楊輝三角的基本性質(zhì)以及應(yīng)用

華羅庚

一、楊輝三角的基本性質(zhì)

我們先來(lái)探討一下楊輝三角中各個(gè)數(shù)字排列的規(guī)則.一般地，楊輝三角中各個(gè)數(shù)字呈如下的形式排列.

要證明這個(gè)定理并不難，我們可以采用一個(gè)在各門(mén)數(shù)學(xué)中都被廣泛地應(yīng)用到的方法——數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法的用途是它可以推斷出某些在一系列的特殊情形下已經(jīng)成立了的數(shù)學(xué)命題，在一般的情形是不是也正確.它的原理是這樣的：假如有一個(gè)數(shù)學(xué)命題，符合下面兩個(gè)條件：（1）這個(gè)命題對(duì)n=1是正確的；（2）如果這個(gè)命題對(duì)任一正整數(shù)n=k-1成立，就可以推出它對(duì)于n=k也正確.那么這個(gè)命題對(duì)于所有的正整數(shù)n都成立.

事實(shí)上，如果不是這樣，就是說(shuō)這個(gè)命題并非對(duì)于所有的正整數(shù)n都是成立，那么我們一定可以找到一個(gè)最小的使命題不成立的正整數(shù)m.顯然m大于1，因?yàn)檫@個(gè)命題對(duì)n=1是正確的（條件（1））.因此m-1也是一個(gè)正整數(shù).但m是使命題不正確的最小的正整數(shù)，所以命題對(duì)任意n=m-1一定成立.這樣就得出，對(duì)任意正整數(shù)m-1命題是成立的，而對(duì)任意正整數(shù)m命題不成立.這和數(shù)學(xué)歸納法中的條件（2）相沖突.

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常有用的方法.現(xiàn)在我們就用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明二項(xiàng)式定理.