基于zig-zag假設(shè)的壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)機(jī)電耦合建模與分析

王雄, 高英山, 張順琦,, 竇偉元

1.榆林學(xué)院 能源工程學(xué)院, 陜西 榆林 719000; 2.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院, 上海 200072;3.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院, 北京 100044

薄壁結(jié)構(gòu)由于質(zhì)量輕,廣泛應(yīng)用于航空、航天領(lǐng)域,如太陽能帆板、飛機(jī)的機(jī)翼和艙體等。單一功能的薄壁結(jié)構(gòu)極易發(fā)生振動與變形,且結(jié)構(gòu)阻尼低、不穩(wěn)定[1]。壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)具有被動阻尼和主動致動性能,也稱為主被動結(jié)構(gòu),具有良好的力學(xué)特性,廣泛應(yīng)用于形狀控制、振動控制、噪聲控制等方面[2]。黏彈性阻尼材料特殊的物理性能,使得主被動阻尼層合結(jié)構(gòu)擁有復(fù)雜的層間物理特性,增加了主被動阻尼層合結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模難度,且不易實(shí)現(xiàn)。

最早Kerwin等[3]對黏彈性材料的阻尼參數(shù)進(jìn)行了定量分析,并提出了阻尼材料的損耗因子。王金朝等[4]采用多輸入多輸出錘擊法對約束阻尼板進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)并與有限元結(jié)果互相驗(yàn)證。陳威和夏利娟[5]基于模態(tài)應(yīng)變能法推導(dǎo)出模態(tài)損耗因子的修正公式,結(jié)果表明阻尼加筋板的阻尼彈性模量頻變效應(yīng)對模態(tài)損耗因子影響明顯,阻尼材料的彈性模量可取為定值。黃微波等[6]研究了阻尼層合結(jié)構(gòu)的層間厚度對約束阻尼結(jié)構(gòu)振動性能帶來的影響,結(jié)果表明約束層厚度與基層厚度相等時結(jié)構(gòu)復(fù)合損耗因子最大,并且隨著基層厚度與約束層厚度之比逐漸減小,厚度比對結(jié)構(gòu)損耗因子的影響也變小。Jin等[7]對黏彈性阻尼夾層復(fù)合矩形板的振動和阻尼進(jìn)行了分析,基于Reddy的高階剪切理論,并且考慮了彎曲-拉伸、彎曲-扭轉(zhuǎn)、拉伸-扭轉(zhuǎn)以及泊松效應(yīng)等不同情況下的材料耦合情況。

阻尼層合圓柱狀殼體結(jié)構(gòu)在工程中的應(yīng)用也很廣泛。Mokhtari等[8]利用Rayleigh-Ritz方法提出了夾層圓柱殼的一個計(jì)算公式,討論了關(guān)鍵參數(shù)對動力性能的影響。Yang等[9]研究了中間夾層為黏彈性材料的復(fù)合材料板的超音速顫振阻尼效應(yīng)。Huang等[10]建立了2種基于剪切和壓縮阻尼機(jī)制的夾層結(jié)構(gòu)分析模型,并說明了這2種不同阻尼機(jī)制的適用范圍。Ebrahimi和Barati[11]建立了一個非局部應(yīng)變梯度板模型,研究了黏彈性、非局部參數(shù)、電壓等因素對壓電阻尼層合板振動特性的影響。

通過文獻(xiàn)調(diào)研可知,多數(shù)文獻(xiàn)集中于阻尼層合板結(jié)構(gòu)的研究,對于在工程中應(yīng)用前景很廣的壓電阻尼層合殼體結(jié)構(gòu)研究較少。本文擬構(gòu)建基于zig-zag板殼假設(shè)的“機(jī)-電”耦合壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)有限元模型。用文獻(xiàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的正確性,并進(jìn)一步研究材料增強(qiáng)角度、阻尼層厚度和結(jié)構(gòu)曲率對壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)頻率和損耗系數(shù)的影響,可以為壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)的減振降噪及結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供必要的理論基礎(chǔ)。

1 壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)

圖1 結(jié)構(gòu)變形與自由度表示

則板殼結(jié)構(gòu)上任意點(diǎn)的位移向量u可以用7個運(yùn)動學(xué)參數(shù)表示為

u=Zv=

(1)

式中:v為位移向量;Z為變換矩陣,其中zv和ze值取決于計(jì)算的結(jié)構(gòu)位置,如表1所示。

表1 zv和ze取值

2 應(yīng)變位移關(guān)系

假設(shè)結(jié)構(gòu)在厚度方向上不可壓縮,這時Green-Lagrange應(yīng)變張量主要由面內(nèi)應(yīng)變εαβ和橫向剪切應(yīng)變εα3組成,可以寫為[12]

(2)式與(3)式中各應(yīng)變分量與位移場之間的關(guān)系可以表示為:

1) 對于計(jì)算結(jié)構(gòu)位置Θ3≤z1與Θ3≥z2

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

計(jì)算Θ3≤z1時d=z1,計(jì)算Θ3≥z2時d=z2。

2) 對于計(jì)算結(jié)構(gòu)位置z1<Θ3

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中

(14)

3 動力學(xué)有限元模型

3.1 本構(gòu)方程

壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)機(jī)電耦合有限元本構(gòu)方程的矩陣形式為

式中，σ,ε,D和E分別表示應(yīng)力向量、應(yīng)變向量、電位移向量和電場向量。此外,c為彈性常數(shù)矩陣,其與壓電常數(shù)矩陣d和e之間的關(guān)系可以用矩陣形式表示為e=dc,χ為介電常數(shù)矩陣。

圖2 局部坐標(biāo)系和材料坐標(biāo)系

(17)

3.2 動力學(xué)有限元方程

采用Hamilton原理來推導(dǎo)壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程,可以表述為從t1到t2的虛功積分等于零,即

(18)

式中，δT為壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)的動能微分,可以表示為

(19)

(20)

外力功的變分可以表示為

(21)

將(19)～(21)式代入(18)式可以得到壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)的機(jī)電耦合動力學(xué)有限元方程

式中：q為節(jié)點(diǎn)自由度向量；Muu,Kuu,Kuφ和Kφφ分別為總質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、耦合剛度矩陣和壓電矩陣;Fue和Gφe為外力和電場向量。

3.3 阻尼材料模型與復(fù)剛度矩陣

通常認(rèn)為阻尼材料的彈性模量是復(fù)彈性模量,表示為

Gv=GR+iGI=GR(1+iηv)

(24)

彈性模量實(shí)部GR稱為儲能模量,彈性模量虛部GI稱為損耗模量,ηv表示阻尼材料的損耗因子。則結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣Kuu可以寫為

(25)

壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)的自然頻率f和損耗系數(shù)η可表達(dá)為

(26)

式中，λn是第n階復(fù)特征角頻率。彈性層的阻尼矩陣用CS表示,根據(jù)Moita等[14]使用的方法來求解阻尼材料的阻尼矩陣CV,可以表示為

(27)

根據(jù)(25)式和(27)式,(22)式可以整理為

(28)

4 有限元仿真及數(shù)據(jù)分析

4.1 模型驗(yàn)證

采用如圖3所示的對稱阻尼層合板與文獻(xiàn)[15]的固有頻率和損耗系數(shù)結(jié)果進(jìn)行對比。板的尺寸為348 mm×304.8 mm×0.762 mm,中間阻尼層厚度為0.254 mm。阻尼材料的損耗系數(shù)ηv為常數(shù)0.5,阻尼層與彈性層的材料參數(shù)如表2所示。

圖3 阻尼層合結(jié)構(gòu)示意圖

表2 阻尼結(jié)構(gòu)材料參數(shù)

采用12×10網(wǎng)格劃分,八節(jié)點(diǎn)矩形單元,兩短邊簡支(simply supported:S),兩長邊固支(clamped:C),即CSCS。且認(rèn)為壓電材料在無外電場情況下為閉環(huán)狀態(tài)。則結(jié)構(gòu)前5階固有頻率f和結(jié)構(gòu)損耗系數(shù)η數(shù)據(jù)對比如表3所示,仿真結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果吻合較好。

表3 結(jié)果數(shù)據(jù)對比驗(yàn)證

4.2 壓電阻尼層合殼體參數(shù)化研究

壓電阻尼層合殼體結(jié)構(gòu)如圖4所示,半徑用R表示,壓電層厚度為1 mm,復(fù)合彈性層(T300/976)的厚度為1.5 mm,寬度W=160 mm,中性面弧長為314 mm。復(fù)合材料(T300/976)和壓電層的材料參數(shù)在表4中列出,且認(rèn)為它們?yōu)閺椥詫?。阻尼材料參?shù)如表2所示。在Θ1和Θ2方向上分別劃分了8個和10個網(wǎng)格,采用七自由度八節(jié)點(diǎn)的矩形單元。

圖4 壓電阻尼層合殼示意圖

表4 壓電阻尼層合殼結(jié)構(gòu)材料參數(shù)

殼體兩直邊固支,其余簡支,即CSCS。令結(jié)構(gòu)半徑R=100 mm,阻尼層的厚度為1 mm,復(fù)合彈性層(T300/976)的增強(qiáng)角度β變化范圍為0°～90°,結(jié)果如表5所示。當(dāng)增強(qiáng)角度增加到55°時,第一階結(jié)構(gòu)頻率f1逐漸增加,隨著增強(qiáng)角度繼續(xù)增加,頻率開始緩緩降低,而第一階損耗因子η1一直處于下降狀態(tài);角度從0°逐漸變化到90°時,第二階頻率f2一直增加,第二階損耗因子η2整體呈降低趨勢。

表5 增強(qiáng)角度β對結(jié)構(gòu)頻率f和損耗因子η的影響

圖5 曲率Ω對結(jié)構(gòu)頻率f和損耗因子η的影響

同時固定壓電阻尼層合殼體的2條直角邊,即邊界條件為CFCF。結(jié)構(gòu)的半徑R為100 mm,增強(qiáng)角度β=0°保持不變,而阻尼層厚度從0.1 mm逐漸增加至5 mm。結(jié)果如圖6所示,當(dāng)阻尼層厚度從0.1 mm增加到約1 mm時,頻率降低非?？?而當(dāng)阻尼層厚度繼續(xù)增加時,頻率開始緩慢增加;而損耗系數(shù)在阻尼層厚度從0.1～5 mm時一直減小,但減小的速度越來越慢。即阻尼層厚度對結(jié)構(gòu)特性的影響并不是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的。

圖6 阻尼層厚度對結(jié)構(gòu)頻率f和損耗因子η的影響

4.3 靜力學(xué)和動力學(xué)仿真

本節(jié)研究邊界條件為CFFF的壓電阻尼層合殼體(見圖4)的靜力和動力學(xué)特性。令殼的半徑R=100 mm,阻尼層的厚度為0.5 mm和增強(qiáng)角度β=0°。其他尺寸、材料、單元類型和網(wǎng)格劃分與4.2節(jié)相同。壓電片黏貼面的電勢為零,且整個上表面都是等電位的。對殼體結(jié)構(gòu)施加150 V電壓,殼體結(jié)構(gòu)在Θ2方向上中心線位移如圖7靜力學(xué)響應(yīng)所示,殼體距離固定端越遠(yuǎn),節(jié)點(diǎn)位移就越大。

圖7 壓電阻尼層合殼體的靜力和動力學(xué)響應(yīng)

對結(jié)構(gòu)施加電壓后,結(jié)構(gòu)會在一個范圍內(nèi)來回振動。由圖5可知?dú)んw的頻率為35.8 Hz,取0.1 s即3.58個振動周期來研究該殼體的動力學(xué)特性。不考慮阻尼情況下自由端中間節(jié)點(diǎn)的環(huán)向振動響應(yīng)如圖7所示?，F(xiàn)實(shí)中結(jié)構(gòu)不會一直振動下去,結(jié)構(gòu)會逐漸趨于平穩(wěn),這個過程是阻尼效應(yīng)作用的結(jié)果。不同阻尼效應(yīng)情況下殼體的自由端中間節(jié)點(diǎn)的環(huán)向振動,結(jié)果如圖8所示。圖例中CS表示只考慮了結(jié)構(gòu)自身的阻尼效應(yīng);CS+CV則表示既考慮了結(jié)構(gòu)自身的阻尼效應(yīng)又考慮了黏彈性結(jié)構(gòu)的阻尼效應(yīng)?？梢钥闯鲳棇幼枘峥梢允菇Y(jié)構(gòu)的振動衰減很快,對抑制結(jié)構(gòu)振動有很好的效果。

圖8 壓電阻尼層合殼體的環(huán)向振動阻尼效應(yīng)

5 結(jié) 論

基于zig-zag假設(shè)構(gòu)建了壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)機(jī)電耦合動力學(xué)和靜力學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)層間材料參數(shù)差異巨大的準(zhǔn)確計(jì)算。與參考文獻(xiàn)算例數(shù)據(jù)對比驗(yàn)證模型正確性后,使用建立的模型對壓電阻尼層合殼體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了靜力學(xué)和動力學(xué)分析,得出：

1) 增強(qiáng)角度在0°～90°逐漸增加時,當(dāng)增加到約55°時,結(jié)構(gòu)頻率逐漸增加,之后頻率隨著增強(qiáng)角度的增加而緩緩降低;而損耗因子一直處于降低狀態(tài)。

2) 壓電阻尼層合殼體結(jié)構(gòu)的曲率從0增加到0.01 mm-1時,殼體結(jié)構(gòu)的頻率增加,而損耗系數(shù)逐漸減小。

3) 當(dāng)阻尼層厚度從0.1 mm增加到約1 mm時,頻率降低非常快,隨著厚度繼續(xù)增加,頻率反而緩慢增加;而損耗系數(shù)在阻尼層厚度從0.1～5 mm時減小的速度持續(xù)降低。

4) 研究不同阻尼效應(yīng)下殼體自由端的環(huán)向振動得出黏彈層阻尼可以使結(jié)構(gòu)的振動衰減很快,有很好的減振效果。

本文的研究結(jié)果對壓電阻尼層合結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和使用具有指導(dǎo)意義和參考價值。