橢球形頭部旋轉彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律

朱樂樂，王雨時，聞 泉

(南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

目前，定距引信的定距方式主要有計時和計轉數兩種。計轉數定距引信的理論基礎是旋轉炮彈出炮口后每自轉一周，沿速度方向前進的距離基本不變，且這一距離與彈丸速度近似無關。根據這一原理可將彈目距離換算成炮彈所轉圈數，對引信進行裝定，在彈丸轉數達到裝定圈數時引爆彈丸，達到計轉數定距的目的。實際上，由于極阻尼力矩的存在，彈丸飛行過程中轉速是不斷衰減的。彈丸所轉圈數與其自轉角速度(轉速)有對應的函數關系，因此，研究彈丸外彈道階段的轉速衰減規(guī)律對計轉數定距引信的應用意義重大。就目前的技術而言，直接測量一發(fā)彈丸的實時轉速衰減規(guī)律比較困難而且成本較高，因此，通過理論或仿真的方法建立旋轉彈丸的外彈道轉速衰減規(guī)律一直是研究重點。文獻[1]將常規(guī)彈丸外形看作由圓臺形部、尖拱形部、圓柱形部和彈帶部組成，基于空氣動力學理論得到了彈丸每部分的極阻尼力矩和常規(guī)彈丸的外彈道轉速衰減規(guī)律。文獻[2]基于文獻[1]的理論建立了頭部為球形彈丸的外彈道轉速衰減規(guī)律數學模型，并將該模型與彈丸質心外彈道方程聯立，得到了球頭形旋轉彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律。文獻[3]基于空氣動力學理論得到了頭部輪廓為準拋物線彈丸的外彈道轉速衰減規(guī)律，并將其與用經驗公式得到的結果對比，又通過Fluent軟件仿真彈丸的極阻尼力矩，驗證了理論計算的準確性。外彈道學中有一些描述彈丸轉速衰減規(guī)律的經驗公式，這些經驗公式有一定的參考意義，如柔格里公式、指數函數公式[4]、冪函數公式[4]等；但這些公式形式簡單，考慮因素較少，精度往往難以滿足引信與彈丸的研究和設計要求。隨著理論和計算手段的發(fā)展，通過理論推導和計算機仿真的方法得到較為準確的彈丸轉速衰減規(guī)律已成為現實[5-6]。本文所研究的彈丸頭部為橢球形，目前尚未有文獻研究過類似外形彈丸的外彈道轉速衰減規(guī)律。本文將分別基于空氣動力學理論和Fluent軟件仿真彈丸極阻尼力矩系數兩種方法建立橢球形頭部旋轉彈丸的外彈道轉速衰減數學模型，并將兩方法得到的模型與彈丸質心外彈道方程聯立，借助Matlab軟件進行數值解算，得到橢球形頭部彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律。最后與經驗公式和靶場試驗結果進行比較，對結果的準確性進行驗證。

1 橢球形頭部彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律數學模型

1.1 彈丸外形分析

本文研究對象為中口徑亞音速旋轉穩(wěn)定彈丸，其外形如圖1所示。為了減小阻力，彈丸頭部設計為橢球形。由圖1可知該彈丸輪廓是由六段曲線構成——第一段為橢球形、第二段為圓柱、第三段為彈帶、第四段為圓柱、第五段的回轉母線為圓弧、第六段為圓柱。

圖1 橢球形頭部彈丸(含引信)外形圖Fig.1 The figure of the ellipsoidal head projectile (including fuze)

為方便分析該彈丸的外彈道自轉角速度衰減規(guī)律，做如下假設[1]：

a) 彈丸的外形關于彈軸對稱分布、質量均勻；

b) 將沿彈丸表面的空氣流動視為一個面積與彈丸外表面展開面積相同的平板表面流動，其附面層流動為紊流流動(該彈丸飛行過程中周圍氣流雷諾數數量級為106)；

c) 彈丸所在環(huán)境符合國際標準大氣；

d) 彈帶上的膛線切槽表面光滑、形狀規(guī)則、分布均勻；

e) 除彈帶外，不考慮彈丸外表面凹凸不平(如扳手槽、膛線印痕等)產生的極阻尼力矩。忽略彈尾圓平面和圓角產生的極阻尼力矩。

1.2 彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律數學模型

根據空氣動力學理論，紊流附面層下，空氣對平面薄板的摩擦應力τ為[1]：

(1)

式(1)中,ρ為空氣密度，kg/m3；ν為運動粘度系數，ν=μ/ρ,μ為粘性系數；z為平薄板上的坐標(與氣流方向一致)，無量綱；V為氣流速度，m/s。

(2)

對于大多數旋轉穩(wěn)定彈丸，彈丸速度V遠大于ωR，則式(2)可簡化為：

(3)

根據上述理論，可先分別計算出每段彈丸表面因空氣阻力產生的極阻尼力矩，再累加得到彈丸總的極阻尼力矩M。建立如圖1所示的XOY坐標系，下面分段計算彈丸表面的極阻尼力矩。

1) 第一段橢球段的極阻尼力矩

(4)

(5)

對式(5)從x0到x1積分，采用τ⊥的簡化形式代入后，得到橢球段極阻尼力矩M1的表達式：

(6)

由圖1可知，式(6)中x0=0，x1=0.042 m。

2) 第二段圓柱段的極阻尼力矩[1]

該圓柱部分長為H1，底面半徑為R1。第一段橢圓弧弧長為S1，則圓柱面微元面積ds=2πR1dy。在該微元上產生的極阻尼力矩微元為：

(7)

對式(7)從y=S1到y(tǒng)=S1+H1積分得到該段圓柱的極阻尼力矩M2為：

3) 彈帶部的極阻尼力矩[1]

彈丸發(fā)射時，在炮膛內由于膛線的擠壓會在彈帶處留下切槽。在彈丸飛行過程中，彈帶切槽會受到空氣阻力的作用，產生極阻尼力矩。由彈帶切槽引起的極阻尼力矩可由下式計算：

(8)

式(8)中，N為炮管膛線數；Sdi為第i條彈帶沿平行彈軸方向截面面積；m為彈帶數；α1為沖角，α1=ε-α，α為身管纏角；ε為與彈丸速度V、直徑d和轉速ω有關的中間變量，ε=arctan(ωd/2V)；CN為彈帶突起部分的法向空氣動力系數。

4) 第四段圓柱段的極阻尼力矩[1]

該圓柱部分長為H2，底面半徑為R2，彈帶寬度為W，該段圓柱面微元面積為ds=2πR2dy。在該微元上產生的極阻尼力矩微元為：

(9)

對式(9)從y=S1+H1+W到y(tǒng)=S1+H1+W+H2積分得到該段圓柱的極阻尼力矩M4為：

5) 第五段半球形段的極阻尼力矩[2]

(10)

將式(10)從αE到αF積分即可得到該段的極阻尼力矩M5：

6) 第六段圓柱段的極阻尼力矩[1]

該段圓柱長為H3，半徑為R3，第三段圓弧長S2=r(αF-αE)。該圓柱段的微元面積ds=2πR3dy，則空氣阻力在該微元上產生的極阻尼力矩微元dM為：

(11)

將式(11)從S1+H1+W+H2+S2到S1+H1+W+H2+S2+H3積分可得該圓柱段的極阻尼力矩M6：

彈丸在外彈道階段的自轉角速度衰減規(guī)律可描述為[7]：

(12)

式(12)中，I為彈丸的極轉動慣量，ω為彈丸自轉角速度，M為彈丸極阻尼力矩。由式(12)可知，在外彈道階段，彈丸的角速度衰減規(guī)律完全由彈丸極阻尼力矩決定。前面已分段求出了該彈丸的極阻尼力矩，則該外彈道轉速衰減規(guī)律數學模型為：

(13)

將榴彈各段極阻尼力矩表達式中有關彈丸結構的變量定義為彈丸綜合結構參數：

將ρ0=1.225 kg/m3，μ0=1.789 4×10-5kg/m/s代入，得該彈丸各段極阻尼力矩為：

(14)

將式(14)代入式(13)得：

(15)

式(15)即為該彈丸外彈道自轉角速度衰減規(guī)律數學模型。該式為非線性微分方程，無解析解，只能與彈丸外彈道質心運動方程聯立求得數值解。求解初始條件為：t0=0，ω0=ωg。

1.3 彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律數值解算結果分析

將該彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律數學模型與外彈道質心運動方程聯立后可用Matlab軟件編寫程序，使用ode45法求解該微分方程組的數值解。求解所需的原始數據如表1所列。計算時間為30 s，經驗算時間步長取10-4s時計算結果收斂，因此，計算時間步長取10-4s。經過求解得到了15°射角下彈丸外彈道自轉角速度衰減曲線，如圖2。圖中將理論模型的轉速衰減規(guī)律分別和柔格里公式、冪函數公式和指數函數公式三種轉速衰減經驗公式進行了對比。從圖2中可以看出：該榴彈的轉速衰減規(guī)律和三種經驗公式趨勢相同，且與冪函數公式的衰減規(guī)律最為接近。

圖2 彈丸外彈道轉速衰減曲線(15°射角)Fig.2 The attenuation curve of the projectile external ballistic spinning speed (15° firing angle)

表1 彈丸轉速衰減規(guī)律計算原始數據Tab.1 The original calculating data of the attenuation law of projectile speed

15°射角彈丸外彈道解算結果如表2所列(表中只選取了射程為0～1 000 m范圍內的數據)。從表中可以看出在射程為1 000 m時，理論模型與冪函數公式計算出的彈丸轉數相差約5圈。

2 橢球形頭部彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律仿真研究

外彈道學中認為彈丸自轉角速度的衰減是極阻尼力矩造成的，彈丸極阻尼力矩的表達式為[7]：

(16)

式(16)中，Mxz為彈丸極阻尼力矩，mxz為彈丸極阻尼力矩系數，l為彈長，I為彈丸極轉動慣量，ω為彈丸自轉角速度。

由式(16)可知：對于某一確定彈丸，其極阻尼力矩與極阻尼力矩系數有確定的函數關系，而彈丸極阻尼力矩系數與彈丸飛行過程中的速度和轉速有關[7]。隨著計算流體力學的發(fā)展，彈丸的極阻尼力矩系數可通過Fluent軟件仿真得到。因此，也可以通過仿真的手段直接得到彈丸極阻尼力矩，再通過非線性擬合的方法得到極阻尼力矩系數與彈丸速度和轉速的關系代入式(16)，結合彈丸質心外彈道運動方程，得到彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律。

通過Fluent軟件仿真彈丸攻角為0°情況下，彈丸速度為1、0.8、0.6、0.4Ma，轉速分別為500、450、400、350 rad/s時彈丸的極阻尼力矩系數。仿真結果如表3所列。為了更直觀地看出彈丸極阻尼力矩系數隨彈丸速度和轉速的變化規(guī)律，將表3中的數據通過Matlab擬合彈丸極阻尼力矩系數隨彈丸速度和轉速的變化曲線，如圖3所示。從圖3可以看出攻角為0°時，在仿真的速度范圍內，轉速一定時，彈丸極阻尼力矩系數隨著彈丸速度的減小而增大，該結論與文獻[8]一致；彈丸速度一定時，彈丸極阻尼力矩系數隨著彈丸轉速的增大而增大。

圖3 攻角為0°時彈丸極阻尼力矩系數隨速度和轉速的變化曲線Fig.3 The change curve of the extreme damping torque coefficient of the projectile with speed and rotation speed when the angle of attack is 0°

以表3中的彈丸速度和轉速為自變量，極阻尼力矩系數為因變量，通過1stOpt軟件對彈丸極阻尼力矩系數mxz與彈丸速度v和轉速ω關系進行非線性擬合。得到三者的數值關系式如下：

(17)

式(17)中，系數p1=-47.588 5，p2=110.355 1 s/m，p3=-69.775 3 s2/m2，p4=0.008 8 s，p5=1.020 5×10-4s2，p6=-39.858 7 s/m，p7=79.660 6 s2/m2，p8=-37.050 6 s3/m3，p9=0.017 8 s，p10=-1.256 4×10-5s2。擬合度為0.999 98，擬合殘差平方和為0.030 8，擬合效果良好。

將式(17)代入彈丸質心外彈道運動方程即可得到通過擬合彈丸極阻尼力矩系數與彈丸速度和轉速的關系得到的彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律，稱這一規(guī)律為擬合公式模型。通過Matlab編程，使用ode45算法求解該微分方程組。求解所需的初始數據如表1所列。射角為15°時，計算得到的彈丸外彈道轉速衰減曲線如圖4所示。從圖中可以看出，擬合公式模型得到的轉速衰減曲線與指數函數公式最為接近，與另外幾種模型得到的曲線相差也不大，說明了利用極阻尼力矩系數擬合公式得到彈丸外彈道轉速衰減曲線的方法是可行的。計算得到的橢球形頭部彈丸外彈道諸元如表4所列，表中將擬合公式模型和理論模型轉速進行對比。結合圖4可以看出，擬合公式模型轉速衰減得比理論模型快，同一距離裝定的圈數也比理論模型少。在1 000 m處，兩者計算得到的裝定圈數相差約14圈。

圖4 不同模型求得的彈丸轉速衰減曲線(15°射角)Fig.4 Speed attenuation curve of projectile obtained by different models (15° firing angle)

表4 利用Fluent軟件仿真彈丸極阻尼力矩系數得到的彈丸外彈道諸元(15°射角)Tab.4 The external ballistic elements of the projectile obtained by asing Fluent softwave to simulate the extreme damping moment coefficient of the projectile (15° firing angle)

3 試驗驗證

為了驗證上述兩種方法得到的彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律的正確性，進行了彈丸外彈道定距空炸試驗：在距離炮口350、400、450 m處設置立靶，利用高速攝像機觀察彈丸在靶板附近的空炸位置。試驗現場如圖5所示，雷達用來測量彈丸炮口速度。試驗數據和試驗結果如表5所列。

圖5 定距空炸試驗現場圖Fig.5 Field diagram of fixed-distance aerial bombing test

前面分別用空氣動力學理論計算得出極阻尼力矩理論公式(簡稱方法A)和擬合Fluent仿真得到的極阻尼力矩系數公式(簡稱方法B)的方法得到了橢球形頭部彈丸的外彈道轉速衰減規(guī)律。下面將定距空炸試驗結果與兩種方法得到的理論結果進行對比來驗證這兩種方法的準確性。試驗時射角約為2.397°，根據表5中的數據，分別用上述兩種方法計算彈丸在試驗裝定轉數下的理論作用距離，結果也列入了表5。可以看出，在一定圈數下，通過方法A計算得到的作用距離與實際作用距離非常接近，在398 m處最大誤差為1.98 m；通過方法B計算得到的作用距離不如方法A精確，且系統(tǒng)性地偏大，在450 m處最大誤差為7.1 m，且通過方法B得到的結果較試驗值系統(tǒng)性地偏大。

表5 彈丸定距空炸試驗數據與理論計算結果Tab.5 Test data and theoretical calculation results of fixed-range air bombing of projectiles

也可以通過比較一定距離下的轉圈數來驗證兩種方法的準確性。如分別計算炮彈在400 m和450 m空炸所需裝定的圈數。計算結果如表6所列。從表中可以看出，方法A的計算結果比方法B更接近于實際。兩種方法得到的裝定圈數與實際裝定的圈數相差都不大：在450 m內，方法A得到的結果與實際相差不大于1圈，方法B得到的結果與實際相差不大于3圈。

表6 彈丸定距空炸試驗數據與理論計算結果Tab.6 Test data and theoretical calculation results of fixed-range air bombing of projectiles

4 結論

本文主要用理論計算和仿真的方法研究了中口徑橢球形頭部旋轉穩(wěn)定彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律，并通過靶場試驗驗證了理論計算和仿真結果的準確性?；诳諝鈩恿W理論得到的彈丸外彈道轉速衰減曲線與冪函數公式最為接近。經過靶場試驗驗證，該方法得到的結果精度較高，可以滿足彈丸研發(fā)階段對外彈道環(huán)境的需求。除了通過理論公式推導得到彈丸的轉速衰減模型外，還可以使用Fluent軟件仿真出一定速度和轉速下彈丸的極阻尼力矩系數，再通過非線性擬合得到極阻尼力矩系數與彈丸速度和轉速的關系式，進而得到彈丸的轉速衰減規(guī)律。通過Fluent仿真彈丸極阻尼力矩系數得到的彈丸外彈道轉速衰減規(guī)律與指數函數公式最為接近，說明通過該方法得到彈丸轉速衰減規(guī)律也是可行的。經過靶場試驗驗證，該方法得到的結果沒有基于空氣動力學理論得到的結果精度高。但是也為得到一些特殊彈形的外彈道轉速衰減規(guī)律提供了一種思路和方法。若要得到更為準確的模型需進行更貼合實際的空氣動力學仿真(如提高有限單元法劃分網格的質量、添加更符合實際環(huán)境的空氣參數等)。