考慮地層損失的盾構(gòu)隧道土體變形修正解析解

楊 瀟，姚春橋，李明宇

（1.華中科技大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，武漢 430074；2.武漢地鐵集團(tuán)有限公司，武漢 430030；3.鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，鄭州 450001）

1 研究背景

在城市地下空間建設(shè)中，采用盾構(gòu)法修建地下隧道日益常見(jiàn)。無(wú)數(shù)工程實(shí)踐表明：雖然盾構(gòu)法是一種先進(jìn)的隧道施工技術(shù)，但是盾構(gòu)施工仍會(huì)不可避免地引起周圍土體擾動(dòng)，進(jìn)而引發(fā)土體變形，并對(duì)隧道周邊建構(gòu)筑物產(chǎn)生不利影響。如何準(zhǔn)確計(jì)算盾構(gòu)施工引起的土體變形成為防止這種不利影響的必要前提。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)盾構(gòu)施工引起土體變形的理論研究主要集中于經(jīng)驗(yàn)法和解析法。其中，經(jīng)驗(yàn)法以Peck公式［1］及其系列修正［2-4］為主，該方法基于海量的工程實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)分析隧道開(kāi)挖引起的土體位移分布規(guī)律，提出一系列計(jì)算土體位移的經(jīng)驗(yàn)公式。而在解析法中，主要有復(fù)變函數(shù)法（Verruijt［5-6］）、彈性力學(xué)Mindlin解法（魏綱等［7］）、鏡像法（Sagaseta［8］、Verruijt等［9］、Loganathan等［10］、魏綱等［11］）和隨機(jī)介質(zhì)理論（Yang等［12］）。解析法中應(yīng)用比較廣泛的是鏡像法。鏡像法由Sagaseta于1987年提出，后經(jīng)Verruijt和Loganathan逐漸完善，形成著名的Loganathan公式［10］。與經(jīng)驗(yàn)法相比，解析法從力學(xué)和數(shù)學(xué)的基本原理出發(fā)，可以考慮到盾構(gòu)施工的具體工況，其計(jì)算過(guò)程遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推演，推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯性強(qiáng)，因而計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

盾構(gòu)施工造成的土體擾動(dòng)是周圍土體變形的主要原因。從理論上講，土體擾動(dòng)帶來(lái)了地層損失（隧道軸向每延米土體體積的減小量占隧道開(kāi)挖土體體積的比例），地層損失引發(fā)了土體的變形。然而，已有的研究成果在計(jì)算隧道周邊地層損失時(shí)仍然存在一些問(wèn)題，比如Loganathan公式關(guān)于地層損失邊界條件的確定比較粗略，而且沒(méi)有考慮不同土質(zhì)條件下隧道周圍土體移動(dòng)的差異性。本文將從這些不足出發(fā)，通過(guò)理論推導(dǎo)對(duì)Loganathan公式進(jìn)行完善，并將得到的修正解析解推廣到三維空間，可以計(jì)算三維空間中地層損失引起的土體變形。

2 地層損失引起的土體變形

2.1 地層損失分布的修正

關(guān)于地層損失引起的土體變形計(jì)算，以Sagaseta提出的鏡像法為基本原理，應(yīng)用較為廣泛的是Loganathan公式。Loganathan認(rèn)為，隧道開(kāi)挖后，隧道周圍土體會(huì)產(chǎn)生橢圓形的非均勻徑向位移（如圖1所示），并采用盾尾空隙參數(shù)g定義等效不排水地層損失ε0，即

式中：R為隧道半徑；g為盾尾空隙參數(shù)，關(guān)于g的具體計(jì)算方法可參考文獻(xiàn)［13］。

圖1 隧道周圍土體變形模式和地層損失分布Fig.1 Soil deformation mode and distribution of ground loss around the tunnel

Loganathan采用含有ε0的指數(shù)函數(shù)擬合隧道周圍土體的非均勻變形，得到地表處的地層損失為

式中常數(shù)A、B可由邊界條件獲得。

實(shí)測(cè)結(jié)果顯示，對(duì)軟塑到硬塑黏土，隧道開(kāi)挖引起的地表沉降槽邊緣點(diǎn)到隧道中軸線的水平距離約為 H＋R。于是，Loganathan在定義邊界條件時(shí)，假定隧道起拱點(diǎn)與地表沉降槽寬度邊緣點(diǎn)連線的水平仰角是β，取 45°，即認(rèn)為隧道軸線上的地表沉降是由隧道周圍總的累積地層損失 （100%）引起的，而距離隧道軸線 H＋R處的地表沉降是由部分累積地層損失（25%）產(chǎn)生的，圖 1中點(diǎn)劃線即為 Loganathan假定的邊界線。然而從 Yi等［14］的研究成果可知，盾構(gòu)開(kāi)挖使周圍土體產(chǎn)生剪切擾動(dòng)和開(kāi)挖卸載，在隧道周圍形成剪切擾動(dòng)區(qū)。根據(jù)極限平衡原理，塑性區(qū)的邊界應(yīng)與剪切擾動(dòng)區(qū)相切，邊界線的水平仰角應(yīng)與主動(dòng)土壓力角一致，為45°＋φ/2，其中φ為土的內(nèi)摩擦角，此時(shí)邊界線與地表交點(diǎn)處沉降值為0，如圖1所示。此外，文獻(xiàn)［15］考慮到土質(zhì)軟硬對(duì)隧道周圍土體移動(dòng)的影響，認(rèn)為土體移動(dòng)存在一個(gè)焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)隨土質(zhì)不同在隧道開(kāi)挖斷面圓心與拱底的連線上變動(dòng)，從而建立了統(tǒng)一的土體移動(dòng)模型，如圖 2。在圖 2中，d表示焦點(diǎn)與隧道斷面圓心之間的距離，文獻(xiàn)［16］給出了 d的建議取值，具體如表 1。

圖2 隧道周圍統(tǒng)一土體移動(dòng)模型Fig.2 Uniform peripheral ground movement model

表1 不同土質(zhì)條件下d的建議取值Table 1 Suggested values of d in different soils

基于以上討論，本文從統(tǒng)一土體移動(dòng)模型出發(fā)，并考慮到土體內(nèi)摩擦角的影響，對(duì)Loganathan提出的邊界條件進(jìn)行修正。如圖1，作仰角為45°＋φ/2的直線相切于隧道開(kāi)挖引起的塑性區(qū)邊界，該直線與地表交點(diǎn)處的沉降值為0，故該處的地層損失也為0。再?gòu)耐馏w移動(dòng)焦點(diǎn)出發(fā)作水平直線與隧道襯砌外緣相交，過(guò)該交點(diǎn)做仰角為45°＋φ/2的直線，該直線與地表交于（xl，0）點(diǎn)，按照Loganathan的研究思路，圖1中（xl，0）點(diǎn)的地表沉降是由焦點(diǎn)所在水平線以下的地層損失引起的，為λ1ε0。根據(jù)圖3，λ1ε0應(yīng)等于陰影部分的累積地層損失，圖3中g(shù)等于隧道拱頂處襯砌與土體之間的建筑空隙，盾尾空隙沿隧道圓周的函數(shù)分布可用式（3）表示。

圖3 隧道周邊的地層損失計(jì)算Fig.3 Calculationofgroundlossaroundthetunnel

式中θ從隧道開(kāi)挖面圓心所在的水平線起算，以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。通過(guò)對(duì)g（θ）在圖3中陰影部分積分可得

式中Vloss為盾構(gòu)開(kāi)挖單位長(zhǎng)度引起的地層損失，有

如果用盾尾空隙表示盾構(gòu)開(kāi)挖引起的地層損失，則有

把式（3）和式（6）代入式（4），得

考慮到盾尾空隙g相對(duì)于隧道半徑R很小，式（7）可化簡(jiǎn)為

當(dāng)式（8）中的d取0時(shí)，即為L(zhǎng)oganathan研究的情況，此時(shí)λ1為18.17%，并不是Loganathan提出的25%（參見(jiàn)文獻(xiàn)［10］），說(shuō)明Loganathan的取值比較粗略。

引入邊界條件：①隧道軸線上方的地表沉降是由隧道周圍總的累積地層損失ε0產(chǎn)生的；②（xl，0）處的地表沉降是由焦點(diǎn)以下部分累積地層損失λ1ε0引起的。則有

式（9）中的xl可通過(guò)幾何關(guān)系計(jì)算得到，即

通過(guò)式（9）表示的邊界條件可確定式（2）中的常數(shù)A和B。結(jié)合式（1），可得地表處的地層損失分布函數(shù)為

根據(jù)Loganathan的研究成果，地層損失沿地層深度z方向的分布同樣滿足指數(shù)函數(shù)，即

式中C為待定常數(shù)。注意到焦點(diǎn)所在水平線處盾尾空隙與拱頂處盾尾空隙的關(guān)系，可引入邊界條件

與λ1的計(jì)算原理類似，可得λ2的表達(dá)式為

據(jù)此可確定式（12）中的常數(shù)C，進(jìn)而得到圖1中任一點(diǎn)（x，z）的地層損失為

2.2 二維土體變形的修正計(jì)算公式

Verruijt和Booker［9］提出了基于隧道周圍均勻地層損失的土體變形解析解，即

式中：ε為隧道周圍均勻地層損失；δ為隧道襯砌橢圓化變形引起的長(zhǎng)期土體變形；H為隧道中心埋深；2μ）；k＝μ（1-μ）；μ為土體泊松比。由于本文僅研究盾構(gòu)開(kāi)挖后不排水的土體變形，因此式（16）、式（17）中與長(zhǎng)期變形有關(guān)的系數(shù)δ為0，將其中的ε用式（15）中的ε（x，z）代替，可得盾構(gòu)開(kāi)挖引起的土體位移公式為

2.3 三維土體變形的修正計(jì)算公式

文獻(xiàn)［17］指出，地層損失沿盾構(gòu)隧道掘進(jìn)方向（y方向）的分布函數(shù)滿足

如果用式（20）中的ε0（y）代替前面的ε0，則可得到土體變形的三維解析解。

3 算例分析

3.1 算例一

某地鐵區(qū)間隧道采用土壓平衡盾構(gòu)施工［18］，土體變形基本計(jì)算參數(shù)列于表2。

表2 某地鐵區(qū)間盾構(gòu)隧道計(jì)算參數(shù)Table 2 Parameters of a metro shield tunnel

分別采用Loganathan公式和本文修正公式對(duì)該工程盾構(gòu)施工引起的地表沉降進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)圖4。由圖4可知，采用理論公式計(jì)算得到的地表沉降槽形狀均為正態(tài)分布曲線，均與實(shí)際情況相符。但是，采用本文修正公式求得的沉降比Loganathan公式更接近實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，沉降曲線也更加貼合實(shí)際情況。

圖4 地表沉降曲線Fig.4 Curves of ground surface settlement

圖4顯示，不同理論公式計(jì)算得到的地表沉降槽寬度有所不同。采用Loganathan公式求得的地表沉降槽寬度約為60 m，采用本文修正公式求得的地表沉降槽寬度約52 m（d＝0）和44 m（d＝0.35R）。鑒于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)體現(xiàn)的地表沉降槽寬度約為40 m，可以得出：當(dāng)焦距d＝0.35R時(shí)，隧道周圍土體類似中等黏性土（參考表1），采用修正公式求得的地表沉降槽寬度與實(shí)測(cè)結(jié)果最為接近，相對(duì)誤差僅為10%。這說(shuō)明考慮隧道周圍土體移動(dòng)焦距對(duì)于計(jì)算地表沉降結(jié)果有著重要的意義。

3.2 算例二

文獻(xiàn)［19］運(yùn)用有限元軟件模擬并揭示了上海某盾構(gòu)隧道施工段土體水平位移的變化規(guī)律。本文基于文獻(xiàn)［19］中的工程資料，利用修正公式求出了土體水平位移的解析解，并與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和有限元模擬結(jié)果作了對(duì)比，計(jì)算中用到的參數(shù)列于表3。

表3 上海某盾構(gòu)隧道施工段的計(jì)算參數(shù)Table 3 Parameters of a shield tunnel in Shanghai

圖5給出了盾尾剛脫出時(shí)距離隧道凈距1.5 m處的深層土體水平位移。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，有限元計(jì)算得到的水平位移曲線雖然可以描繪土體變形的基本特征，但和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相比整體偏小。采用理論計(jì)算公式計(jì)算得到的水平位移曲線均符合實(shí)際形狀，但在數(shù)值上和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相比有所偏大。

圖5 土體水平位移曲線Fig.5 Curves of horizontal displacement of soil

以隧道中心軸線處的土體水平位移為例，采用Loganathan公式求得的數(shù)值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差約為28.1%；采用修正公式得到的數(shù)值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差分別為12.5%（d＝0）和1.6%（d＝0.2R）?？梢钥闯?，修正公式的計(jì)算結(jié)果更加接近于實(shí)際情況，尤其是對(duì)于d＝0.2R時(shí)效果更為顯著，這說(shuō)明隧道周圍土體性質(zhì)介于軟黏性土和中等黏性土之間（參考表1）。

4 結(jié) 論

通過(guò)理論推導(dǎo)，結(jié)合算例分析，本文得到了基于地層損失的盾構(gòu)隧道土體變形修正解析解，并考慮了土質(zhì)條件對(duì)隧道周圍土體移動(dòng)的影響。主要結(jié)論如下：

（1）根據(jù)土體極限平衡原理和隧道周圍統(tǒng)一土體移動(dòng)模型，提出了用于計(jì)算土體變形的修正公式，其計(jì)算得到的土體沉降槽要小于Loganathan公式，計(jì)算結(jié)果更加接近工程實(shí)際。

（2）考慮土質(zhì)條件對(duì)土體移動(dòng)的影響（引入土體移動(dòng)焦距d），得到的土體變形小于Loganathan公式的計(jì)算結(jié)果，也更加符合實(shí)際情況，這一點(diǎn)與文獻(xiàn)［15］的研究結(jié)論相一致。

（3）通過(guò)對(duì)解析公式的三維化推廣，本文推得的修正公式可以實(shí)現(xiàn)盾構(gòu)隧道土體變形的三維計(jì)算分析。