趙麗娜 (長春市十一高中,吉林 長春 130024)
2003年在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱“課標(biāo)”)中,把數(shù)學(xué)建模列為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動,強調(diào)把數(shù)學(xué)建模的思想滲透在模塊內(nèi)容之中,并提出了具體活動設(shè)計與要求.2017年修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確把提出數(shù)學(xué)建模作為高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實世界中與數(shù)量、圖形有關(guān)的故事,其依賴于所描述的學(xué)科背景.數(shù)學(xué)建模是一個從現(xiàn)實世界到符號世界的轉(zhuǎn)化,再回到現(xiàn)實世界的循環(huán)方式.可見,數(shù)學(xué)建模具有動態(tài)特征,是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián),積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗,培養(yǎng)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).
數(shù)學(xué)建?;顒邮沁\用模型思想解決實際問題的一類綜合實踐活動,也是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的一條主線,它逐漸成為數(shù)學(xué)教育的熱點問題之一.本文基于核心素養(yǎng)討論急剎車距離模型案例,以期為高中數(shù)學(xué)建模的研究提供參考.
數(shù)學(xué)模型需要從數(shù)學(xué)和現(xiàn)實這兩個出發(fā)點開始,就像建筑橋梁一樣,在建筑之前必須清楚要把橋梁建在哪里,要在此岸和彼岸同時設(shè)計橋墩的具體位置.也就是說,數(shù)學(xué)模型依賴于所描述的學(xué)科背景.數(shù)學(xué)建模是一個從現(xiàn)實世界到符號世界的轉(zhuǎn)化,再回到現(xiàn)實世界的循環(huán)方式將建模過程形象化.數(shù)學(xué)模型更側(cè)重于用數(shù)學(xué)創(chuàng)造出來的概念、原理和方法描述現(xiàn)實世界中的那些規(guī)律性的東西,其適用范圍通常表現(xiàn)為模型的假設(shè)前提、模型的初始值及對模型中參數(shù)的限制.在這個意義上,所有數(shù)學(xué)的形式,諸如函數(shù)、方程等,本身都不是數(shù)學(xué)模型,而是可以用來構(gòu)建模型的數(shù)學(xué)語言.
從課程標(biāo)準(zhǔn)來看,數(shù)學(xué)建模設(shè)置屬于教育性建模,關(guān)注從實用主義角度去理解現(xiàn)實世界的案例,促進(jìn)數(shù)學(xué)概念與算法的發(fā)展;以從學(xué)生能力角度對建模過程分階段進(jìn)行能力培養(yǎng)為目標(biāo),以項目為導(dǎo)向,基于急剎車距離問題,成于活動經(jīng)驗,達(dá)于核心素養(yǎng),落實“三會”和“四能”目標(biāo),將積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識貫串整個設(shè)計之中.
【問題情境】
我們知道物體的運動速度是時間的一次函數(shù),物體的位移是時間的二次函數(shù).因此,人們通常用二次函數(shù)表達(dá)物體的運動規(guī)律,用二次函數(shù)對應(yīng)的二次曲線描述物體的運動軌跡.一輛汽車急剎車的距離,不僅對駕駛員非常重要,對交通安全管理也非常重要.顯然,急剎車的距離與駕駛員的反應(yīng)時間有關(guān),也與剎車前汽車的行駛速度有關(guān);并且,在一般意義上,急剎車的距離因人而異,因車而異.因此,只能給出平均狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型.
【變量選擇】
排除道路狀況、天氣狀況等隨機因素的影響,我們把這個平均狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型用自然語言表達(dá)為:停車距離=反應(yīng)距離+剎車距離.如果用d表示停車距離,用d1表示反應(yīng)距離,用d2表示剎車距離,那么可以把模型用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為:
d=d1+d2
①
這樣,我們需要得到d1和d2的具體表達(dá)式.
(設(shè)計意圖:學(xué)會抽象,選擇變量,去掉干擾變量,確定主變量)
【模型假設(shè)】
首先,考慮反應(yīng)距離.假設(shè)反應(yīng)距離只是反應(yīng)時間和汽車速度的函數(shù).其中,反應(yīng)時間是指駕駛員意識到應(yīng)當(dāng)急剎車到實施急剎車所需要的時間;汽車速度是指駕駛員在實施急剎車之前汽車的速度.在一般情況下,反應(yīng)距離d1與反應(yīng)時間t和汽車速度v都成正比,因此可以把這個關(guān)系表示為d1=αtv,其中α>0為待定系數(shù).但是在現(xiàn)實應(yīng)用中,需要把這個關(guān)系式化簡為:
d1=αv
②
這主要有兩方面原因:一方面,反應(yīng)時間t的具體數(shù)值很難確定;另一方面,無法建立公式計算待定系數(shù)α的值,就像下面將要進(jìn)行的那樣,只能通過若干個形如(d1,v)的能夠觀察到的成對數(shù)據(jù),用統(tǒng)計學(xué)的方法估計αt的值,因此舍去t反而會更加準(zhǔn)確.
其次,考慮剎車距離.排除道路狀況、天氣狀況等隨機因素的影響,還需要假設(shè)汽車的剎車系統(tǒng)和輪胎完好,這樣,剎車距離就是剎車受力與汽車速度的函數(shù).對于剎車受力,假定一次剎車就把輪胎抱死,則剎車受力大小基本就是汽車輪胎與路面的摩擦力.
(設(shè)計意圖:學(xué)會選擇變量,分析關(guān)系,提出模型假設(shè))
汽車剎車速度與停車距離數(shù)據(jù)表
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)能夠建立停車距離與汽車速度的函數(shù)模型.
【建立模型】
d2=βv2
③
其中β為待定系數(shù),蘊含了剎車加速度、道路摩擦系數(shù)等許多很難確定的數(shù)值.這樣,綜合②和③就可以給出模型①的數(shù)學(xué)表達(dá)式:
d=αv+βv2
④
其中α和β均為待定系數(shù).
在一般情況下,現(xiàn)實數(shù)學(xué)模型的待定系數(shù)不可能通過理論計算得到,這是因為在構(gòu)建模型的過程中有許多因素不可能考慮清楚,于是把這些因素的影響都融入待定系數(shù)之中.這樣,即便我們建立的是確定性的數(shù)學(xué)模型,但仍然需要用統(tǒng)計學(xué)的方法估計模型中的待定系數(shù).
這樣,得到下面的急剎車停車距離模型:
d=0.006475v2+0.2065v,
當(dāng)v=120時,停車距離d的預(yù)測值為0.006475×1202+0.2065×120=118.02.
(設(shè)計意圖:根據(jù)模型假設(shè),建立等量關(guān)系,根據(jù)數(shù)據(jù)確定參數(shù))
【模型選擇】
【模型求解】
解得a=1.2425,b=-38.85,
故d=1.2425v-38.85,
當(dāng)v=120時,停車距離d的預(yù)測值為1.2425×120-38.85=110.25;
解得a=0.9996875,b=-1456.875,
解得a≈0.0081607,b≈379.2857,
由實驗數(shù)據(jù)可知:當(dāng)v=120時,停車距離為118 m.
(設(shè)計意圖:選擇不同的模型,根據(jù)結(jié)果和模型擬合,選擇最佳模型)
【歸納提升】
精簡背景.最初模型的預(yù)測值更接近118 m,故模型d=0.006475v2+0.2065v的擬合效果最好.所以這個模型被普遍應(yīng)用于路面交通管理及汽車剎車設(shè)計.
【模型應(yīng)用】
在一個限速40 km/h的彎道上,甲、乙兩車相向而行,發(fā)現(xiàn)情況后同時剎車,但還是發(fā)生了相撞.測得甲車的剎車距離為12 m,乙車的剎車距離為10.5 m,如果已知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)的關(guān)系分別為:
s甲=0.1x+0.001x2,
s乙=0.05x+0.05x2.
請計算出相撞事故的主要責(zé)任車輛.
d=0.208v+0.006v2.
(設(shè)計意圖:根據(jù)最佳模型去判斷、預(yù)測和分析,體會建模的意義)
在上面的討論中可以看到,我們精簡了很多因素與變量.這樣的精簡必將影響表達(dá)式對客觀現(xiàn)實的描述,所以,我們只用數(shù)學(xué)的語言刻畫物體運動的規(guī)律,而不是探究物體運動的原因.
在數(shù)學(xué)模型的發(fā)展歷程中,從建模過程動態(tài)的角度來看主要是循環(huán)特征,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是一個動態(tài)的過程,是一個逐漸接近客觀規(guī)律的過程.可見,數(shù)學(xué)建模從建模意識到思想的感悟,從體驗建模過程到自主建構(gòu),從簡單實踐過程的體驗到經(jīng)驗的積累,單純依賴教師的課堂講授是不行的,更主要的是依賴學(xué)生的自主參與探究和同伴間的合作.教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的建模過程,從感知經(jīng)驗上升到方法經(jīng)驗與思維經(jīng)驗.
1.建模過程動態(tài)的思維特征:數(shù)學(xué)模型是有邏輯的抽象化
構(gòu)建急剎車距離的數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實物理背景本身進(jìn)行抽象.傳統(tǒng)的科學(xué)研究可以從觀察結(jié)果中歸納出結(jié)論,通過現(xiàn)象歸納模型,通過演繹描述模型,通過現(xiàn)象驗證模型,有邏輯地得到研究對象的性質(zhì),以及描述研究對象之間的關(guān)系.通過模型表達(dá),人們用數(shù)學(xué)所創(chuàng)造的語言、符號和方法來描述現(xiàn)實世界中的故事,促進(jìn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展.數(shù)學(xué)建模過程的思維特征是不斷的有邏輯的抽象與推理,是歸納與演繹的有機融合.
2.建模過程動態(tài)的經(jīng)驗特征:數(shù)學(xué)模型是實踐經(jīng)驗與思維經(jīng)驗的復(fù)合
我們知道,數(shù)學(xué)模型的建立最初是對問題復(fù)雜性的洞悉和對變量關(guān)系的選擇.數(shù)學(xué)建模在本質(zhì)上可以是活動經(jīng)驗的積累,可以是思維活動經(jīng)驗的積累,也可以是實踐活動經(jīng)驗的積累.學(xué)生在不同階段積累不同的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,從經(jīng)歷過的事物推斷未曾經(jīng)歷過的選擇,既能夠從條件推斷結(jié)果,又能從結(jié)果探究成因,這是一種創(chuàng)造性思維活動.數(shù)學(xué)建模意識、經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思想的感悟是一種隱性知識,因此,通過構(gòu)建急剎車距離模型既要突出各階段建模不同能力的培養(yǎng)和活動經(jīng)驗的積累,又要注重學(xué)生的自身體驗、感悟和創(chuàng)造.教師通過融合的建模數(shù)學(xué)課程設(shè)計和引導(dǎo),全方位立體化地落實數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的實施,能有效提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
3.數(shù)學(xué)模型課程設(shè)計的融合特征:進(jìn)階與結(jié)構(gòu)化設(shè)計
融合的課程設(shè)計是指在核心知識單元既有單元知識融合,又有獨立的課題設(shè)計;既有小綜合,又有大綜合;既有課內(nèi)探究活動,又有課外探究活動.數(shù)學(xué)建模是過程化、綜合性與實踐性融合一體的教育,是落實學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效載體,因此,數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的進(jìn)階評價還是要回歸數(shù)學(xué)建模的核心特征,改變傳統(tǒng)的“目標(biāo)、成就、評價”的線性單元結(jié)構(gòu)設(shè)計及終結(jié)性評價,提倡以“主題、經(jīng)驗、表達(dá)”的非線性單元結(jié)構(gòu)設(shè)計,這樣既能夠突出各階段不同能力的培養(yǎng)和活動經(jīng)驗的積累,又能夠全方位立體化地突出數(shù)學(xué)模型的地位,落實數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的實施.
4.數(shù)學(xué)模型課程評價的形成特征:個性差異與價值認(rèn)知
數(shù)學(xué)建模是過程的教育,是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中體現(xiàn),因此,數(shù)學(xué)建模的評價還是要回歸數(shù)學(xué)建模的核心特征,改變傳統(tǒng)的終結(jié)性評價,提倡“主題、經(jīng)驗、表達(dá)”的非線性單元結(jié)構(gòu)設(shè)計和形成性評價,并且采用科學(xué)客觀的方法判斷課程實施質(zhì)量.不同階段數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容要求對建模過程、活動經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思維都有所表述,但沒有系統(tǒng)化的闡述和表征.因此,我們試圖建立更清晰的行為表現(xiàn)界定,注重學(xué)生的體驗過程,在體驗的基礎(chǔ)上構(gòu)建自己的價值認(rèn)知;關(guān)注學(xué)生的個性差異,拓寬學(xué)生實踐的智慧時空;關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與活動經(jīng)驗的生成與積累,以此來全方位提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2021年36期