楊氏模量實驗粗調范圍的定量分析

陳 煜

（湛江幼兒師范?？茖W校 信息科學系，廣東 湛江 524037）

楊氏模量實驗調節(jié)通常分為“粗調”和“細調”兩個環(huán)節(jié)[1-2]，粗調是細調的基礎，粗調的目的是使望遠鏡與光杠桿平面鏡共軸等高，使標尺的像在望遠鏡視場范圍內。只有粗調達到要求，才能在細調中快速完成實驗調節(jié)，文獻[3][4][5]對楊氏模量實驗中望遠鏡和平面反射鏡的調整技巧作了探討，文獻[6]對粗調的關鍵步驟給出圖示指引，形象直觀，便于實驗者理解和操作，但對光杠桿平面鏡的上下傾角或者望遠鏡左右偏轉角超出什么范圍時尺像不在望遠鏡的視場內沒有作討論。本研究從系統成像的幾何光學線路圖出發(fā)，通過數學建模對光杠桿平面鏡上下傾角范圍和望遠鏡左右轉角的范圍這兩種極限情況進行定量分析，探討這兩種極限角范圍的規(guī)律，從而判斷光杠桿平面鏡和望遠鏡粗調是否使標尺的像在望遠鏡視場范圍內。

1 光杠桿裝置及主要技術參數

實驗中光杠桿裝置及主要技術參數如圖1和表1所示，其中M為光杠桿平面鏡，b為光杠桿平面鏡后足尖到平面鏡的距離，D為標尺到平面鏡的距離，金屬絲的直徑為d，長度為L，在砝碼的重力mg作用下，伸長量為ΔL，此時光杠桿平面鏡的法線偏轉了θ角，反射光線偏轉2θ，望遠鏡中標尺的讀數變化為Δn，由幾何關系得

表1 YMC-1光杠桿主要技術參數Table 1 Main technical parameters of YMC-1 optical lever

圖1 光杠桿裝置Figure 1 Optical lever device

則金屬絲的楊氏模量為

2 定量分析

由式（3）可知，公式中的D和d容易測量，而Δn的測量需要調節(jié)儀器，在望遠鏡中看到標尺的像才能實現。針對學生由于粗調不到位，造成光杠桿平面鏡上下傾角或者望遠鏡左右偏轉角過大，在望遠鏡中看不到標尺的像的情況，根據YMC-1光杠桿主要技術指標分別對這兩種情況進行定量分析。

2.1 望遠鏡和標尺處于理想狀態(tài)時的光杠桿平面鏡傾角范圍

實驗時，光杠桿平面鏡兩個前足尖放在水平的凹糟中，后腳尖放在中夾緊的被測點上，所以光杠桿平面鏡調節(jié)往往容易出現上下傾斜的情況，如果粗調不到位，平面鏡不鉛直，那么平面鏡會偏離鉛直方向，本研究定義逆時針方向偏轉為正，順時針方向偏轉為負，相關各量如圖2所示，D為平面鏡到標尺的距離，當光杠桿平面鏡的法線偏轉了θ角，反射光線偏轉2θ，望遠鏡中標尺的讀數變化為X。

圖2 光杠桿平面鏡傾斜光路圖Figure 2 Optical path diagram of optical lever plane mirror

由幾何關系得

根據光路和粗調要求，不管θ角沿著逆時針方向增大還是沿著順時針方向增大，它的極限值必須能讓標尺的最上端的刻度值或者最下端的刻度值的像在望遠鏡的視場內，即θ角最大使X=24 cm，否則從望眼鏡看不到標尺的像，則它傾斜角度范圍為[-θ，θ]。通過公式（4），取X=24 cm，可以求出平面鏡傾斜角隨標尺中心到平面鏡中心距離D的變化范圍，如表2所示。

表2 平面鏡傾斜角隨D變化的范圍Table 2 Variation range of the inclination angle of the plane mirror with D

表2的數據顯示，在望遠鏡與標尺處于理想狀態(tài)下，平面鏡的極限傾斜角的范圍隨著標尺到平面鏡中心的距離D增大而減小，如果光杠桿平面鏡粗調不到位，就很難在望遠鏡中找到標尺的像。

2.2 光杠桿平面鏡和標尺處于理想狀態(tài)時的望遠鏡左右偏轉角范圍

理想狀態(tài)下，光杠桿的平面鏡的法線J?與望遠鏡的光軸H?共面平行，俯視圖如圖3所示，其中O′點為鏡面中心，O點為標尺與望遠鏡的距離的中點，ε為望遠鏡到O點的距離，ɑ為理想狀態(tài)下反射光線與平面鏡法線J?的夾角。

圖3 理想狀態(tài)下光路圖Figure 3 Ideal light path diagram

由幾何關系得

圖4 望遠鏡偏轉的光路圖Figure4 Optical path diagram of telescope deflection

在RTΔTGS′中，由幾何關系得

因為ΔTAE為等腰三角形，則

因為ΔAFE～ΔS′GE，由相似三角形對應邊成比例得

把AF=D、FE=（ε-R）及式（7）、式（8）代入式（9）得

移項化簡得

將sinβ和cosβ作泰勒展開，β較小，取二級近似，

代入式（11）得

令

代入式（12）化簡得

令

代入式（13）得

展開為

化簡合并得

令

則

因為

則方程（15）的解為

式中,

則

其中，

利用公式（17）可以計算出在R=2.6 cm、ε=5cm時望遠鏡左右偏轉極限角隨標尺中心與平面鏡中心距離D變化的范圍，結果如表3所示。

表3 望遠鏡偏轉偏轉角隨D的變化范圍Table 3 Variation range of the deflection angle of the telescope with D

從表3的數據可以看出，在標尺中心到平面鏡中心距離D從80 cm增大到230 cm過程中，望遠鏡左右偏轉極限角范圍呈現減小和增大交替變化的規(guī)律特點，最大極限偏轉角范圍在D=220 cm 處，為[-1.067°，1.067°]，但都是非常小的，如果望遠鏡粗調不到位，就很難找到標尺的像。

3 結語

通過對平面鏡的傾斜角和望遠鏡的偏轉角區(qū)間范圍的定量分析，可見這兩個調節(jié)的極限角范圍都非常小，如果粗調不到位，細調很難找到標尺的像，因此在儀器調節(jié)的教學中，強調做好粗調是非常必要的。