張亮,石沛林,周龍輝,蔣軍錫,梁明磊,侯建偉
(山東理工大學(xué) 交通與車(chē)輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)
在車(chē)輛的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性控制系統(tǒng)中,通常用橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量[1-2]。其中車(chē)輛的質(zhì)心側(cè)偏角直接測(cè)量成本較高,一般采用估計(jì)算法獲得。利用擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended kalman filter,EKF)或其他方法估計(jì)車(chē)輛狀態(tài)參數(shù)是車(chē)輛控制的重要研究方向之一。
當(dāng)車(chē)輛側(cè)向加速度較小時(shí),輪胎側(cè)偏角也較小,此時(shí),輪胎側(cè)偏角與側(cè)向力近似呈線性關(guān)系,可以通過(guò)卡爾曼濾波等算法實(shí)現(xiàn)對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)[3- 4],但當(dāng)車(chē)輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于非線性區(qū)域時(shí),將無(wú)法獲得準(zhǔn)確的質(zhì)心側(cè)偏角。彭博等[5]基于非線性魔術(shù)輪胎模型和二自由度車(chē)輛模型,建立了以模型輸出的橫擺角速度為反饋量的滑模觀測(cè)器,在線性區(qū)和非線性區(qū)都能準(zhǔn)確估算車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角;郭孔輝等[6]運(yùn)用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法在輪胎的線性和非線性區(qū)域內(nèi)對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)行估計(jì),預(yù)測(cè)的結(jié)果實(shí)時(shí)性較好,且非線性輪胎輪胎模型比線性模型精度高。但上述文獻(xiàn)均采用二自由度模型,沒(méi)有考慮縱向車(chē)速隨時(shí)間的變化這一因素。
筆者考慮車(chē)速的變化,在二自由度模型基礎(chǔ)上加入縱向車(chē)速,建立四輪三自由度車(chē)輛模型和Dugoff輪胎模型,通過(guò)車(chē)輪角速度、橫擺角速度等車(chē)輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù)推導(dǎo)出輪胎側(cè)偏角、垂直載荷等參數(shù),并基于EKF算法估算車(chē)輛的質(zhì)心側(cè)偏角。
卡爾曼濾波(kalman filter, KF)算法是一種在線實(shí)時(shí)信號(hào)處理算法,能夠廣泛應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中[7]??柭鼮V波器是一種以最小二乘法為基礎(chǔ),在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)的遞歸線性最小方差估計(jì),根據(jù)狀態(tài)方程模型,利用前一時(shí)刻的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)。
對(duì)于卡爾曼濾波,線性系統(tǒng)可以表示:
狀態(tài)方程:
xk=Axk-1+Buk-1+wk-1。
(1)
觀測(cè)方程:
yk=Hxk+vk,
(2)
式中,xk為k時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量;xk-1為k-1時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量;uk-1為k-1時(shí)刻的系統(tǒng)輸入;yk為k時(shí)刻的觀測(cè)向量;A為狀態(tài)矩陣;B為控制矩陣;H為觀測(cè)矩陣;wk-1為過(guò)程噪聲;vk為觀測(cè)噪聲。
卡爾曼濾波算法的實(shí)現(xiàn)需要經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)和校正兩個(gè)步驟,算法步驟如下:
① 預(yù)測(cè)過(guò)程
狀態(tài)預(yù)測(cè)方程為
xk=Axk-1+Buk-1。
(3)
誤差協(xié)方差預(yù)測(cè)方程為
Pk=APk-1AT+Q,
(4)
式中,Pk為k時(shí)刻對(duì)應(yīng)于xk的協(xié)方差;Q為過(guò)程噪聲的協(xié)方差矩陣。
② 校正過(guò)程
增益方程為
Kk=PkHT(HPkHT+R)-1,
(5)
式中,R為觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣。
濾波方程為
誤差協(xié)方差更新方程為
Pk=(1-KkH)Pk。
(7)
前面介紹的卡爾曼濾波算法只應(yīng)用于線性系統(tǒng),而在實(shí)際系統(tǒng)中,完全線性的系統(tǒng)是不存在的。針對(duì)卡爾曼濾波的局限性,后續(xù)發(fā)展的擴(kuò)展卡爾曼濾波,解決非線性模型的估計(jì)問(wèn)題。擴(kuò)展卡爾曼濾波算法是通過(guò)對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)并舍棄高階分量,在確保精度的前提下對(duì)非線性模型做線性化處理[8],從而使卡爾曼濾波能適用于非線性系統(tǒng)。由于EKF與KF不同的地方只有狀態(tài)預(yù)測(cè)公式,所以在這里只對(duì)EKF的狀態(tài)預(yù)測(cè)做詳細(xì)介紹。
非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為
yk=h(xk,uk)+vk。
(9)
模型線性化:
式中,F表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,是f對(duì)x的偏導(dǎo)雅克比矩陣。
式中,H表示觀測(cè)矩陣,是h對(duì)x的偏導(dǎo)雅克比矩陣。
建立二自由度車(chē)輛模型,用卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波建立狀態(tài)方程和測(cè)量方程,實(shí)現(xiàn)質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì),對(duì)比卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波的估計(jì)精度。二自由度車(chē)輛模型如圖1所示。
汽車(chē)穩(wěn)定性控制研究的重點(diǎn)主要是側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)。對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)行估計(jì)時(shí),需要考慮縱向車(chē)速對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響。因此本文建立了具有縱向、側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)的四輪三自由度車(chē)輛模型,如圖2所示。
圖1 二自由度車(chē)輛模型Fig.1 2-DOF of vehicle model
圖2 四輪三自由度車(chē)輛模型Fig.2 3-DOF of four-wheel vehicle model
汽車(chē)正常行駛時(shí),側(cè)向加速度不超過(guò)0.4 g,側(cè)偏角不超過(guò)4°~5°,可以認(rèn)為側(cè)偏角與側(cè)偏力呈線性關(guān)系。汽車(chē)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于線性區(qū)時(shí),車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型方程式如下:
式中,β為車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角;Iz為質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;r為橫擺角速度;δ為前輪轉(zhuǎn)角;a為前軸到質(zhì)心的距離;b為后軸到質(zhì)心的距離;m為整車(chē)質(zhì)量;vx為車(chē)輛縱向速度;k1和k2為前后軸的側(cè)偏剛度。
汽車(chē)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入非線性區(qū)域時(shí),需要考慮側(cè)偏角和側(cè)向力的非線性關(guān)系,車(chē)輛縱向和側(cè)向的動(dòng)力學(xué)方程式如下:
式中,vy為車(chē)輛的側(cè)向速度;Fx1為左前輪胎的縱向力;Fx2為右前輪胎的縱向力;Fx3為左后輪胎的縱向力;Fx4為右后輪胎的縱向力;Fy1為左前輪胎的側(cè)向力;Fy2為右前輪胎的側(cè)向力;Fy3為左后輪胎的側(cè)向力;Fy4為右后輪胎的側(cè)向力。
本文通過(guò)式(14)、(15)獲得縱向、側(cè)向速度,計(jì)算質(zhì)心側(cè)偏角β,公式如下:
Dugoff輪胎模型[9]所需參數(shù)較少且表達(dá)形式簡(jiǎn)單,所以本文采用Dugoff輪胎模型計(jì)算輪胎的縱向、側(cè)向力,輪胎力計(jì)算公式如下:
式中,Cy為輪胎側(cè)向側(cè)偏剛度;Cx為輪胎縱向側(cè)偏剛度;σ為縱向滑移率;α為輪胎側(cè)偏角;μ為路面附著系數(shù);Fz為垂向載荷。
上述輪胎力的計(jì)算公式是在輪胎側(cè)偏角、垂向載荷和滑移率作為已知量的前提下實(shí)現(xiàn)的,因此需要獲得輪胎的側(cè)偏角、垂向載荷以及滑移率。本文的輪胎側(cè)偏角計(jì)算公式[10]如下:
式中,Bf為車(chē)輛前輪輪距;Br為車(chē)輛后輪輪距;α1為左前輪側(cè)偏角;α2為右前輪側(cè)偏角;α3為左后輪側(cè)偏角;α4為右后輪側(cè)偏角。
垂向載荷計(jì)算公式如下:
式中,g為重力加速度;h為質(zhì)心高度;ax為縱向加速度;ay為側(cè)向加速度;Fz1為左前輪垂向載荷;Fz2為右前輪垂向載荷;Fz3為左后輪垂向載荷;Fz4為右后輪垂向載荷。
輪胎滑移率計(jì)算公式如下:
式中,ωw為車(chē)輪的角速度;Re為車(chē)輪的動(dòng)力半徑。
根據(jù)二自由度汽車(chē)模型,建立基于卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程。
狀態(tài)方程:
觀測(cè)方程:
本文針對(duì)汽車(chē)處于線性區(qū)和非線性區(qū)的兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài),分別建立了基于線性模型和非線性模型的兩種擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)器。
非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為
y(t)=h[x(t)]+v(t)。
(33)
汽車(chē)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于線性區(qū)時(shí),側(cè)偏角與側(cè)偏力近似呈線性關(guān)系,由式(12)、(13)可得線性模型的狀態(tài)方程為
觀測(cè)方程為
求得偏導(dǎo)雅克比矩陣為
式中,T為仿真步長(zhǎng),本文設(shè)置為0.01 s。
基于線性模型的擴(kuò)展卡爾曼濾波器,在縱向車(chē)速保持不變時(shí),其形式即為二自由度車(chē)輛模型的擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)器。
汽車(chē)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于非線性區(qū)時(shí),考慮側(cè)偏角和側(cè)向力的非線性關(guān)系。由于本文采用的車(chē)輛模型為前置前驅(qū),所以這里將Dugoff模型求得的前輪的輪胎力作為狀態(tài)變量,縱向、側(cè)向加速度作為觀測(cè)向量,非線性模型狀態(tài)方程為
觀測(cè)方程為
為了驗(yàn)證本文建立的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)方法的有效性和估計(jì)精度,采用CarSim軟件搭建整車(chē)模型以及雙移線道路模型,整車(chē)主要參數(shù)見(jiàn)表1。在MATLAB/Simulink中搭建了卡爾曼估計(jì)器和擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)器,建立CarSim和MATLAB/Simulink的聯(lián)合仿真模型。車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)器的輸入為CarSim輸出的縱向、側(cè)向加速度等基本信號(hào)和輪胎模型計(jì)算的輪胎力,通過(guò)更改車(chē)速進(jìn)行了一系列的數(shù)值實(shí)驗(yàn),檢驗(yàn)所建立的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)模型的性能。EKF估計(jì)器的算法步驟通過(guò)MATLAB的“S-Function”模塊編寫(xiě)。
表1 整車(chē)主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of vehicle
車(chē)速分別為40 km/h和80 km/h,路面附著系數(shù)為0.9時(shí),卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)結(jié)果對(duì)比如圖3所示。從圖3可以看出,當(dāng)縱向車(chē)速為40 km/h時(shí),EKF比KF的估計(jì)結(jié)果更接近Carsim的值,而在縱向車(chē)速變?yōu)?0 km/h時(shí),KF的估計(jì)結(jié)果已經(jīng)出現(xiàn)了較大誤差,而EKF估計(jì)的質(zhì)心側(cè)偏角與Carsim值非常接近,所以在這兩種估計(jì)方法中,EKF對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)效果更好。
(a) vx=40 km/h
(b) vx=80 km/h
圖3 KF和EKF對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of KF and EKF estimates of sideslip
設(shè)置縱向車(chē)速?gòu)?加速到40 km/h,然后保持勻速行駛,同時(shí)設(shè)置方向盤(pán)轉(zhuǎn)角輸入,車(chē)速vx和方向盤(pán)轉(zhuǎn)角βsw如圖4所示?;诜蔷€性模型的EKF估計(jì)器估計(jì)的前輪輪胎力如圖5所示。
(a) 縱向車(chē)速vx
(b) 方向盤(pán)轉(zhuǎn)角βsw
(a) 左前輪縱向力Fx1
(b) 右前輪縱向力Fx2
(c) 左前輪側(cè)向力Fy1
(d) 右前輪側(cè)向力Fy2
圖5 前輪輪胎力估計(jì)結(jié)果Fig.5 Estimation results of front tire force
從圖5可以看出,基于非線性模型的EKF估計(jì)器可以較準(zhǔn)確地估計(jì)出輪胎力的值,通過(guò)估計(jì)得到的輪胎力可以進(jìn)一步求出車(chē)輛的質(zhì)心側(cè)偏角。
縱向車(chē)速?gòu)?加速到40 km/h,然后保持速度不變,路面峰值附著系數(shù)為0.9,方向盤(pán)轉(zhuǎn)角輸入不變,進(jìn)行了低速雙移線工況的仿真。低速仿真結(jié)果如圖6所示,從圖6可以看出,線性模型和非線性模型的估計(jì)結(jié)果均能夠較好的跟隨CarSim輸出的值。
(a) 縱向車(chē)速vx
(b) 質(zhì)心側(cè)偏角β
圖6 低速仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of low speed
縱向車(chē)速?gòu)?加速到80 km/h,然后保持速度不變,高速仿真結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出,此時(shí)線性模型的估計(jì)值與CarSim輸出的值相差很大,而非線性模型的估計(jì)值仍與CarSim相接近。
(a) 縱向車(chē)速vx
(b) 質(zhì)心側(cè)偏角β
圖7 高速仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of high speed
此外,為了清楚地量化兩種模型的估計(jì)精度,利用統(tǒng)計(jì)值即歸一化均方根[11](normalized root-mean-square,NRMS)進(jìn)一步評(píng)估所使用預(yù)測(cè)模型的性能,其值用字母N表示,計(jì)算公式如下:
式中,Sactual為測(cè)量信號(hào)值,Sestimated為估計(jì)信號(hào)值,n為采集的樣本數(shù)。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。
表2 雙移線工況下的歸一化均方根Tab.2 NRMS of double lane change
表2列出了雙移線工況下兩種模型的歸一化均方根,可以看出非線性模型的歸一化均方根相比于線性模型均較小,尤其在車(chē)速較大時(shí),此時(shí)非線性模型對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)效果顯著高于線性模型。
本文利用二自由度汽車(chē)模型,基于卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波建立質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)模型,通過(guò)MATLAB/Simulink和CarSim聯(lián)合仿真,驗(yàn)證了擴(kuò)展卡爾曼濾波的估計(jì)精度高于卡爾曼濾波。
根據(jù)四輪三自由度車(chē)輛模型,針對(duì)車(chē)輛處于線性和非線性的兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài),建立了線性和非線性的車(chē)輛模型,其中非線性車(chē)輛模型的建立采用了Dugoff輪胎模型,利用車(chē)輛可測(cè)量的橫擺角速度、前輪轉(zhuǎn)角和車(chē)輪角速度等狀態(tài)參數(shù)來(lái)計(jì)算輪胎側(cè)偏角、垂直載荷等參數(shù),實(shí)現(xiàn)對(duì)輪胎力的計(jì)算。
基于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法,分別建立了線性和非線性的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)器。
通過(guò)CarSim建立整車(chē)模型,MATLAB/Simulink搭建擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)模型,兩者聯(lián)合仿真,通過(guò)低速和高速雙移線工況仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果驗(yàn)證了所建立的非線性估計(jì)模型在線性區(qū)域和非線性區(qū)域均能實(shí)現(xiàn)對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì),估計(jì)精度高于線性模型。