Q的方向?yàn)轫槙r(shí)針正，逆時(shí)針負(fù).

由材料力學(xué)可知，變截面箱梁任一點(diǎn)的初等梁縱向應(yīng)力σ0可表達(dá)為

(2)

式中，Ix為截面繞x軸的慣性矩；A為橫截面積.

式(2)對(duì)z求一階導(dǎo)，并結(jié)合式(1)可得

(3)

式中，A、y、Q、M、Ix都是關(guān)于z的函數(shù).

如圖3所示，在箱梁截面任意點(diǎn)處取壁厚為t的微元體dsdz，沿z向建立正應(yīng)力與剪力流的平衡微分方程，即

(4)

對(duì)s積分可得

(5)

式中，q0為截面剪力流；qA為箱梁橫截面頂板中點(diǎn)切口處的常剪流.

圖3 箱梁任一點(diǎn)微元體受力圖

由箱形梁理論可知，截面開口處的常剪流qA=0[18]，將式(3)代入式(5)可得變截面箱梁橫截面任一點(diǎn)處的剪力流計(jì)算公式：

(6)

由剪力流與剪應(yīng)力的關(guān)系，可得到變截面箱梁橫截面任一點(diǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算公式：

(7)

即

τ0=τQ+τN+τM

(8)

由式(8)可知，變截面箱梁剪應(yīng)力由剪力引起的剪應(yīng)力分量τQ(等截面箱梁計(jì)算公式)、軸力引起的剪應(yīng)力分量τN和彎矩引起的剪應(yīng)力分量τM組成，這與等截面箱梁剪應(yīng)力構(gòu)成存在很大區(qū)別.

2 簡(jiǎn)化計(jì)算方法

為了簡(jiǎn)化變截面箱梁剪應(yīng)力計(jì)算公式，需從TCM法導(dǎo)出的剪應(yīng)力計(jì)算公式入手，發(fā)現(xiàn)各內(nèi)力引起的剪應(yīng)力分量沿橫截面的分布規(guī)律，以此建立各項(xiàng)剪應(yīng)力之間關(guān)系.然后，通過積分法導(dǎo)出各項(xiàng)剪應(yīng)力沿腹板的合力(即換算剪力)，并將其代入等截面箱梁剪應(yīng)力計(jì)算公式得到各項(xiàng)內(nèi)力對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)力分量，疊加后即可得到截面任一點(diǎn)的剪應(yīng)力.

由TCM法導(dǎo)出的彎矩剪應(yīng)力分量τM可知，在任意橫截面z處，其幾何參數(shù)Ix和I′x為常數(shù)，靜面矩Sx和S′x是關(guān)于s的函數(shù).由此可見，彎矩和剪力引起的剪應(yīng)力橫向分布模式之間存在一定的相似性.故運(yùn)用積分法可導(dǎo)出彎矩剪應(yīng)力分量的豎向合力QM(即彎矩?fù)Q算剪力)，其表達(dá)式為

(9)

式中

將式(9)代入等截面箱梁剪應(yīng)力計(jì)算公式可得彎矩剪應(yīng)力分量τM的表達(dá)式：

(10)

為了研究各分項(xiàng)剪應(yīng)力對(duì)總剪應(yīng)力的貢獻(xiàn)度，特引入剪應(yīng)力分項(xiàng)系數(shù)χi，其定義為

(11)

式中，下標(biāo)i取M、N，其符號(hào)含義與截面內(nèi)力一致.

將式(10)代入式(11)可得彎矩引起的剪應(yīng)力分項(xiàng)系數(shù)χM表達(dá)式，即

(12)

由TCM法導(dǎo)出的軸力剪應(yīng)力分量τN可知，在任意橫截面z處，其面積參數(shù)A、Aa、面積微分A′和慣性矩Ix均為常數(shù)，靜面矩Sx為關(guān)于s的函數(shù)，故軸力和剪力引起的剪應(yīng)力橫向分布模式之間也存在一定的相似性.此時(shí)，可直接導(dǎo)出軸力剪應(yīng)力分量沿豎向的合力QN(即軸力換算剪力),其表達(dá)式為

(13)

將式(13)代入等截面箱梁剪應(yīng)力計(jì)算公式可得軸力剪應(yīng)力分量τN的表達(dá)式：

(14)

將式(14)代入剪應(yīng)力分項(xiàng)系數(shù)表達(dá)式(11)，可得軸力引起的剪應(yīng)力分項(xiàng)系數(shù)χN，即

(15)

上述已通過簡(jiǎn)化計(jì)算方法(SCM法)導(dǎo)出了變截面箱梁彎矩和軸力引起的剪應(yīng)力簡(jiǎn)便計(jì)算公式，則橫截面任一點(diǎn)的剪應(yīng)力可表達(dá)為

τ0=τQ+τM+τN=

(16)

根據(jù)變截面箱梁各項(xiàng)剪應(yīng)力分項(xiàng)系數(shù)的定義，可導(dǎo)出變截面箱梁剪應(yīng)力的另一表達(dá)式：

(17)

3 幾何參數(shù)計(jì)算

圖4 懸臂箱梁作用均布荷載簡(jiǎn)圖

根據(jù)梁底曲線分布形式，可求出縱向任意位置處的梁高h(yuǎn)(z)，即

(18)

截面積A和面積微分A′可表達(dá)為

(19)

式中，b2=b1-htanθ.

形心至上、下翼板的距離hu和hb可表達(dá)為

(20)

慣性矩Ix和微分關(guān)系I′x可表達(dá)為

(21)

1) 形心軸以上部分

在1→2段

在3→2段

在2→4段

2) 形心軸以下部分

在6→5段

在5→4段

4 算例分析

以文獻(xiàn)[19]中介紹的混凝土變截面懸臂箱梁為例，梁高按一次線性分布，跨度為0.6 m，橫截面尺寸如圖5所示.自由端截面頂板肋處對(duì)稱施加豎向集中荷載P=2×15 kN，腹板重心軸處對(duì)稱施加軸向壓力N=2×5 kN，彈性模量E=2.9 GPa，泊松比μ=0.375，剪切模量G=1.054 5 GPa.

圖5 變截面懸臂箱梁橫截面尺寸(單位：mm)

運(yùn)用ANSYS Shell63單元建立變截面箱梁有限元模型，如圖6所示，該模型共劃分為4 178個(gè)節(jié)點(diǎn)，4 160個(gè)單元.固定端截面約束x、y、z三個(gè)方向的平動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，計(jì)算并提取l/2截面的剪應(yīng)力.利用本文TCM和SCM方法計(jì)算并繪制l/2截面的剪應(yīng)力橫向分布圖、腹板重心軸處的剪應(yīng)力縱向分布圖及剪應(yīng)力分項(xiàng)系數(shù)縱向分布圖，如圖7～圖9所示；將截面關(guān)鍵點(diǎn)剪應(yīng)力列于表1和表2，以便于對(duì)比.

圖6 變截面懸臂箱梁有限元模型

(a) 頂板和懸臂板

(b) 底板

(c) 左腹板

圖7 變截面懸臂箱梁l/2截面剪應(yīng)力橫向分布圖

圖8 變截面懸臂箱梁腹板重心軸處的剪應(yīng)力縱向分布圖

由圖7和表1可知：懸臂板、頂板和底板上剪力、軸力及彎矩引起的剪應(yīng)力沿橫向呈一次線性分布，腹板上各項(xiàng)剪應(yīng)力沿豎向呈二次拋物線分布；剪力、軸力引起的剪應(yīng)力流向相同，彎矩引起的剪應(yīng)力流向與前者相反，可見彎矩剪應(yīng)力分量對(duì)總剪應(yīng)力有一定的削弱作用.TCM和SCM法計(jì)算得到的總剪應(yīng)力與有限元解吻合程度良好，2種方法計(jì)算的總剪應(yīng)力最大誤差為7.32%，進(jìn)而驗(yàn)證了SCM方法的正確性.

圖9 變截面懸臂箱梁剪應(yīng)力分項(xiàng)系數(shù)縱向分布圖

由圖8和表2可知：在變截面懸臂箱梁腹板重心軸處，剪力、軸力引起的剪應(yīng)力分量及總剪應(yīng)力沿縱向呈遞增趨勢(shì)，彎矩引起的剪應(yīng)力分量呈遞減趨勢(shì)；彎矩、剪力引起的剪應(yīng)力分量遠(yuǎn)大于軸力引起的剪應(yīng)力分量；SCM和TCM法計(jì)算軸力引起的剪應(yīng)力分量存在一定的誤差，二者最大誤差為17.70%，其余內(nèi)力引起的剪應(yīng)力分量及總剪應(yīng)力吻合程度均良好.

表1 變截面懸臂箱梁l/2截面關(guān)鍵點(diǎn)剪應(yīng)力對(duì)比

表2 變截面懸臂箱梁腹板重心軸處的軸力剪應(yīng)力分量對(duì)比

由圖9可知：彎矩引起的剪應(yīng)力分項(xiàng)系數(shù)沿縱向逐漸減小，且其值小于零；軸力引起的剪應(yīng)力分項(xiàng)系數(shù)沿縱向逐漸增大，且其值大于0；總分項(xiàng)系數(shù)大于0，且沿縱向呈遞增趨勢(shì)，在自由端其值接近于1，在此截面處可按照等截面箱梁剪應(yīng)力計(jì)算公式求解；彎矩分項(xiàng)系數(shù)在總分項(xiàng)系數(shù)中占比較大，軸力分項(xiàng)系數(shù)占比甚小，因此在計(jì)算變截面箱梁剪應(yīng)力時(shí)應(yīng)主要考慮剪力和彎矩的影響.

5 結(jié)論

1) 簡(jiǎn)化計(jì)算方法得到的剪應(yīng)力與傳統(tǒng)計(jì)算方法結(jié)果和有限元解吻合程度良好，進(jìn)而驗(yàn)證了該方法的正確性.

2) 剪力和軸力引起的剪應(yīng)力流向相同，彎矩引起的剪應(yīng)力流向與之相反，彎矩剪應(yīng)力分量對(duì)總剪應(yīng)力有一定的削弱作用.

3) 彎矩引起的剪應(yīng)力分項(xiàng)系數(shù)沿縱向逐漸減小，軸力分項(xiàng)系數(shù)及總分項(xiàng)系數(shù)沿縱向逐漸增大；在自由端處可按等截面箱梁剪應(yīng)力計(jì)算公式求解.

4)彎矩分項(xiàng)系數(shù)沿縱向減小幅度較大，且其在總分項(xiàng)系數(shù)中占比較大；軸力分項(xiàng)系數(shù)沿縱向增大幅度甚小，且其占比可忽略不計(jì)，因此在計(jì)算變截面箱梁剪應(yīng)力時(shí)應(yīng)主要考慮剪力和彎矩的影響.