基于DEA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的效率置信區(qū)間預(yù)測(cè)模型研究

鄭建鋒，王應(yīng)明

福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福州350108

在管理學(xué)中，效率是指在特定的時(shí)間內(nèi)，一個(gè)組織投入與產(chǎn)出的比值關(guān)系，能夠反映這個(gè)組織在各個(gè)方面的能力，進(jìn)行效率分析顯得尤為重要。效率分析是對(duì)各個(gè)組織的效率進(jìn)行測(cè)度與評(píng)價(jià)的一種方法，在目前國(guó)內(nèi)外研究中，主要是利用數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）或者將數(shù)據(jù)包絡(luò)分析與其他模型結(jié)合等方法對(duì)效率進(jìn)行評(píng)價(jià)。效率評(píng)價(jià)在近幾十年的發(fā)展，已經(jīng)發(fā)展得越來(lái)越成熟了，然而對(duì)效率進(jìn)行預(yù)測(cè)仍停留在探索階段。李果等人[1]用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法進(jìn)行DEA 有效預(yù)測(cè)，證實(shí)了效率預(yù)測(cè)的可行性。之后的幾年，一些學(xué)者通過DEA 和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法對(duì)各個(gè)不同行業(yè)的效率進(jìn)行評(píng)價(jià)并預(yù)測(cè)，如體現(xiàn)在物流聯(lián)盟伙伴選擇[2]，不同高?？蒲心芰υu(píng)估[3]，美國(guó)鐵路性能測(cè)量和預(yù)測(cè)[4]，基坑施工評(píng)價(jià)[5]等方面。可見DEA 與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在效率評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)能力上，具有科學(xué)性、廣泛性。但是由于評(píng)估某個(gè)決策單元的效率時(shí)，受到許多因素的影響，除了投入與產(chǎn)出之外，還有很多復(fù)雜的環(huán)境因素，所以增加了效率準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的困難。區(qū)間預(yù)測(cè)就解決了點(diǎn)預(yù)測(cè)給決策者帶來(lái)的不確定性。區(qū)間預(yù)測(cè)是在收集到的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上，通過一系列的學(xué)習(xí)優(yōu)化，給出的一個(gè)參數(shù)范圍。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)沿用DEA 與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合對(duì)效率進(jìn)行評(píng)級(jí)與預(yù)測(cè)的方法，提出效率置信區(qū)間預(yù)測(cè)模型。首先，利用DEA方法，對(duì)決策單元的效率進(jìn)行評(píng)價(jià)，得出各個(gè)單元的效率值；其次，對(duì)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行模型參數(shù)修改，結(jié)合student 學(xué)生式分布得到預(yù)測(cè)區(qū)間模型，詳見第1 章模型構(gòu)建。對(duì)決策單元的效率進(jìn)行區(qū)間預(yù)測(cè)，并按區(qū)間進(jìn)行分類，然后采用預(yù)測(cè)區(qū)間覆蓋率（Prediction Interval Coverage Probability，PICP）、歸一化平均預(yù)測(cè)區(qū)間寬度（Normalized Mean Prediction Interval Length，NMPIL）和區(qū)間分?jǐn)?shù)（Interval Score，IS）等指標(biāo)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，根據(jù)最后不同類別的決策單元分析原因。

1 模型構(gòu)建

1.1 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（Data Envelopment Analysis，DEA），是交叉了包括數(shù)學(xué)、管理科學(xué)、系統(tǒng)工程學(xué)等學(xué)科，而形成的一個(gè)新的領(lǐng)域[6]，是由Charnes等人[7]于1978年提出并命名的。DEA是使用線性規(guī)劃等數(shù)學(xué)規(guī)劃模型對(duì)具有多輸入和多輸出的決策單元（DMU）進(jìn)行效率評(píng)估的。關(guān)于對(duì)DEA 的研究，已經(jīng)有上千位學(xué)者對(duì)它進(jìn)行了深入的研究，并把DEA 用來(lái)評(píng)估供應(yīng)商、銀行、保險(xiǎn)公司、高校等地方的效率。在對(duì)DEA的研究中，許多學(xué)者將DEA 與其他模型結(jié)合起來(lái)，對(duì)決策單元的效率進(jìn)行評(píng)估。實(shí)證結(jié)果表明，這些結(jié)合起來(lái)的模型，在評(píng)估效率時(shí)表現(xiàn)出比單純使用DEA 來(lái)評(píng)估，具有更好的性能，特別是當(dāng)遇到比較復(fù)雜、比較大的數(shù)據(jù)量的問題時(shí)。DEA進(jìn)行效率評(píng)價(jià)時(shí)，有著自身獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，可以在很大程度上避免了人為因素的干擾，使評(píng)價(jià)的結(jié)果更加客觀、科學(xué)。但是DEA也存在不足的地方，如不能實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步的預(yù)測(cè)和仿真效率值。

本文先采用DEA 對(duì)決策單元進(jìn)行效率評(píng)價(jià)，DEA方法主要有兩個(gè)基本模型：CCR 模型和BCC 模型。這兩者方法之間主要的區(qū)別是CCR 假設(shè)規(guī)模收益不變，而BCC 是假設(shè)存在規(guī)模收益可變。1978 年，Charnes等[7]給出了第一個(gè)DEA 模型CCR。CCR的基本原理是假設(shè)共有n個(gè)決策單元DMU，每個(gè)決策單元中具有m種投入和s種產(chǎn)出，評(píng)價(jià)第j個(gè)決策單元(DMUj，1 ≤j≤n)的技術(shù)有效與規(guī)模有效，在CCR模型基礎(chǔ)之上加上就得到BCC 模型[8]。在BCC 模型中技術(shù)有效決策單元是在最優(yōu)前沿面上的，但BCC 模型卻不考慮規(guī)模報(bào)酬變化。在實(shí)際的應(yīng)用中，DEA 模型往往是以CCR 模型為基礎(chǔ)，基于投入型CCR 模型可得出不同DMU 的效率值。含有非阿基米德無(wú)窮小的CCR 模型線性規(guī)劃對(duì)應(yīng)的對(duì)偶規(guī)劃表示為：

（3）如果θ0＜1，被評(píng)價(jià)的決策單元無(wú)效。

1.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）是模擬大腦活動(dòng)，是對(duì)人的大腦中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本特性進(jìn)行抽象和模擬，具有非線性逼近、分布式并行信息處理、自訓(xùn)練學(xué)習(xí)、自組織等能力[9]。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在組合優(yōu)化、預(yù)測(cè)等領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的誤差發(fā)現(xiàn)傳播算法，在目前對(duì)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究中，有80%～90%的模型采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或者它的變形形式[10]。因此，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)研究具有可操作性。

圖1 顯示了簡(jiǎn)單的BPNN 模型，典型的BPNN 模型具有多層結(jié)構(gòu)，包括輸入層、隱含層、輸出層。

圖1 三層BPNN模型

如圖1所示，相鄰的兩個(gè)層中的神經(jīng)元通過高度互連的權(quán)重連接在一起。wni是指從輸入層單元到隱含層單元的權(quán)重，wij是指從隱含層到輸出層的權(quán)重。輸入層的加權(quán)輸入總和，作為第i個(gè)隱含層的輸入，通過傳遞函數(shù)的作用轉(zhuǎn)化成隱含層的輸出，激活函數(shù)選擇常用的Sigmoid函數(shù)，則有接著輸出層的輸出單元輸出先是由隱含層單元Hi的加權(quán)總和，然后通過再一次的傳遞函數(shù)（Sigmoid 函數(shù)）得到。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，需要訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)來(lái)確定最佳的權(quán)重，達(dá)到滿足訓(xùn)練數(shù)據(jù)的基本特征。反向傳播算法通過使所有訓(xùn)練集中的目標(biāo)輸出gJ與實(shí)際輸出yJ之間的誤差項(xiàng)最小化，得到下面的公式：

1.3 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的置信區(qū)間預(yù)測(cè)模型

盡管神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相對(duì)于其他傳統(tǒng)的回歸技術(shù)具有優(yōu)越性，但是在進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，調(diào)試誤差的精度仍是一個(gè)難點(diǎn)；另一方面，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的點(diǎn)預(yù)測(cè)性能隨著數(shù)據(jù)來(lái)源的復(fù)雜性和不確定性的增加而顯著下降。因此，本文采用構(gòu)造置信區(qū)間的技術(shù)來(lái)進(jìn)行神經(jīng)元模型的區(qū)間預(yù)測(cè)。

對(duì)于給定的輸入為x，輸出為y的系統(tǒng)，系統(tǒng)模型用來(lái)表示。其中，θ*代表系統(tǒng)模型中參數(shù)θ的真實(shí)值。假設(shè)誤差ε是系統(tǒng)的實(shí)際輸出與觀測(cè)輸出的差值，并且誤差ε服從于均值為0，方差為σ2的正態(tài)分布，該分布表示為：ε～(0,σ2)。所以系統(tǒng)可以表示為：

通過公式（4），來(lái)使得誤差最小化，得到θ*的最小二乘估計(jì)量為。

通過使用公式（2）、（6）、（7），來(lái)計(jì)算真實(shí)值y與預(yù)測(cè)值之間的差值，公式（8）表示的是差值之間的期望：

置信區(qū)間用t-分布表示為：

1.4 驗(yàn)證模型

代替?zhèn)鹘y(tǒng)的驗(yàn)證模型，如平均百分比誤差（MAPE）、均方誤差（MSE）的傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)，本文使用預(yù)測(cè)區(qū)間概率和預(yù)測(cè)區(qū)間平均寬度來(lái)驗(yàn)證預(yù)測(cè)結(jié)果。對(duì)于每個(gè)點(diǎn)輸出的預(yù)測(cè)區(qū)間，本文將通過計(jì)算區(qū)間的概率和寬度來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)區(qū)間改正，而不是僅僅通過減少基于誤差的度量。根據(jù)文獻(xiàn)，將預(yù)測(cè)區(qū)間覆蓋概率PICP定義為[11]：

同樣，歸一化平均預(yù)測(cè)區(qū)間寬度NMPIL定義為[11]：

其中，tmax、tmin分別是樣本中的最大值和最小值。如果NMPIL的值足夠大時(shí)，則可以包含所有的真實(shí)值，但是這樣就完全沒有意義了。所以構(gòu)造預(yù)測(cè)區(qū)間的驗(yàn)證標(biāo)準(zhǔn)是在PICP足夠大的前提下，NMPIL足夠小。然而，在理論上這兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)是有沖突的，概率越高區(qū)間寬度自然會(huì)越大；區(qū)間寬度越小概率自然越小。為了解決這個(gè)問題，提出綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)（Coverage Lengthbased Criterion，CLC）[12]：

其中，μ=1-α，η稱為懲罰參數(shù)，綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)CLC越小越好。

2 實(shí)證分析

以“一帶一路”經(jīng)濟(jì)帶沿途的中國(guó)18個(gè)省市為決策單元。所有的評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)源于2017 年的《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》《中國(guó)建設(shè)統(tǒng)計(jì)年鑒》《中國(guó)旅游統(tǒng)計(jì)年鑒》，目的是針對(duì)這18 個(gè)省市的旅游效率評(píng)估。參考已有的文獻(xiàn)[13]，選用3 個(gè)輸入指標(biāo)、2 個(gè)輸出指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)。通過模型（1）計(jì)算，結(jié)果如表1所示。

從表1 的第8 列θ值的結(jié)果可以看出，只有3 個(gè)省市（上海、福建、海南）的旅游效率是DEA 有效的，而剩下的省市的旅游效率全部都是無(wú)效，為了分析無(wú)效的原因，首先要對(duì)這些省市進(jìn)行分類。文獻(xiàn)[14]認(rèn)為可以將DEA 得出的效率分為4 類：S1∈(0.98, ]1 為強(qiáng)相對(duì)有效，這一類中的單元只要稍微修改，就能達(dá)到最佳的組合配置；S2∈(0.8, ]0.98 為相對(duì)有效，這一類的單元除了需要修改資源的利用，還需要花上一點(diǎn)的時(shí)間；為相對(duì)低效區(qū)間，這一類的單元需要重新調(diào)整資源配置或者產(chǎn)出標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)需要一段時(shí)間來(lái)適應(yīng)；S4∈(0, ]0.5 為非常低效區(qū)間，這一區(qū)間內(nèi)的單元，需要大幅度地修改投入和產(chǎn)出，還要投入大量的時(shí)間進(jìn)行不斷調(diào)整。

由于DEA 計(jì)算的結(jié)果屬于后評(píng)價(jià)的范圍，評(píng)價(jià)的結(jié)果不能夠完全說(shuō)明結(jié)果，要想準(zhǔn)確地將結(jié)果進(jìn)行分類，需要通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行區(qū)間預(yù)測(cè)，如果預(yù)測(cè)的結(jié)果正好完全落在Si中，可以認(rèn)為該單元屬于這個(gè)區(qū)間；如果預(yù)測(cè)結(jié)果部分落在某個(gè)Si中，可以通過公式判斷。以分別落在S1、S2區(qū)間的預(yù)測(cè)區(qū)間為例。

表1 18個(gè)省市旅游效率結(jié)果

表2 真實(shí)值與預(yù)測(cè)區(qū)間比較

基于1.3 節(jié)的相關(guān)模型和相關(guān)公式，利用Matlab編程求解，并且令置信水平分別為80%、90%、95%、99%。圖2 顯示了BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過多次訓(xùn)練好的預(yù)測(cè)圖。在置信水平為80%的置信區(qū)間內(nèi)，共有15 個(gè)樣本點(diǎn)落在置信區(qū)間內(nèi)。當(dāng)置信水平為90%、95%、99%時(shí)，預(yù)測(cè)的結(jié)果明顯比置信水平為80%的結(jié)果差很多，主要原因是樣本的容量較少，但在一定程度上能夠說(shuō)明BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在效率區(qū)間預(yù)測(cè)上的可行性。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)區(qū)間結(jié)果

旅游效率為無(wú)效的省市效率點(diǎn)轉(zhuǎn)化為效率區(qū)間的結(jié)果如表2所示，一共有15個(gè)樣本點(diǎn)。

所有樣本點(diǎn)的預(yù)測(cè)區(qū)間，利用公式（15）～（17）進(jìn)行驗(yàn)證檢驗(yàn)，結(jié)果如表3 所示。結(jié)果顯示，CLC 的值低于0.5，具有較好的預(yù)測(cè)性能，所以可以利用區(qū)間數(shù)來(lái)說(shuō)明樣本的效率值。根據(jù)公式（18）對(duì)12個(gè)落在預(yù)測(cè)區(qū)間內(nèi)的樣本進(jìn)行分類，結(jié)果如表4 所示，真實(shí)值和預(yù)測(cè)區(qū)間之間分類的結(jié)果會(huì)存在少量的差異。

表3 驗(yàn)證模型結(jié)果

表4 真實(shí)值與預(yù)測(cè)區(qū)間的分類結(jié)果

可以發(fā)現(xiàn)，如果按真實(shí)的效率值和預(yù)測(cè)區(qū)間進(jìn)行分類，結(jié)果是存在差異的，主要因?yàn)闃颖鞠到y(tǒng)的復(fù)雜性和不確定性造成。對(duì)于這樣的差異，該選擇哪一種分類方式，本研究通過分析差異點(diǎn)來(lái)探討此問題，同樣以這些點(diǎn)為例分析無(wú)效點(diǎn)改進(jìn)的方法。由結(jié)果可以看出，M7為樣本的差異點(diǎn)。

M7代表著是黑龍江省。黑龍江省作為中國(guó)最北的省份，被大家譽(yù)為“冰雪之城”。但是哈爾濱商業(yè)大學(xué)的研究團(tuán)隊(duì)在做黑龍江省的旅游業(yè)景氣指數(shù)研究時(shí)[15]，指出黑龍江省旅游行業(yè)的許多問題：經(jīng)營(yíng)項(xiàng)目雷同、旅行社不正當(dāng)競(jìng)爭(zhēng)、宰客現(xiàn)象嚴(yán)重等一系列問題。這就導(dǎo)致通過訓(xùn)練得出M7的預(yù)測(cè)區(qū)間下限到達(dá)非常低的位置，導(dǎo)致預(yù)測(cè)區(qū)間劃分到S4，本文認(rèn)為可以將M7劃分到S4集合中。

對(duì)于落在S4中黑龍江省的旅游效率問題，提出以下幾點(diǎn)建議：（1）根據(jù)表1 的計(jì)算結(jié)果本文認(rèn)為，可以減少或者停止對(duì)土地要素和資本要素的投入，即減少綠地面積和住宿業(yè)、餐飲業(yè)的投入，同時(shí)管控住宿業(yè)和餐飲業(yè)亂收費(fèi)的現(xiàn)象，讓旅客且真實(shí)地感受旅游市場(chǎng)的公平；（2）大力構(gòu)建旅游品牌，增強(qiáng)旅游競(jìng)爭(zhēng)力，吸引游客的流入；（3）拓寬國(guó)際旅游業(yè)務(wù)，由于黑龍江的地理位置優(yōu)越，位于中國(guó)邊境地帶，可以推進(jìn)境外游，吸納境外游客來(lái)黑龍江旅游。分析結(jié)果表明黑龍江的旅游效率比較低，需要黑龍江省投入大量的時(shí)間和精力來(lái)改善現(xiàn)狀。

3 結(jié)論與展望

本文研究的主要目的是找出一個(gè)最佳的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行效率區(qū)間預(yù)測(cè)，雖然神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型不是一個(gè)新的概念，但還是有很多問題沒有解決，這也對(duì)本文的模型精度產(chǎn)生了影響。隨機(jī)過程和復(fù)雜系統(tǒng)的不確定性的不斷積累會(huì)導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)預(yù)測(cè)的性能，特別是在進(jìn)行效率預(yù)測(cè)時(shí)。針對(duì)此問題，本文假設(shè)樣本真實(shí)值與預(yù)測(cè)值的誤差成正態(tài)分布，采用Delta 方法對(duì)每一個(gè)點(diǎn)預(yù)測(cè)構(gòu)建預(yù)測(cè)區(qū)間。因?yàn)樵谟?xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，只需要計(jì)算一次雅可比矩陣，所以計(jì)算難度大大下降。在驗(yàn)證預(yù)測(cè)區(qū)間結(jié)果方面，采用新的測(cè)度模型，比傳統(tǒng)的驗(yàn)證標(biāo)準(zhǔn)更具有說(shuō)服力[11]。最后在利用18 個(gè)省市的旅游效率進(jìn)行預(yù)測(cè)，驗(yàn)證結(jié)果誤差較小，包括有效點(diǎn)在內(nèi)總有15個(gè)樣本真實(shí)值點(diǎn)在預(yù)測(cè)區(qū)間內(nèi)，誤差為16.7%，CLC 低于0.5，說(shuō)明了預(yù)測(cè)區(qū)間具有較好的可靠性。由于本文所給的樣本數(shù)量少，指標(biāo)選擇具有主觀性等問題，所以本文研究仍需要進(jìn)一步的改進(jìn)。

未來(lái)研究改進(jìn)方向：（1）在保證精度的前提下，考慮加入含有噪聲的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)；（2）將本文的模型用于更加復(fù)雜、模糊的系統(tǒng)中，對(duì)其效率進(jìn)行區(qū)間預(yù)測(cè)。