基于基因表達(dá)式編程算法的波浪透射預(yù)測(cè)

劉 濤，馮 曦，馮衛(wèi)兵，張宸豪，陸 楊

(1. 海岸災(zāi)害及防護(hù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(河海大學(xué))，江蘇 南京 210098； 2. 河海大學(xué) 港口海岸與近海工程學(xué)院，江蘇 南京 210098； 3. 南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029)

波浪透射預(yù)測(cè)是海洋工程中的一項(xiàng)基礎(chǔ)性研究，它對(duì)于維護(hù)港口水域平穩(wěn)、船舶穩(wěn)定以及海岸泥沙輸移等有著深遠(yuǎn)影響。因此，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)波浪透射對(duì)于海洋工程極其重要。

大型深水防波堤堤后波浪一般來自兩個(gè)方面，其一是堤頂越浪，其二則是堤身滲透波浪。針對(duì)越浪的情況，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了大量的研究[1-4]，得到的成果可以很好地應(yīng)用到實(shí)際工程中。但是對(duì)于不可越浪的防波堤透浪研究，國(guó)內(nèi)外的成果相對(duì)較少。

波浪透射的程度，通常用透浪系數(shù)來表述，其定義如下：

Kt=Ht/H

(1)

式中：Kt為透浪系數(shù)，Ht為堤后波高，H為入射波高。透浪系數(shù)的大小反映了波浪在堤內(nèi)的衰減程度，Kt越小，衰減越顯著。目前研究波浪透射主要從理論推導(dǎo)和物理模型試驗(yàn)兩種方法入手。理論研究方面，Sollitt和Cross[5]假設(shè)拋石斜坡堤的斷面是矩形結(jié)構(gòu)，忽略了黏性項(xiàng)和對(duì)流項(xiàng)的影響，利用數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到波浪透射系數(shù)的解析解，此后國(guó)內(nèi)外學(xué)者開始關(guān)注波浪與多孔介質(zhì)相互作用的問題。Madsen[6]利用線性波理論得到波浪在堤內(nèi)的衰減公式。Stephenson[7]假定水頭損失處在阻力平方區(qū)，推導(dǎo)出半理論半經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式，得到的結(jié)果通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證較為滿意。

物理模型試驗(yàn)方面，王登婷和左其華[8]、葛曉丹[9]和Sokolewicz[10]等做了大量的物模試驗(yàn)，闡明了影響波浪透射的因素主要分為兩方面：一方面是波浪本身的特性，比如波高、波周期和波陡等；另一方面由防波堤的結(jié)構(gòu)決定，堤寬、中值粒徑和堤前水深等均有較大影響。

以上學(xué)者的研究都帶有一定的局限性，理論推導(dǎo)需要簡(jiǎn)化模型，而物模試驗(yàn)又受限于比尺效應(yīng)，致使提出的公式只能應(yīng)用在一個(gè)限定的范圍內(nèi)。近年來，隨著人工智能技術(shù)，如遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和基因表達(dá)式編程(gene expression programming, 簡(jiǎn)稱GEP)算法等被引進(jìn)海洋工程，極大地促進(jìn)了這些學(xué)科的發(fā)展。Deo和Jagdale[11]，Jain和Deo[12]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來模擬波浪的傳播；Robertson等[13]將GEP算法運(yùn)用到波浪破碎問題中，解決了近海波浪破碎條件難以精準(zhǔn)預(yù)測(cè)的問題；Ebtehaj和Bonakdari[14]采用GEP算法模擬泥沙運(yùn)輸；Power等[15]利用GEP算法來預(yù)測(cè)波浪爬高，均取得了不錯(cuò)的進(jìn)展。

針對(duì)傳統(tǒng)研究方法較難準(zhǔn)確預(yù)測(cè)波浪透射的問題，采用GEP算法預(yù)測(cè)規(guī)則波作用下不越浪防波堤的波浪透射系數(shù)，研究GEP算法預(yù)測(cè)精度隨訓(xùn)練組數(shù)變化的規(guī)律，比較GEP算法與各家經(jīng)驗(yàn)公式的優(yōu)劣，并通過對(duì)各影響變量進(jìn)行敏感性分析，確定影響波浪透射的最顯著因素。

1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)是GEP算法運(yùn)行的基礎(chǔ)，精準(zhǔn)評(píng)估各家透浪系數(shù)計(jì)算公式也要更多詳細(xì)數(shù)據(jù)的支撐。開展的物理模型試驗(yàn)在水槽中進(jìn)行，水槽尺寸為90 m×0.5 m×1.0 m(長(zhǎng)×寬×高)。試驗(yàn)采用規(guī)則波，試驗(yàn)布置如圖1所示。入射波是由水槽前端推板式造波機(jī)生成，水槽末端設(shè)置斜坡式消浪板進(jìn)行消浪，有效減小波浪反射的影響。波高是通過布置在防波堤前后的四根浪高儀來采集，浪高儀采用DJ800,采集頻率為50 Hz。防波堤坡度為1∶1.5，護(hù)面型式采用單層扭王字塊，單個(gè)扭王重370 g，堤心石采用有棱碎石，粒徑變化范圍為0.008～0.032 m。

此外，為了提高GEP算法的預(yù)測(cè)能力和評(píng)估各家公式的精準(zhǔn)度，本次研究還收集了前人的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，形成一個(gè)龐大的透浪試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫，共計(jì)567組，代表了各種波浪條件(0.002 m≤H≤0.24 m，0.71 s≤T≤7 s)。試驗(yàn)水深的變化范圍是0.2 m≤d≤0.5 m，涵蓋實(shí)驗(yàn)室水槽大部分水深情況。靜水面堤寬是影響波浪透射的重要因素，堤寬最小只有0.08 m，最寬達(dá)到1.7 m。堤身中值粒徑的變化范圍0.013 m≤D50≤0.055 m。表1為文中用到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

2 研究方法與內(nèi)容

2.1 算法介紹

圖2 GEP染色體和表達(dá)式樹

基因表達(dá)式編程(GEP)算法是由Ferreira于2001年在遺傳算法和遺傳編程的基礎(chǔ)上提出來的，它既有遺傳算法“定長(zhǎng)線性串”的簡(jiǎn)單特性，也有遺傳編程“動(dòng)態(tài)樹結(jié)構(gòu)”的搜索能力[20]，是一種基于生物基因結(jié)構(gòu)和功能發(fā)明的新型自適應(yīng)演化算法。GEP算法通過模擬生物遺傳進(jìn)化采用概率化的尋優(yōu)方法，自適應(yīng)調(diào)整搜索方向，極大地加快了收斂速度。如圖2所示，GEP算法借鑒了生物學(xué)的開放讀碼框架(ORF)概念，并且采用表達(dá)式樹(ET)來進(jìn)行解碼，相較于其他遺傳算法，簡(jiǎn)化了算法編碼，提升了計(jì)算效率。

GEP算法的進(jìn)化流程：首先隨機(jī)給出一個(gè)初始化種群，然后通過ET來表達(dá)染色體，接著確定這個(gè)種群是否滿足預(yù)設(shè)的終止條件，終止條件一般選擇最大進(jìn)化代數(shù)或計(jì)算精度。如果滿足，保留最優(yōu)個(gè)體輸出。如果不滿足，則需要對(duì)這個(gè)種群采用一系列的遺傳操作算法，如變異、倒串、基因重組等等，形成一個(gè)新的種群，再接著上一輪的操作，直到滿足終止條件為止。

2.2 波浪透射預(yù)測(cè)的GEP算法

2.2.1 輸入變量

根據(jù)前人研究成果[6-10],入射波高(H)、波周期(T)、水深(d)、靜水面堤寬(B)和堤心石中值粒徑(D50)對(duì)于波浪透射影響較大。結(jié)合影響波浪透射的兩個(gè)方面：波浪特性和防波堤結(jié)構(gòu)，對(duì)各影響變量進(jìn)行無量綱化，考慮深水波陡(H/gT2)、相對(duì)波高(H/d)、相對(duì)堤寬(B/D50)和相對(duì)水深(d/L)對(duì)波浪透射的影響，設(shè)置了6組變量組合。比較不同組合情況下GEP算法對(duì)波浪透射的預(yù)測(cè)能力，確定最優(yōu)組合，建立透浪系數(shù)表達(dá)式。表2是本次研究的GEP算法參數(shù)設(shè)置。

采用以下幾個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)：均方根誤差(RMSE)、標(biāo)準(zhǔn)均方差(NMSE)、決定系數(shù)(R2)和平均預(yù)測(cè)誤差(BIAS)。它們的計(jì)算如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

RMSE和NMSE越小代表預(yù)測(cè)值越精確，R2越接近1表示預(yù)測(cè)效果越好，當(dāng)BIAS為正數(shù)時(shí)表示預(yù)測(cè)值大于試驗(yàn)值，BIAS為負(fù)數(shù)時(shí)表示預(yù)測(cè)值小于試驗(yàn)值。

表2 GEP算法參數(shù)設(shè)置

2.2.2 輸入樣本數(shù)量

為了探究GEP算法的預(yù)測(cè)精度與輸入樣本數(shù)量之間的關(guān)系，將數(shù)據(jù)分成訓(xùn)練組和驗(yàn)證組，訓(xùn)練組中的數(shù)據(jù)以50組為間隔逐漸增加，驗(yàn)證組的數(shù)據(jù)用于比較不同組次對(duì)波浪透射的預(yù)測(cè)效果。定量評(píng)估不同組次的預(yù)測(cè)精度，除了式(2)～(5)幾個(gè)指標(biāo)外，定義了“精度區(qū)間”，即預(yù)測(cè)理想值±2倍均方根誤差。為了方便統(tǒng)計(jì)，此處的均方根誤差采用統(tǒng)一值，即不同組次中均方根誤差的平均值。

2.3 透浪系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式

本次研究選取了兩家不越浪防波堤透浪系數(shù)計(jì)算公式，用于對(duì)比分析GEP算法的預(yù)測(cè)能力。

2.3.1 Madsen公式

Madsen[6]假定水頭損失與速度為線性，堤內(nèi)是完全紊流狀態(tài)，利用線性波理論推導(dǎo)出波浪在堤內(nèi)衰減狀況，公式如下：

(6)

式中：Kt為透浪系數(shù)，H為入射波高，B為堤身寬度，d為水深，β為恩格隆摩擦系數(shù)，

(7)

式中：n為孔隙率，D50為名義中值粒徑。

2.3.2 Stephenson公式

Stephenson[7]認(rèn)為水流處在阻力平方區(qū)，水頭損失與速度平方成正比，通過理論推導(dǎo)并簡(jiǎn)化，得到防波堤透浪系數(shù)計(jì)算公式：

(8)

式中：μ為阻力系數(shù)，一般是雷諾數(shù)和石頭形狀系數(shù)。Stephenson根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果歸納出μ的計(jì)算式：

(9)

式中：Re為雷諾數(shù)，μt為形狀系數(shù)，光滑球狀塊石μt=1，半圓礫石μt=2，有棱碎石μt=3。

3 結(jié)果分析與討論

3.1 最優(yōu)輸入變量組合

隨機(jī)地選擇80%的數(shù)據(jù)(454組)用于訓(xùn)練，剩余20%的數(shù)據(jù)(113組)用于驗(yàn)證，考慮深水波陡(H/gT2)、相對(duì)波高(H/d)、相對(duì)堤寬(B/D50)和相對(duì)水深(d/L)對(duì)波浪透射的影響。表3給出了不同方案的GEP算法對(duì)波浪透射預(yù)測(cè)效果的評(píng)價(jià)結(jié)果。方案4沒有考慮相對(duì)堤寬的影響，相對(duì)于其他方案預(yù)測(cè)精度較低，表明相對(duì)堤寬對(duì)于波浪透射影響較為顯著。方案6考慮了4個(gè)變量的影響，但是預(yù)測(cè)精度仍不及方案1、2、3和5。方案3中驗(yàn)證組的表現(xiàn)優(yōu)于其余方案，在未知試驗(yàn)條件下預(yù)測(cè)精度最高，因此確定方案3作為GEP算法的最優(yōu)輸入組合，建立的透浪系數(shù)計(jì)算公式：

(10)

3.2 輸入樣本數(shù)量對(duì)GEP算法預(yù)測(cè)精度的影響

選擇67組不同試驗(yàn)條件下的透浪數(shù)據(jù)來驗(yàn)證輸入樣本數(shù)量的變化對(duì)GEP算法預(yù)測(cè)精度的影響，結(jié)果如圖3所示。可以看出，當(dāng)訓(xùn)練組數(shù)較少時(shí)，GEP算法的預(yù)測(cè)精度不高，大部分?jǐn)?shù)據(jù)處在“精度區(qū)間”外，且預(yù)測(cè)的精度隨著訓(xùn)練組數(shù)的增加而提高。當(dāng)訓(xùn)練組數(shù)達(dá)到300組時(shí)，僅有少量數(shù)據(jù)處在“精度區(qū)間”外，說明此時(shí)GEP算法已具備較高的預(yù)測(cè)精度。隨著訓(xùn)練組數(shù)的繼續(xù)增加，GEP算法的預(yù)測(cè)精度提升不大，精度逐漸趨于平穩(wěn)。表4總結(jié)了不同訓(xùn)練組數(shù)情況下驗(yàn)證組數(shù)據(jù)的RMSE、R2和落入“精度區(qū)間”占比。不難看出，RMSE和R2的變化也呈現(xiàn)上述規(guī)律。

圖3 不同訓(xùn)練組數(shù)的GEP算法對(duì)波浪透射的預(yù)測(cè)效果

表4 不同訓(xùn)練組數(shù)的GEP算法對(duì)波浪透射預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

3.3 兩家經(jīng)驗(yàn)公式和GEP算法的預(yù)測(cè)透浪效果比較

將GEP算法與兩家經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)波浪透射的預(yù)測(cè)效果作比較，圖4和表5分別從定性和定量上給出了結(jié)果。從圖4中可以明顯看出，無論是訓(xùn)練組還是驗(yàn)證組，GEP算法對(duì)于透浪的預(yù)測(cè)精度大大高于兩家經(jīng)驗(yàn)公式。整體上Madsen公式的表現(xiàn)要優(yōu)于Stephenson公式，但是Madsen公式在推導(dǎo)過程中沒有考慮波浪周期的影響，致使公式在周期較小的情況下預(yù)測(cè)結(jié)果偏差較大。Stephenson公式的預(yù)測(cè)值一般比試驗(yàn)值大3～4倍，主要原因是公式在推導(dǎo)過程中將液體質(zhì)點(diǎn)軌跡假設(shè)為圓形，但是實(shí)際防波堤多建于淺海，液體軌跡已經(jīng)近似橢圓。由表5可知，GEP算法的所有評(píng)價(jià)指標(biāo)相比以上兩家經(jīng)驗(yàn)公式均達(dá)到了最小值，其中驗(yàn)證組的RMSE、NMSE和BIAS分別是0.073、0.061和-0.007，R2高達(dá)0.858，預(yù)測(cè)結(jié)果較好。

圖4 透浪試驗(yàn)值和各家經(jīng)驗(yàn)公式及GEP算法預(yù)測(cè)值的比較

表5 各家經(jīng)驗(yàn)公式與GEP算法對(duì)波浪透射預(yù)測(cè)效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)

圖5 透浪系數(shù)隨深水波陡和相對(duì)堤寬的變化趨勢(shì)

考慮深水波陡和相對(duì)堤寬對(duì)波浪透射的影響，繪制透浪系數(shù)隨二者變化的三維圖，如圖5所示。圖上散點(diǎn)是試驗(yàn)值，曲面是GEP算法預(yù)測(cè)值。由圖可知，GEP算法預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值吻合良好。當(dāng)H/gT2和B/D50較小時(shí)，Kt隨二者的增大而急劇減小，隨著H/gT2和B/D50的不斷增大，Kt的減小速度逐漸變緩。

3.4 敏感性分析

為了確定各輸入變量對(duì)波浪透射的影響程度，對(duì)每個(gè)變量進(jìn)行敏感性分析。敏感性分析采用偏導(dǎo)數(shù)靈敏度分析法[21]，利用GEP算法得到的透浪系數(shù)顯式表達(dá)式，對(duì)各個(gè)變量求偏導(dǎo)，然后計(jì)算每一個(gè)變量對(duì)應(yīng)的值。當(dāng)縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，表明透浪系數(shù)隨變量的增大而減小，二者呈負(fù)相關(guān)；當(dāng)縱坐標(biāo)為正時(shí)，則相反，結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看出三個(gè)輸入變量中深水波陡是影響波浪透射的最主要因素。透浪系數(shù)與深水波陡、相對(duì)堤寬和相對(duì)水深均呈負(fù)相關(guān)，即透浪系數(shù)隨著三者的增大而逐漸減小。三個(gè)輸入變量對(duì)透浪系數(shù)的影響均呈對(duì)數(shù)分布，表明變量數(shù)值越小波浪透射受其影響程度越大。

圖6 輸入變量敏感性分析

4 結(jié) 語

針對(duì)規(guī)則波作用下不越浪防波堤的波浪透射問題，基于567組透浪試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用GEP算法預(yù)測(cè)波浪透射系數(shù)，確定了GEP算法的最優(yōu)輸入變量組合并建立了透浪系數(shù)顯式表達(dá)式，研究了GEP算法預(yù)測(cè)精度的變化規(guī)律，主要結(jié)論如下：

1) 深水波陡、相對(duì)堤寬和相對(duì)波高是GEP算法預(yù)測(cè)波浪透射系數(shù)的最優(yōu)輸入變量組合。

2) 當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)較少時(shí)，GEP算法對(duì)波浪透射的預(yù)測(cè)精度不高，且預(yù)測(cè)精度隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)的增加而提高。當(dāng)訓(xùn)練組數(shù)達(dá)到300組時(shí)，GEP算法已具備較高的預(yù)測(cè)精度，隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)的繼續(xù)增加，預(yù)測(cè)精度提升不大。因此，后續(xù)的透浪研究工作者可以通過收集前人已做的300組試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，可避免重復(fù)性的物理試驗(yàn)。

3) GEP算法對(duì)波浪透射的預(yù)測(cè)精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于前人的經(jīng)驗(yàn)公式，驗(yàn)證組的RMSE、NMSE和BIAS分別是0.073、0.061和-0.007，R2高達(dá)0.858。GEP算法的敏感性分析結(jié)果表明，透浪系數(shù)隨著深水波陡、相對(duì)堤寬和相對(duì)水深的增加而減小，深水波陡相較于另外兩個(gè)輸入變量影響波浪透射效果更為顯著。