一種基于VG模型的變形土進氣吸力值預測方法

陶高梁，羅晨晨，李麗華，李 奕，李梓月

（1.湖北工業(yè)大學 土木建筑與環(huán)境學院，武漢 430068；2.武昌理工學院 城建學院，武漢 430223）

1 研究背景

土-水特征曲線（SWCC）是揭示基質吸力與含水率之間關系的曲線，也可以用基質吸力與飽和度之間關系的形式表示，是進行非飽和土土力學理論研究及工程應用的基礎。對土-水特征曲線產(chǎn)生影響的因素［1-4］有很多，如土的顆粒構成、孔隙的大小、形狀分布、孔隙比、應力狀態(tài)等。對于同一種土，尤其以土體變形對土-水特征曲線造成的影響較大，變形導致土體內部孔隙的變化，進而影響失水速率。因此，對變形土進行相關的土-水特征曲線的研究對非飽和土理論研究有十分重大的意義。進氣吸力值（air-entry value）是土-水特征曲線上的一個臨界點，土體內最大孔隙難以抗拒施加的吸力進而發(fā)生失水［5］，此時施加的基質吸力即為進氣吸力值。進氣吸力值的確定對非飽和土土-水特征曲線、滲透特性的研究以及相關的工程實際應用都具有十分重要的意義［6］。因此，對變形條件下土體進氣吸力值進行預測是一項非常重要的任務。

目前對于進氣吸力值的相關研究，前人已作了大量工作。Fallow等［7］提出了一種直接測量的方法，用來測量進氣吸力值和初始壓力水頭，推動了進氣吸力值相關試驗測量的研究進展；Tinjum等［8］對24個壓實黏土樣進行分析，總結出了一個VG模型參數(shù)a與進氣吸力值的經(jīng)驗關系方程，進而預測進氣吸力值；Vanapalli等［9］用計算作圖法對進氣吸力值和殘余含水率進行了預測；Zhou等［10］在研究影響土-水特征曲線的相關因素中，對初始孔隙比和進氣吸力值的關系建立了相關擬合公式；Xu和Xia［11］采用分形理論建立了土-水特征曲線模型和相對滲透系數(shù)模型，并用該模型擬合出了進氣吸力值；Nuth等［12］在探究變形土的土-水特征曲線時，發(fā)現(xiàn)了進氣吸力值與孔隙比之間存在反比關系，并提出了一個進氣吸力值與凈應力之間的關系方程；Zhai和Rahardjo［13］在確定土-水特征曲線的有關變量時，分別采用2種作圖計算方法推導出了進氣吸力值的理論公式，并采用試驗數(shù)據(jù)驗證了該公式；Wijaya等［14］在研究土體收縮時，發(fā)現(xiàn)土體干燥收縮時表現(xiàn)出不同的進氣吸力值，并確定了一種方法求出收縮曲線的進氣吸力值；Zhou等［15］在Xu和Xia［11］分形理論的基礎上提出了變形條件下孔隙率、孔隙半徑、分維數(shù)三者的關系方程，可以預測變形土體進氣吸力值；陶高梁等［16-17］結合孔隙分布變化規(guī)律與毛細理論提出了不同初始孔隙比土體進氣吸力值的預測方法。

目前，在土體進氣吸力值的相關研究方面，尚未統(tǒng)一出一種較好的預測變形土進氣吸力值的方法，在進氣吸力值的應用方面，以利用土-水特征曲線分形模型的公式擬合為主，因模型含有分維數(shù)，所以需先求出變形前土體分維數(shù)。本文為了研究變形條件下非飽和黏性土進氣吸力值的變化規(guī)律，利用VG模型對變形前的土體土-水特征曲線進行擬合，得出VG模型擬合參數(shù)，根據(jù)a與進氣吸力值ψa的已有函數(shù)關系，得出初始孔隙比條件下的進氣吸力值，結合壓縮變形條件下土體土-水特征曲線變化規(guī)律建立了變形條件下土體進氣吸力值預測模型，采用該模型預測不同初始孔隙比條件下土體進氣吸力值，并與已有預測方法進行對比與討論，進而驗證該模型的合理性。該預測模型提供了一種理論預測變形土進氣吸力值的新方案，為后續(xù)的相關研究提供了一種新方法。

2 變形土進氣吸力值預測方法

2.1 預測模型

VG模型由美國學者Van Genuchten［18］于1980年提出，其表達式為

式中：w為質量含水率；wr為殘余質量含水率；ws為飽和質量含水率；a表示與進氣吸力值有關的參數(shù)（kPa-1）；n與土體的孔隙分布有關；m與土-水特征曲線的整體對稱性有關；ψ為基質吸力。該模型的吸力范圍更廣，能更加有效地表征全負壓范圍內的土-水特征曲線，擬合效果良好。

文獻［19］依據(jù)VG模型，給出了a與進氣吸力值ψa之間的反比關系，即

采用該式可計算變形前土體土-水特征曲線進氣吸力值。

采用文獻［20］的結論，壓縮變形條件下，不同初始孔隙比條件下的高基質吸力階段土-水特征曲線數(shù)據(jù)視為不變。當變形后土體初始孔隙比變?yōu)閑1時（e0＞e1），假設進氣吸力值為ψa1，作水平線w＝e1/Gs（Gs指土粒相對密度），與變形前e0時的土-水特征曲線的交點橫坐標便可近似認為是e1時的進氣吸力值ψa1，如圖1所示。

圖1 不同初始孔隙比條件下以質量含水率表示的土-水特征曲線Fig.1 Soil-water characteristic curves at different initial void ratios expressed by gravimetric water content

結合式（1）與w＝e1/Gs，可得

因e1、wr、Gs、ws為已知數(shù)，故令

對式（3）進行簡單變形可得到

式中k為僅與初始孔隙比相關的變量，其他參數(shù)均能依據(jù)變形前土-水特征曲線擬合得到，根據(jù)式（5）可預測不同初始孔隙比土體的進氣吸力值。

2.2 預測方法計算要點

該預測模型結合VG模型與壓縮變形條件下土-水特征曲線變化規(guī)律進行推導，在已知變形前土體土-水特征曲線的條件下，預測變形后的土體進氣吸力值。首先利用VG模型對變形前的土體土-水特征曲線進行擬合，得出VG模型的擬合參數(shù)，結合式（1）與w＝e1/Gs，令等式右邊的倒數(shù)為k值，計算出相應的k值，k值只隨孔隙比的變化而變化，進而根據(jù)式（5）預測變形后的土體進氣吸力值。變形前土體進氣吸力值可以利用擬合參數(shù)a與進氣吸力值ψa之間的反比關系得出。

3 已有進氣吸力值預測方法

已有文獻中提出了3種預測模型預測變形土進氣吸力值，這些模型大多基于分形理論與土-水特征曲線模型。在這一節(jié)，對這些模型的表達式做了簡要的闡述。

3.1 方法1

結合毛細理論，文獻［21］根據(jù)孔隙率模型推導了以質量含水率表示的土-水特征曲線模型，并進一步推導出了預測進氣吸力值的公式，其表達式為

式中：ψa為變形前的土體進氣吸力值；e1為變形后土體孔隙比；e0為初始孔隙比；D0為變形前土體分形維數(shù)。

3.2 方法2

文獻［15］中假設分形維數(shù)與孔隙率無關，孔隙率的改變僅改變孔隙半徑在方程中的值，結合Capillary理論推導出了一種變形土進氣吸力值預測模型，其表達式為

式中：φ為變形前土體孔隙率；φ′為變形后土體孔隙率；E為歐幾里德維數(shù)，本文取3。

已知φ＝e0/（1＋e0），φ′＝e1/（1＋e1），故式（6）與式（7）變形后的表達式一致，且相關參數(shù)求解也一致，可看作同一種進氣吸力值預測方法。

3.3 方法3

文獻［17］以土-水特征曲線分形模型為理論基礎，參照已有的第一種進氣吸力值預測方法，推導出了新的變形土進氣吸力值預測模型，即

上述變形土進氣吸力值預測方法建立在分形理論的基礎上，要點在于均需求出初始孔隙比e0的土體進氣吸力值和分形維數(shù)，因此不僅要對土-水特征曲線試驗數(shù)據(jù)進行擬合求出進氣吸力值，還需進行線性擬合求解分形維數(shù)。

4 預測方法對比分析及驗證

4.1 土-水特征曲線試驗

以湖南紅黏土［23］為研究對象，將其風干碾碎并過2 mm篩，土樣的基本物理性質見表1，制備初始孔隙比分別為1.12、1.04、0.97、0.90、0.84、0.73的試樣6個，土-水特征曲線試驗數(shù)據(jù)采用壓力板儀測量獲得，不同初始孔隙比條件下土樣的土-水特征曲線試驗數(shù)據(jù)如表2所示。

表1 湖南黏土的基本物理性質Table 1 Basic physical properties of Hunan clay

表2 土-水特征曲線試驗數(shù)據(jù)Table 2 Experimental data of SWCC

采用以質量含水率表示的土-水特征曲線分形模型對6種不同初始孔隙比土樣的土-水特征曲線試驗數(shù)據(jù)進行擬合，得出的進氣吸力值如表3。

表3 不同初始孔隙比土樣的進氣吸力值Table 3 Air-entry values of soil samples with different initial void ratios

4.2 進氣吸力值預測對比

采用4.1節(jié)試驗數(shù)據(jù)，利用本文預測方法與已有預測方法預測進氣吸力值，并與擬合值對比，如圖2。上述3種已有文獻進氣吸力值預測方法的相同之處在于都需要求出變形前土體的進氣吸力值及分形維數(shù)，且采用不同形式的土-水特征曲線模型進行擬合，而本文預測模型采用VG模型擬合出相關參數(shù)，進而求出變形后土體進氣吸力值。

圖2 不同預測方法的進氣吸力值對比Fig.2 Comparison of air-entry values obtained by different prediction methods

利用本文的預測方法及已有文獻方法對變形條件下湖南黏土進氣吸力值進行預測，并與擬合得出的進氣吸力值進行比較。圖2表明，4種預測方法的進氣吸力值變化趨勢大體一致，進氣吸力值隨著初始孔隙比的減小而變大。初始孔隙比較大時，各預測方法與分析擬合值均較為接近，但當初始孔隙比較小時，本文方法預測結果更為接近擬合值。

4.3 進氣吸力值的應用

4.3.1 非飽和滲透系數(shù)統(tǒng)一模型

文獻［22］推導了Burdine模型、Mualem模型、陶-孔模型的分形形式。

（1）Burdine模型的分形形式為

（2）Mualem模型的分形形式為

（3）陶-孔模型的分形形式為

式中kr為相對滲透系數(shù)。

上述3種滲透系數(shù)分形模型的共同點為均由進氣吸力值和基質吸力組成對應比例關系。根據(jù)土-水特征曲線的分形模型，以飽和度Sr表示的土-水特征曲線分形形式為

為得到非飽和相對滲透系數(shù)分形模型的統(tǒng)一形式，可以將式（12）（ψ≥ψa）代入上述3種非飽和相對滲透系數(shù)的分形形式（見表4），得到以飽和度形式表示的非飽和相對滲透系數(shù)統(tǒng)一模型，如式（13）。

式中β為常數(shù)。在Burdine模型中，β為3；在Mualem模型中，β為2.5；在陶-孔模型中，β為1。

表4 非飽和相對滲透系數(shù)統(tǒng)一模型Table 4 A unified model for relative permeability coefficient of unsaturated soils

在2.1節(jié)中提到的VG模型采用殘余飽和度Se形式表示，如式（14）。

若將殘余含水率對應的水分視作顆粒組成部分，可近似認為θr＝0，Se＝Sr，其中a、m、n均為擬合參數(shù)，將其代入統(tǒng)一模型式（13），可得到以VG模型為理論基礎的非飽和相對滲透系數(shù)統(tǒng)一模型，即

4.3.2 滲透模型驗證

針對上述模型，對不同初始孔隙比條件下湖南黏土的土-水特征曲線試驗數(shù)據(jù)進行擬合，得出下列參數(shù)，見表5。變形條件下土體進氣吸力值已于4.2節(jié)中求出，利用式（15）對非飽和相對滲透系數(shù)進行預測，非飽和滲透系數(shù)實測值來自文獻［23］，3種滲透模型預測值與實測值對比見圖3。

表5 不同初始孔隙比VG模型擬合參數(shù)Table 5 Fitting parameters of VG Model with different initial void ratios

圖3 非飽和相對滲透系數(shù)預測值與實測值對比Fig. 3 Comparison of unsaturated relative permeabilitycoefficient between predicted and measured values

由圖3可知，在預測效果對比上，以VG模型為理論基礎的3種非飽和相對滲透系數(shù)模型預測存在一定的差異性，在統(tǒng)一模型中，模型參數(shù) β分別為1、2.5、3時，預測值與實測值均吻合較好。

5 結 論

在已知初始孔隙比e0的土-水特征曲線試驗數(shù)據(jù)條件下，預測不同初始孔隙比條件下土體的進氣吸力值對于非飽和土的水力耦合分析、變形條件下土體滲流特性的研究等具有重要意義。本文提出了一種基于VG模型的變形土進氣吸力值預測模型，通過壓力板儀試驗得出湖南黏土土-水特征曲線試驗數(shù)據(jù)，擬合得出相關參數(shù)，并將其代入本文預測模型，與其它模型預測值和擬合值進行比較。本文預測值與擬合值吻合良好，在初始孔隙比較小時更接近擬合值。同時，本文還提出了非飽和相對滲透系數(shù)統(tǒng)一模型，將計算的進氣吸力值應用于變形土的非飽和滲透系數(shù)預測，并將其與實測值對比，驗證了該方法的合理性。