一種改進(jìn)的電力系統(tǒng)戴維南等值參數(shù)跟蹤算法

陳鑫楠，孫 淵

（上海電機(jī)學(xué)院機(jī)械學(xué)院，上海 201306）

近年來，電力系統(tǒng)向大電網(wǎng)、高電壓和遠(yuǎn)距離輸電發(fā)展，在提高經(jīng)濟(jì)效益的同時(shí)帶來了電力系統(tǒng)安全運(yùn)行的新問題［1-3］。由于電網(wǎng)規(guī)模和負(fù)荷需求的不斷增加，電力系統(tǒng)逐漸接近穩(wěn)定極限［4］。因此，電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性成為了研究的熱點(diǎn)。相量測(cè)量單元為電壓穩(wěn)定的研究提供了新的手段，基于相量測(cè)量數(shù)據(jù)的戴維南等值參數(shù)在線辨識(shí)方法得到了廣泛的發(fā)展。由于戴維南等值參數(shù)受網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜拖到y(tǒng)運(yùn)行方式等影響，因此對(duì)其準(zhǔn)確辨識(shí)是實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)靜態(tài)穩(wěn)定在線評(píng)估的關(guān)鍵［5］。

1999年，Vu等［6］首次運(yùn)用本地相量測(cè)量數(shù)據(jù)求解戴維南等值參數(shù)，利用節(jié)點(diǎn)負(fù)荷阻抗與戴維南等值阻抗的關(guān)系進(jìn)行電壓穩(wěn)定性評(píng)估，并應(yīng)用最小二乘法根據(jù)相鄰兩個(gè)采樣時(shí)刻測(cè)得的電氣量信息進(jìn)行戴維南等值參數(shù)的估算。此后，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)戴維南等值參數(shù)的估計(jì)方法進(jìn)行了研究與改進(jìn)。肖俊等［7］就等值網(wǎng)絡(luò)擾動(dòng)狀況下的戴維南等值參數(shù)辨識(shí)原理進(jìn)行闡述，考慮利用擾動(dòng)后的暫態(tài)分量進(jìn)行等值參數(shù)辨識(shí)的方法。李東東等［8］對(duì)基于傳統(tǒng)法假設(shè)相鄰采樣時(shí)刻戴維南等值參數(shù)不變的情況進(jìn)行了改進(jìn)，僅假設(shè)相鄰時(shí)刻戴維南等值參數(shù)的幅值不變、相角可變，利用冪級(jí)數(shù)展開求解戴維南等值參數(shù)，避免了參數(shù)漂移的問題。葉平峰等［9］提出了考慮源網(wǎng)荷關(guān)聯(lián)特性的戴維南等值參數(shù)解析方法。上述方法均是基于兩個(gè)或多個(gè)時(shí)間斷面的數(shù)據(jù)進(jìn)行戴維南等值參數(shù)辨識(shí)，要求相鄰時(shí)刻戴維南等值參數(shù)保持不變，在該情況下的算法對(duì)等值系統(tǒng)的擾動(dòng)有一定的要求，當(dāng)?shù)戎迪到y(tǒng)內(nèi)部擾動(dòng)較大或負(fù)荷側(cè)擾動(dòng)過小時(shí)，常無法辨識(shí)準(zhǔn)確的戴維南等值參數(shù)。

初值的選擇問題是單時(shí)間斷面算法的共同問題。朱良濤等［10］將全微分算法進(jìn)行改進(jìn)，提出初值優(yōu)選環(huán)節(jié)，將前一時(shí)刻求出的等值參數(shù)作為下一時(shí)刻的計(jì)算初值進(jìn)行迭代求解。崔馨慧［11］提出了一種基于廣域量測(cè)信息的大電網(wǎng)戴維南等值參數(shù)在線辨識(shí)方法，根據(jù)大電網(wǎng)的單狀態(tài)斷面數(shù)據(jù)，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行LU分解，減少了參數(shù)辨識(shí)的時(shí)間。

偏最小二乘法常應(yīng)用于電力系統(tǒng)公共耦合點(diǎn)處的諧波阻抗估計(jì)中。林順富等［12］提出一種基于改進(jìn)快速獨(dú)立成分分析及偏最小二乘法的系統(tǒng)諧波阻抗估計(jì)方法，降低解混信號(hào)變量之間弱相關(guān)性帶來的計(jì)算誤差。范忠等［13］提出了一種基于三點(diǎn)篩選法與偏最小二乘法的系統(tǒng)諧波阻抗估計(jì)方法。張坤等［14］將偏最小二乘法應(yīng)用于公共耦合點(diǎn)處的戴維南等值參數(shù)估計(jì)中，但僅考慮了算法適用于系統(tǒng)側(cè)基本不變而用戶側(cè)有較大波動(dòng)的數(shù)據(jù)情況，未考慮其他擾動(dòng)情況。

本文提出了一種基于復(fù)數(shù)域偏最小二乘法的電力系統(tǒng)戴維南等值參數(shù)跟蹤算法。該方法簡(jiǎn)化了傳統(tǒng)偏最小二乘法的數(shù)學(xué)模型和算法流程，使迭代求解過程更加簡(jiǎn)單。同時(shí)，該方法能夠改善參數(shù)漂移現(xiàn)象，甚至在等值系統(tǒng)內(nèi)部存在擾動(dòng)時(shí)也能穩(wěn)定辨識(shí)出戴維南等值參數(shù)。通過IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證了本文算法的有效性和準(zhǔn)確性。

1 傳統(tǒng)戴維南等值參數(shù)計(jì)算解析

根據(jù)戴維南等值理論可知，任意線性系統(tǒng)在任一時(shí)間斷面可等值為一個(gè)電壓源與阻抗串聯(lián)的兩節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，如圖1所示。為表述簡(jiǎn)便，將系統(tǒng)中除等值節(jié)點(diǎn)負(fù)荷以外的其他部分統(tǒng)稱為系統(tǒng)側(cè)，將包含等值負(fù)荷的一側(cè)稱為負(fù)荷側(cè)。

圖1 戴維南等值系統(tǒng)

根據(jù)基爾霍夫電壓定律可得

式中：為戴維南等值電勢(shì)；Zth為戴維南等值阻抗；˙為等值母線節(jié)點(diǎn)的電壓與電流的測(cè)量值。

根據(jù)傳統(tǒng)法的假設(shè)，相鄰采樣時(shí)刻戴維南等值參數(shù)不變，即可求出戴維南等值阻抗值為

若上述假設(shè)需成立，要求系統(tǒng)在相鄰采樣間隔內(nèi)負(fù)荷側(cè)有合適擾動(dòng)，系統(tǒng)側(cè)擾動(dòng)基本不變。若采樣間隔過于接近或負(fù)荷側(cè)擾動(dòng)過小，則相鄰采樣間隔內(nèi)電壓電流相量數(shù)值近似相等，式（2）會(huì)出現(xiàn)“0/0”的形式，出現(xiàn)參數(shù)漂移；若采樣時(shí)刻間隔過大，則上述假設(shè)不成立，無法計(jì)算戴維南等值參數(shù)；若只有系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生擾動(dòng)，依據(jù)傳統(tǒng)法計(jì)算得到的結(jié)果實(shí)際為負(fù)荷阻抗，求解的參數(shù)結(jié)果失效。

2 戴維南等值參數(shù)

2.1 偏最小二乘法原理

偏最小二乘回歸是一種新型的多元統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析方法，該方法可以實(shí)現(xiàn)多因變量對(duì)多自變量的回歸建模［15］。特別是在自變量存在嚴(yán)重多重相關(guān)性時(shí)，用偏最小二乘法進(jìn)行回歸分析，比傳統(tǒng)多元回歸分析更適合。偏最小二乘回歸模型更容易辨識(shí)系統(tǒng)中的信息和噪聲，對(duì)每一個(gè)自變量的回歸系數(shù)更容易解釋。

設(shè)自變量與因變量的數(shù)據(jù)表分別為：X=[x1，x2，…，x p]n×p，Y=[y1，y2，…，yq]n×q（p個(gè) 自變量，q個(gè)因變量，n個(gè)采樣點(diǎn)）。在回歸分析前，先將自變量、因變量標(biāo)準(zhǔn)化，得到X的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣為E0，Y的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣為F0。偏最小二乘回歸分別在E0、F0中提取成分t1和u1（兩者分別是p個(gè)自變量和q個(gè)因變量的線性組合）。t1=E0ω1，ω1為E0的第1個(gè)軸，‖ω1‖=1；u1=F0c1，c1為F0的第1個(gè)軸，‖c1‖=1。要求t1、u1滿足兩個(gè)要求：

（1）t1、u1應(yīng)攜帶各自數(shù)據(jù)表中的變異信息；

（2）t1、u1的相關(guān)程度能夠達(dá)到最大。

上述要求可以轉(zhuǎn)化為t1、u1的協(xié)方差達(dá)到最大，即為：max cov(t1，u1)。根據(jù)拉格朗日算法轉(zhuǎn)化為求解矩陣的特征值和特征向量的問題。待求解矩陣如下：

式中：ω1為E′0F0F′0E0矩陣取最大特征值θ21的特征向量；c1為F′0E0E′0F0矩陣取最大特征值θ21的特征向量。

在簡(jiǎn)化偏最小二乘法中，只求取ω1，則回歸方程可以表示為

其中，

式中：E1、F1為殘差矩陣；p1、r1為回歸系數(shù)向量。

用殘差矩陣E1、F1代替E0、F0進(jìn)行迭代求解。簡(jiǎn)化偏最小二乘法只需用殘差矩陣E1代替E0，無需用F1代替F0，即可求解式（3）中的矩陣進(jìn)而迭代求解。根據(jù)迭代精度要求，由交叉有效性確定提出m個(gè)成分，建立F0關(guān)于m個(gè)成分的回歸方程如下：

最后經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的逆運(yùn)算，根據(jù)上述回歸方程求出因變量yi（i=1，2，…，p）關(guān)于自變量x i的回歸方程，即

式中：αi（i=1，2，…，p）為所要求的原回歸系數(shù)。

2.2 基于傳統(tǒng)偏最小二乘法的數(shù)學(xué)模型

將式（1）中的電壓、電流等相量按實(shí)部、虛部展開為

式中：下標(biāo)real、imag分別為相量的實(shí)部和虛部；Rth為戴維南等值電阻；Xth為戴維南等值電抗；Ereal、Eimag、Rth、Xth為待求的戴維南等值電勢(shì)和阻抗值。

選取自變量X為電流實(shí)部相反數(shù)和虛部形式，即為［-Iireal、I iimag］，因變量為節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部和虛部，即為[U ireal、U iimag]，其中上標(biāo)i代表量測(cè)次數(shù)。將式（8）擴(kuò)展為

傳統(tǒng)偏最小二乘法常使用上述電壓電流相量實(shí)部虛部分離的矩陣形式進(jìn)行戴維南等值參數(shù)的計(jì)算。應(yīng)用多因變量的算法流程，計(jì)算復(fù)雜，且求解時(shí)間長(zhǎng)，求解的戴維南阻抗矩陣的兩個(gè)電阻或電抗值常有偏差，參數(shù)的求解結(jié)果常存在誤差，造成求解不準(zhǔn)確。

2.3 基于復(fù)數(shù)域偏最小二乘法的數(shù)學(xué)模型

復(fù)數(shù)域偏最小二乘法是將電壓、電流、電勢(shì)的復(fù)數(shù)形式代入式（1）中。由式（1）可得，=Ereal+jEimag為需要辨識(shí)的戴維南內(nèi)電勢(shì)，˙=Ureal+jUimag為量測(cè)的節(jié)點(diǎn)電壓相量，˙=Ireal+jIimag為量測(cè)的節(jié)點(diǎn)電流相量，Zth=Rth+jXth為需要辨識(shí)的戴維南阻抗。根據(jù)復(fù)數(shù)域偏最小二乘法，選取自變量X為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電流復(fù)數(shù)形式［˙］，即為［-I ireal-jI iimag］，因變量Y為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓復(fù)數(shù)形式，即為［U ireal+jU iimag］。將式（1）擴(kuò)展為

在計(jì)算戴維南等值參數(shù)時(shí)選取n次等值節(jié)點(diǎn)處電壓電流采樣值為一組數(shù)據(jù)，將采樣的電流、電壓的實(shí)部和虛部數(shù)據(jù)改寫成I˙、U˙的復(fù)數(shù)形式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，將標(biāo)準(zhǔn)化后的自變量E0和因變量F0代入式（3）中，求解矩陣特征值和特征向量，并進(jìn)行成分t和殘差矩陣E1的求解；將E1代入式（3）進(jìn)行迭代求解，直到滿足交叉有效性要求，求出所有成分得式（6）；根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化逆運(yùn)算求出式（7）中回歸系數(shù)，求解得出的戴維南等值參數(shù)為復(fù)數(shù)形式。

傳統(tǒng)偏最小二乘法求解戴維南等值參數(shù)時(shí)，需對(duì)式（8）和式（9）中的阻抗矩陣進(jìn)行求解。式（9）的表達(dá)式在求解時(shí)實(shí)際上運(yùn)用了兩次基爾霍夫電壓定律。在求解的過程中要求|Ureal-f(Rth，Xth，Ereal)|以及|Uimag-f(Rth，Xth，Eimag)|的數(shù)值同時(shí)達(dá)到最小，相當(dāng)于兩個(gè)函數(shù)的最小二乘誤差都最小。但兩個(gè)最小二乘誤差不能同時(shí)達(dá)到最小值，求得的電阻電抗值與準(zhǔn)確值相比存在一定的誤差，無法正確地跟蹤戴維南等值參數(shù)，造成參數(shù)漂移問題。而運(yùn)用復(fù)數(shù)域偏最小二乘法進(jìn)行戴維南等值參數(shù)求解時(shí)，傳統(tǒng)方法中的公式簡(jiǎn)化成了|U-f(Rth，Xth，Eth)|的求解過程，應(yīng)用式（10）進(jìn)行阻抗矩陣求解時(shí)，只需列寫一遍基爾霍夫電壓定律。因此，求解一個(gè)函數(shù)的最小值，無需在求解過程中均衡求解誤差，直接可以得到復(fù)數(shù)偏最小二乘法的極值。求解得到的極值點(diǎn)是明確的，可得到唯一的復(fù)數(shù)形式的阻抗值。與傳統(tǒng)偏最小二乘法相比，該算法可以得到更準(zhǔn)確的戴維南阻抗值，有效地改善參數(shù)漂移的問題。

3 算例分析

本文在DIgSILENT/PowerFactory 15.0中搭建的IEEE 39節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)，含有10臺(tái)發(fā)電機(jī)、39個(gè)節(jié)點(diǎn)、12臺(tái)變壓器和34條輸電線路。其系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

算例1在本算例中設(shè)置負(fù)荷8為戴維南等值節(jié)點(diǎn)，負(fù)荷8處的負(fù)荷事件視為負(fù)荷側(cè)擾動(dòng)，負(fù)荷21處的負(fù)荷事件視為系統(tǒng)內(nèi)部擾動(dòng)。設(shè)置仿真時(shí)長(zhǎng)為8 s，負(fù)荷8處設(shè)置負(fù)荷斜坡增長(zhǎng)，增長(zhǎng)幅度為60%，系統(tǒng)其他負(fù)荷保持不變。由暫態(tài)仿真程序計(jì)算得到每0.2 s內(nèi)20組電壓、電流仿真值，以每20組仿真數(shù)值為一組，應(yīng)用算法得到一組戴維南等值參數(shù)值。圖3為該算例仿真結(jié)果圖。

圖3 戴維南等值參數(shù)仿真結(jié)果

由圖3可知，在等值系統(tǒng)中僅有較明顯的外部擾動(dòng)時(shí)，傳統(tǒng)偏最小二乘法和復(fù)數(shù)域偏最小二乘法均能計(jì)算出相對(duì)穩(wěn)定的戴維南等值參數(shù)，但復(fù)數(shù)域偏最小二乘法得到的戴維南等值參數(shù)更加準(zhǔn)確。

圖4為本文算法與傳統(tǒng)偏最小二乘法得到的戴維南等值參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比圖。

圖4 戴維南等值參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果

由圖4可知，傳統(tǒng)偏最小二乘法的戴維南等值阻抗標(biāo)準(zhǔn)差隨時(shí)間變化較大，標(biāo)準(zhǔn)差大多在0.08～0.12之間上下波動(dòng)，而復(fù)數(shù)域偏最小二乘法的標(biāo)準(zhǔn)差在0.01上下浮動(dòng)?？梢妭鹘y(tǒng)偏最小二乘法的等值阻抗標(biāo)準(zhǔn)差是復(fù)數(shù)域偏最小二乘法的8～12倍。表明在兩種算法都能得到較穩(wěn)定的戴維南等值參數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)域偏最小二乘法跟蹤得到的戴維南等值參數(shù)更加穩(wěn)定。

算例2在本算例中設(shè)置的等值節(jié)點(diǎn)同算例1中的相同，設(shè)置仿真時(shí)長(zhǎng)為8 s。負(fù)荷8處設(shè)置負(fù)荷斜坡增長(zhǎng)，增長(zhǎng)幅度為40%，系統(tǒng)其他負(fù)荷保持不變。運(yùn)用不同的分組計(jì)算一組戴維南等值參數(shù)。圖5給出了不同分組計(jì)算下的仿真結(jié)果對(duì)比圖。

圖5 不同分組情況的戴維南等值參數(shù)仿真結(jié)果

由圖5可知，傳統(tǒng)偏最小二乘法仿真得出的戴維南等值參數(shù)隨著分組數(shù)的減少（即每次迭代的仿真數(shù)據(jù)越多）而逐漸穩(wěn)定，振蕩情況改善越好，得到的數(shù)值越準(zhǔn)確。傳統(tǒng)偏最小二乘法受數(shù)據(jù)量的影響較大，不同數(shù)據(jù)分組情況對(duì)算法的穩(wěn)定性影響不一。復(fù)數(shù)域偏最小二乘法在不同分組情況下的仿真數(shù)據(jù)波動(dòng)情況基本變化不大，在0.1值左右波動(dòng)，數(shù)據(jù)振蕩較小。仿真結(jié)果表明，本文算法在不同分組情況下均能得到相對(duì)準(zhǔn)確穩(wěn)定的戴維南等值參數(shù)數(shù)值，每次迭代所用數(shù)據(jù)量對(duì)算法的穩(wěn)定性影響較小。

算例3在本算例中設(shè)置負(fù)荷21為戴維南等值節(jié)點(diǎn)，負(fù)荷21處的負(fù)荷事件視為負(fù)荷側(cè)擾動(dòng)，負(fù)荷27處的負(fù)荷事件視為系統(tǒng)內(nèi)部擾動(dòng)。設(shè)置仿真總時(shí)長(zhǎng)為10 s。負(fù)荷事件設(shè)置為：0～4 s，負(fù)荷21斜坡增長(zhǎng)5%，其余負(fù)荷保持不變；4～8 s，負(fù)荷21斜坡增長(zhǎng)20%，同時(shí)負(fù)荷27斜坡增長(zhǎng)80%，其余負(fù)荷保持不變；8～10 s，負(fù)荷21斜坡增長(zhǎng)20%，同時(shí)負(fù)荷27斜坡增長(zhǎng)20%，其余負(fù)荷保持不變。圖6為該算例仿真時(shí)長(zhǎng)內(nèi)的戴維南等值參數(shù)仿真結(jié)果。

圖6 傳統(tǒng)偏最小二乘法與復(fù)數(shù)偏最小二乘法結(jié)果對(duì)比

由圖6可知，0～4 s時(shí)，等值系統(tǒng)僅有外部較小擾動(dòng)時(shí)，傳統(tǒng)偏最小二乘法得到的等值阻抗值在0.3～0.8之間波動(dòng)，仿真結(jié)果發(fā)生一定的波動(dòng)，而復(fù)數(shù)域偏最小二乘法的仿真結(jié)果比較穩(wěn)定準(zhǔn)確。在4～8 s時(shí)，等值系統(tǒng)在等值系統(tǒng)側(cè)發(fā)生的擾動(dòng)比負(fù)荷側(cè)明顯大時(shí)，等值系統(tǒng)內(nèi)部擾動(dòng)占主導(dǎo)，傳統(tǒng)偏最小二乘法仿真得到的戴維南等值阻抗值在負(fù)荷阻抗值上下波動(dòng)，最大值超2 p.u.，嚴(yán)重偏離正確的戴維南等值阻抗值范圍，有明顯等值參數(shù)漂移現(xiàn)象，傳統(tǒng)算法在此情況下失效；而本文算法得到的戴維南等值參數(shù)在正常范圍內(nèi)且數(shù)值波動(dòng)較小，能夠準(zhǔn)確地跟蹤戴維南等值阻抗值。在8～10 s內(nèi)，負(fù)荷側(cè)擾動(dòng)和系統(tǒng)側(cè)擾動(dòng)大小一樣，傳統(tǒng)偏最小二乘法計(jì)算的等值參數(shù)有一定的誤差和波動(dòng)，而本文算法能夠正確地跟蹤系統(tǒng)的戴維南等值阻抗。

算例4設(shè)置負(fù)荷27為戴維南等值節(jié)點(diǎn)，負(fù)荷27處的負(fù)荷事件視為負(fù)荷側(cè)擾動(dòng)。設(shè)置仿真總時(shí)長(zhǎng)為30 s。擾動(dòng)設(shè)置為：0～30 s，負(fù)荷27斜坡增長(zhǎng)30%，其余負(fù)荷保持不變；1 s時(shí)，母線9處發(fā)生三相短路故障，故障電抗設(shè)為10Ω；1.1 s時(shí)，切除三相短路故障。圖7為仿真時(shí)間內(nèi)存在短路故障前后的戴維南等值參數(shù)仿真結(jié)果。

圖7 短路故障前后戴維南等值參數(shù)仿真圖

由圖7可知，1 s之前系統(tǒng)僅發(fā)生合適的負(fù)荷側(cè)擾動(dòng)，等值阻抗曲線平穩(wěn)；1 s時(shí)發(fā)生三相短路故障，傳統(tǒng)偏最小二乘法得到的仿真結(jié)果振蕩明顯，其值遠(yuǎn)偏離了等值阻抗正常波動(dòng)范圍，而復(fù)數(shù)域偏最小二乘法的曲線雖然有一定波動(dòng)，但在切除故障后等值參數(shù)很快恢復(fù)在正常值內(nèi)。相比傳統(tǒng)方法，本文算法能夠更快地跟蹤到戴維南等值參數(shù)，并且能保持等值參數(shù)的正確性和準(zhǔn)確性。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種基于復(fù)數(shù)域偏最小二乘法的戴維南等值參數(shù)計(jì)算方法，改善了參數(shù)漂移問題。相比傳統(tǒng)偏最小二乘法，本文算法簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)模型，用更少的測(cè)量變量得到更為準(zhǔn)確的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果。在IEEE 39系統(tǒng)下的仿真結(jié)果表明了該算法在等值系統(tǒng)多種擾動(dòng)類型下的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。