淺談立體幾何中的數(shù)學(xué)文化

馬正芳 何章鳴 (.南雅湘江中學(xué),湖南 長沙 4008 .國防科技大學(xué)文理學(xué)院，湖南 長沙 4007)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，數(shù)學(xué)學(xué)科的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值及數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，使其逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.同時(shí)，《2016年高考考試大綱(修訂版)》中增加了數(shù)學(xué)文化的要求，重申了數(shù)學(xué)文化的重要性，使數(shù)學(xué)文化成為高考的重要考點(diǎn)之一.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也提出教材應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)文化融入學(xué)習(xí)內(nèi)容中.因此，在教學(xué)過程中，教師可以適當(dāng)?shù)亟榻B數(shù)學(xué)科學(xué)研究的成果，開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神.高中數(shù)學(xué)立體幾何部分蘊(yùn)含了一些數(shù)學(xué)文化，本文就此來簡單分析一下.

一、數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵

作為學(xué)科文化中的一類，數(shù)學(xué)文化被人們廣泛認(rèn)識和認(rèn)同的時(shí)間要早于物理文化、化學(xué)文化等學(xué)科文化.與其他學(xué)科不同，數(shù)學(xué)學(xué)科所研究的不是具體的物質(zhì)運(yùn)動形態(tài)或者組織屬性，而是從自然界眾多物質(zhì)運(yùn)動狀態(tài)中抽象出來的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)關(guān)系和數(shù)學(xué)性質(zhì).換言之，諸如點(diǎn)、線(包括直線和線段)、面、體等數(shù)學(xué)學(xué)科中的概念及其關(guān)系是對自然界和人類社會發(fā)展過程中的多種多樣的現(xiàn)象進(jìn)行抽象提取而得出的數(shù)學(xué)規(guī)律.

目前,關(guān)于數(shù)學(xué)文化的概念，學(xué)術(shù)界并沒有形成一致性的觀點(diǎn)，但不同學(xué)者從研究與實(shí)踐的層面給出了相應(yīng)的看法.有人認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科中的各類思想、方法以及數(shù)學(xué)活動中所涉及的語言、思維方式、歷史等均屬于數(shù)學(xué)文化的范疇[1-3].也有人認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展過程中衍生出來的思想、精神、知識、方法、技術(shù)、理論等內(nèi)容，是相關(guān)文化領(lǐng)域在數(shù)學(xué)學(xué)科的具體體現(xiàn).更有人認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是從具體的數(shù)學(xué)知識和其應(yīng)用中提取出來的文化元素，是能對人的數(shù)學(xué)思維和行為習(xí)慣產(chǎn)生深刻影響的內(nèi)容.

學(xué)術(shù)界和教育界關(guān)于數(shù)學(xué)文化的認(rèn)知尚處于深化階段，學(xué)生和教師對數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識也多是伴隨數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐而自然產(chǎn)生的，這就使得許多人并未真正理解數(shù)學(xué)文化的精髓，進(jìn)而限制了他們對數(shù)學(xué)文化的概念認(rèn)知.對應(yīng)到高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，雖然沒有明確對數(shù)學(xué)文化進(jìn)行教學(xué)的內(nèi)容，但通過分析《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》可以發(fā)現(xiàn)，文化素質(zhì)培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)基本內(nèi)容和要求.總體而言，高中階段的數(shù)學(xué)文化主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材中，一般為兩個(gè)方面，一方面：數(shù)學(xué)精神的培養(yǎng).在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有選擇性地向?qū)W生介紹一些數(shù)學(xué)家的人生經(jīng)歷，展示其在數(shù)學(xué)探索道路上所形成的不畏艱難、勇于進(jìn)取的精神；另一方面：數(shù)學(xué)文化的滲透.教師在編寫數(shù)學(xué)課程教案時(shí)，要將與教材相關(guān)的數(shù)學(xué)文化合情合理地進(jìn)行展示.換言之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)文化不僅涵蓋高中數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)知識及其應(yīng)用、數(shù)學(xué)發(fā)展史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)活動、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)美，也包含數(shù)學(xué)家的人生經(jīng)歷及科學(xué)精神，甚至數(shù)學(xué)典故、數(shù)學(xué)作文、數(shù)學(xué)游戲等都是數(shù)學(xué)文化所包含的內(nèi)容[4].當(dāng)然，數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵也會隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展而不斷完善，并且在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮越來越重要的作用.受知識、思維等因素的影響，不同的人或者同一人在不同時(shí)間段內(nèi)，對數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的理解往往也存在一定的偏差，因此，對數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的理解，要從數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況入手，將數(shù)學(xué)文化理解為數(shù)學(xué)課程中的一種內(nèi)在的思想品質(zhì)和行為精神.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的體現(xiàn)

培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育中的重要內(nèi)容，也是高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中貫徹素質(zhì)教育理念的內(nèi)在要求.對于教學(xué)主體，尤其是教師來說，需要重點(diǎn)把握數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的具體體現(xiàn).結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，數(shù)學(xué)文化主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面.

1.科學(xué)價(jià)值

法國數(shù)學(xué)家高斯曾說：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后.”意在表明數(shù)學(xué)較高的地位及其對科學(xué)發(fā)展的重要性.高中數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值主要體現(xiàn)為抽象性和邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性.在“立體幾何”一章中，抽象性體現(xiàn)為將日常生活中的空間場景抽象概括為圖形，運(yùn)用點(diǎn)、線和面進(jìn)行描述，而邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性則是指在4個(gè)公理的邏輯基礎(chǔ)下，對4個(gè)判定定理、4個(gè)性質(zhì)定理以及等角定理進(jìn)行了嚴(yán)格的推理驗(yàn)證，而后再將它們作為工具進(jìn)行應(yīng)用.教材在編寫上也是從生活中常見的柱、錐、體出發(fā)，逐步走向更加抽象的概念，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.另外，由于數(shù)學(xué)作為一種工具被廣泛地應(yīng)用于各門學(xué)科，“盡心盡力”地發(fā)揮著所特有的服務(wù)功能，所以，有人將數(shù)學(xué)視為“科學(xué)的仆人”.立體幾何可抽象上升為空間解析幾何，其重點(diǎn)在于提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)不只是存在于紙上的符號，更重要的是在現(xiàn)實(shí)社會中的應(yīng)用意義，而數(shù)學(xué)的發(fā)展作為數(shù)學(xué)文化中的重要一環(huán)，受到學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的影響.對于學(xué)生來說，學(xué)習(xí)的內(nèi)容最終落腳于應(yīng)用，一旦知識無法使用，學(xué)生就會十分沮喪，甚至放棄知識的學(xué)習(xí).但立體幾何這部分內(nèi)容能很好地被學(xué)生在實(shí)際生活中使用，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.例如，教室的門閂之所以可以把門固定，運(yùn)用的就是基本公理2，即過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.兩個(gè)門軸和另一側(cè)的門閂，可以抽象為不共線的三點(diǎn)，這就是我們身邊的數(shù)學(xué).在教學(xué)線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行時(shí)，教師可以采用中國現(xiàn)代作家茅盾的著名散文《白楊禮贊》作為導(dǎo)入.在聆聽和觀看中，學(xué)生不僅能觀察到平坦的大地上傲然挺立的這一排排白楊樹之間的位置關(guān)系，還能體會到堅(jiān)持抗日戰(zhàn)爭的北方農(nóng)民所代表的質(zhì)樸、堅(jiān)強(qiáng)、力求上進(jìn)的精神.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時(shí)升華品質(zhì)，潛移默化地接受了思政教育.此外，根據(jù)異面直線既不平行也不相交的性質(zhì)，人們創(chuàng)造了人行天橋和立交橋，大大減輕了交通的擁堵；利用線面垂直的判定定理來檢驗(yàn)建筑物的墻體是否合格等，也是立體幾何的實(shí)際應(yīng)用.

3.人文價(jià)值

數(shù)學(xué)的歷史是一部充滿創(chuàng)新的著作，經(jīng)歷了大量的里程碑式的定義與定理：從有理數(shù)到無理數(shù)，從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)，從笛卡爾的解析幾何到牛頓、萊布尼茲的微積分的理論等等，所以，數(shù)學(xué)被稱為“創(chuàng)造性的藝術(shù)”.在教學(xué)中，教師要充分挖掘數(shù)學(xué)文化中所蘊(yùn)含的創(chuàng)新價(jià)值，鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新，進(jìn)而創(chuàng)造性地解決各種問題.例如，立體幾何中對祖暅原理進(jìn)行了詳細(xì)介紹，這比其他國家要早一千多年，在歐洲直到17世紀(jì)，才被意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里提出.充分地向?qū)W生展示中國數(shù)學(xué)發(fā)展史中的優(yōu)秀成果和數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，不僅能增強(qiáng)學(xué)生的民族自信心，還能激發(fā)學(xué)生超越前輩的激情.許多數(shù)學(xué)史料都能夠讓學(xué)生看到我們的國家和民族在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的巨大成就，進(jìn)而激發(fā)他們的民族自豪感和愛國主義情感，同時(shí)也能讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從來都不是一蹴而就的，它是一個(gè)長久的過程，需要持之以恒的毅力和頑強(qiáng)拼搏的精神.當(dāng)然，這對任何一個(gè)科目的學(xué)習(xí)都是適用的，沒有人能隨隨便便成功，成功需要付出加倍的努力.

4.美學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)從邏輯性、抽象性、對稱性和簡潔性等方面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.正因?yàn)槿绱?，很多?shù)學(xué)家都認(rèn)為數(shù)學(xué)是美學(xué).著名數(shù)學(xué)家巴拿赫說：“數(shù)學(xué)是最美的，也是最有力的人類創(chuàng)造.”而數(shù)學(xué)的理性美就是數(shù)學(xué)文化的精髓所在.當(dāng)然，數(shù)學(xué)還可以體現(xiàn)形式美、對稱美，最直接的體現(xiàn)就是立體幾何圖形：正方體、球體、圓柱等.在教學(xué)過程中，黑板上優(yōu)美的圖形、工整的板書都會給學(xué)生以美的享受，便于學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的美來創(chuàng)造屬于自己的美.研究數(shù)學(xué)美，一方面，學(xué)生可以通過欣賞和感受美來提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；另一方面，學(xué)生可以借助數(shù)學(xué)美的方式和標(biāo)準(zhǔn)來研究和解決問題.例如，2021年全國卷Ⅰ第3題，此題考查圓錐的立體圖與展開圖，體現(xiàn)了圖形的美.將空間圖形平面化是有效解決問題的方法.當(dāng)然，也有很多情況是先將平面圖形通過折疊成立體圖形，再研究其性質(zhì)，這也是考查空間想象能力的常用方法.

三、數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用

在高考中,如何考查立體幾何中的數(shù)學(xué)文化呢？不妨以2020年全國卷Ⅰ第3題為例.如下圖所示，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( ).

胡夫金字塔

這道題以胡夫金字塔作為引入，沒有給定任何具體的數(shù)值，要求的其側(cè)面三角形底邊上的高和底面正方形的邊長的比值也是一個(gè)固定值，由此可見，這個(gè)固定值和具體的四棱錐的某個(gè)邊長沒有直接關(guān)聯(lián)，因此，容易想到設(shè)定一些未知數(shù)作為中間過渡量來表示題目里的一些幾何關(guān)系，即“設(shè)而不求”的思想.利用已知條件建立待定未知數(shù)之間的幾何關(guān)系，利用方程思想解出答案.對于這種考查學(xué)生應(yīng)變能力以及思維轉(zhuǎn)變能力的題目，在未來的高考中會不斷出現(xiàn).但是，萬變不離其宗，就算考到一些數(shù)學(xué)文化，例如本題中的胡夫金字塔，或者是2019年高考數(shù)學(xué)選擇題中的斷臂維納斯雕像，我們都可以先將其轉(zhuǎn)化為與數(shù)學(xué)相關(guān)的幾何圖形，再將數(shù)據(jù)代入幾何圖形中，最后用公式進(jìn)行計(jì)算.

四、結(jié)論

一位數(shù)學(xué)教育家說：“不管人們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的思想精神、數(shù)學(xué)的思維方法和看問題的著眼點(diǎn)等，都會隨時(shí)隨地產(chǎn)生作用，使人們終身受益.”數(shù)學(xué)教育不僅僅是知識的傳授、能力的培養(yǎng)，更是一種文化、一種精神的傳播.因此，數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)課堂，滲透到課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中.作為教師，要不斷提高自身文化修養(yǎng)，深挖課內(nèi)教材，結(jié)合課外素材，將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)學(xué)科知識有機(jī)地融合，潛移默化地影響學(xué)生，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì).利用立體幾何講好數(shù)學(xué)故事、開展數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠提升學(xué)生的品德修養(yǎng)、空間想象能力、邏輯推理能力和解決實(shí)際問題的能力，為高等教育奠定夯實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).