談力的矢量三角形法在求解極值問(wèn)題中的應(yīng)用

吳金波

摘? ?要：在求解力學(xué)極值問(wèn)題中，常見(jiàn)的教輔資料上的處理方法是代數(shù)法，該法需要學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)推演能力，往往很多學(xué)生不具備這種能力。文章通過(guò)三道例題，采用學(xué)生在受力平衡的動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題中已經(jīng)很熟悉的力的矢量三角形法求解，與代數(shù)解法相比，力的矢量三角形法可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，降低了問(wèn)題切入的門(mén)檻，提高了學(xué)生突破極值問(wèn)題的信心，拓展了學(xué)生的科學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：受力平衡;動(dòng)態(tài)分析;力的矢量三角形法;極值問(wèn)題;科學(xué)思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2021）1-0056-3

在高三物理備考過(guò)程中，經(jīng)常遇到各種臨界問(wèn)題。所謂臨界問(wèn)題，就是指當(dāng)某物理量變化時(shí)，會(huì)引起其他幾個(gè)物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問(wèn)題的描述中常常會(huì)有“剛好”或者“恰好”等字眼給予暗示。在這些變化過(guò)程中，又伴隨著極值出現(xiàn)。本文所討論的極值，是平衡態(tài)（靜態(tài)平衡或者動(dòng)態(tài)平衡）問(wèn)題中的極值。所謂力的平衡問(wèn)題中的極值，是指在力的變化過(guò)程中，某些力會(huì)出現(xiàn)最大值或者最小值問(wèn)題。

這里談到的力的矢量三角形法，是指一個(gè)物體受到三個(gè)力而平衡（靜態(tài)平衡或者動(dòng)態(tài)平衡）時(shí)，由這三個(gè)力矢量首尾依次相連得到的矢量三角形。這三個(gè)力的特點(diǎn)分別是：①一個(gè)恒力（一般是指受力物體的重力）;②一個(gè)變力，其方向不變而大小變化;③另外一個(gè)變力的大小和方向都在變化。通過(guò)大小和方向都在變化的那個(gè)力的方向變化情況，畫(huà)出滿(mǎn)足條件的力的矢量三角形，直接從幾何圖形中可以看出兩個(gè)變力的變化情況，從中很容易找到變力的極值位置。

筆者發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生在已經(jīng)比較熟練地掌握了受力平衡的動(dòng)態(tài)分析的矢量三角形法的情況下，對(duì)于求極值這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算題的處理上，很多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，總是沒(méi)有信心去解答這類(lèi)問(wèn)題。因?yàn)閷W(xué)生在處理這類(lèi)計(jì)算題時(shí)，總是從力的平衡條件入手列出平衡方程，然后經(jīng)過(guò)一系列相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)推演，才能得到某個(gè)變力與一個(gè)（或者幾個(gè)）恒力（往往是重力）以及某個(gè)角度的代數(shù)關(guān)系，然后由數(shù)學(xué)求極值的方法討論出結(jié)果。筆者還發(fā)現(xiàn)，大部分的教輔資料在求極值計(jì)算題的問(wèn)題上，都是采用代數(shù)法來(lái)處理?？赡苁鞘艿浇梯o資料解法的影響，也可能是很多授課老師（筆者聽(tīng)過(guò)幾個(gè)公開(kāi)課的老師就是這么講的）也是這么處理問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生在處理動(dòng)態(tài)分析的極值問(wèn)題上，面對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算題時(shí)，只會(huì)利用代數(shù)法求極值，并且感到困難。既然學(xué)生用代數(shù)法處理極值問(wèn)題有困難，教師就有責(zé)任引導(dǎo)學(xué)生熟悉同種問(wèn)題的兩種方法，拓展、提高學(xué)生的科學(xué)思維能力。

例1 如圖1所示，重力為G的小球用輕繩懸于O點(diǎn)，用力F拉住小球，使輕繩保持偏離豎直方向60°角且不變，當(dāng)F與豎直方向的夾角為θ時(shí)F最小，則θ、F的值分別為（? ? ）

代數(shù)法的解析 分解小球重力如圖2，沿繩OA的分力FOA方向確定，另一分力F′方向不確定，但由三角形定則可以看出，另一分力F′的大小與θ角的大小有關(guān)。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)F′的方向與繩OA垂直時(shí)F′最小，力F最小，所以θ=30°，F(xiàn)min=Gcos30°=G，故答案為B選項(xiàng)。

力的矢量三角形法的解析 首先對(duì)A球受力分析（如圖3），然后將G、F和FOA首尾依次相連，構(gòu)成力的矢量三角形（如圖4），由于A(yíng)球受力情況滿(mǎn)足受力平衡的動(dòng)態(tài)分析方法之力的矢量三角形法的三個(gè)特點(diǎn)：G為恒力，F(xiàn)OA的方向與豎直方向的夾角恒為60°，F(xiàn)的大小和方向都可以變化，動(dòng)態(tài)矢量三角形如圖4所示，很容易看出，當(dāng)F與豎直方向的夾角θ=30°時(shí)，F(xiàn)有最小值，即Fmin=G。

當(dāng)然，對(duì)于這類(lèi)相對(duì)比較簡(jiǎn)單的極值問(wèn)題，用代數(shù)法和幾何法處理的難度都不大，哪種方法學(xué)生都容易掌握。但是，對(duì)于一些需要較復(fù)雜的數(shù)學(xué)推演和討論才能求解的極值問(wèn)題，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，就顯得捉襟見(jiàn)肘了。這時(shí)，如果授課老師引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)生已經(jīng)熟知的力的矢量三角形法處理，會(huì)讓學(xué)生有種醍醐灌頂?shù)母杏X(jué)。

例2 如圖5所示，質(zhì)量為M的斜劈傾角為θ，在水平面上保持靜止，當(dāng)將一質(zhì)量為m的木塊放在斜面上時(shí)正好勻速下滑。如果用與斜面成α角的力F拉著木塊沿斜面勻速上滑。已知m=1 kg，θ=15°，g=10 m/s2，求F的最小值以及對(duì)應(yīng)的α的取值。

這種解法很粗糙，每個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都沒(méi)有相應(yīng)的受力分析，這不是一個(gè)好的示范解法。

力的矢量三角形法的解析 木塊在斜面上向下勻速下滑，對(duì)m受力分析如圖6所示，由平衡條件有：mgsinθ=μmgcosθ，得μ=tanθ。

在拉力F作用下勻速向上滑動(dòng)時(shí)，對(duì)m受力分析如圖7所示。

教學(xué)啟示 通過(guò)三個(gè)例題，分析了力學(xué)動(dòng)態(tài)分析中極值問(wèn)題的兩種解法：代數(shù)法和力的矢量三角形法。大部分高三復(fù)習(xí)資料在處理這類(lèi)極值問(wèn)題時(shí)，都是采用代數(shù)法，而很多學(xué)生的數(shù)學(xué)能力又達(dá)不到能力要求。很多學(xué)生已經(jīng)掌握了力的矢量三角形法，只是思維的角度沒(méi)有達(dá)到，經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，特別是物體受四個(gè)力的動(dòng)態(tài)分析極值問(wèn)題時(shí)，有了教師的指導(dǎo)，大部分學(xué)生會(huì)有一種醍醐灌頂?shù)母杏X(jué)。所以，在這個(gè)問(wèn)題的處理上，建議授課教師可以?xún)煞N方法都用，拓展學(xué)生的科學(xué)思維能力。

（欄目編輯? ? 羅琬華）