高壓油管的壓力控制

郭士康 沈家輝

摘要：高壓油管是高壓油路的組成部分，油管要能承受一定的油壓而有一定的疲勞強(qiáng)度，保證管路的密封要求。車用高壓油管主要出現(xiàn)在高壓噴射的柴油機(jī)和高壓噴射的直噴汽油機(jī)中，能承受發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中所需的油壓。本論述主要結(jié)合2019年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題，在高壓燃油系統(tǒng)中，將燃油視作均質(zhì)流體運(yùn)用流體力學(xué)、阿伏伽德羅定律和伯努利方程，建立數(shù)學(xué)模型，研究單向閥、高壓油泵以及凸輪等部件對(duì)燃油進(jìn)入和噴出的間歇性T作過(guò)程、高壓油管內(nèi)壓力變化、發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率等方面的影響。

關(guān)鍵詞：阿伏伽德羅定律;伯努利方程;流體力學(xué);數(shù)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：TK421+.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1概述

高壓油管是高壓油路中的重要組成部分，隨著我國(guó)機(jī)械工業(yè)的快速發(fā)展，高壓油管被應(yīng)用于各個(gè)行業(yè)之中，其工作效率和優(yōu)越的性能得到了極大的認(rèn)可[1]。其用途十分廣泛，如用于汽車、柴油機(jī)、挖掘機(jī)等。這決定了高壓油管品種的多樣性和復(fù)雜性，進(jìn)而要求高壓油管具備高質(zhì)量和高性能。研究高壓油管對(duì)提高發(fā)動(dòng)機(jī)效率、推進(jìn)機(jī)械工業(yè)及其他產(chǎn)業(yè)的發(fā)展具有重大意義。

2模型建立與求解

2.1問(wèn)題一模型的建立與求解

問(wèn)題（1）：高壓油泵在入口處提供的壓力恒為160MPa，高壓油管內(nèi)的初始?jí)毫?00MPa。如果要將高壓油管內(nèi)的壓力盡可能穩(wěn)定在100MPa左右，如何設(shè)置單向閥每次開啟的時(shí)長(zhǎng)？如果要將高壓油管內(nèi)的壓力從100MPa增加到150MPa，且分別經(jīng)過(guò)約2s、Ss和10s的調(diào)整過(guò)程后穩(wěn)定在150MPa，單向閥開啟的時(shí)長(zhǎng)應(yīng)如何調(diào)整？

問(wèn)題（2）：在實(shí)際工作過(guò)程中，高壓油管的燃油來(lái)自高壓油泵的柱塞腔出口，噴油由噴油嘴的針閥控制。凸輪驅(qū)動(dòng)柱塞上下運(yùn)動(dòng)，柱塞向上運(yùn)動(dòng)時(shí)壓縮柱塞腔內(nèi)的燃油，當(dāng)柱塞腔內(nèi)的壓力大于高壓油管內(nèi)的壓力時(shí)，柱塞腔與高壓油管連接的單向閥開啟，燃油進(jìn)入高壓油管內(nèi)。針閥升程為0時(shí)，針閥關(guān)閉;針閥升程大于0時(shí)，針閥開啟，燃油向噴孔流動(dòng)，通過(guò)噴孔噴出。在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，確定凸輪的角速度，使得高壓油管內(nèi)的壓力盡量穩(wěn)定在100MPa左右。

問(wèn)題（3）：在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)噴油嘴，每個(gè)噴嘴噴油規(guī)律相同，噴油和供油策略應(yīng)如何調(diào)整？為了更有效地控制高壓油管的壓力，現(xiàn)計(jì)劃在D處安裝一個(gè)單向減壓閥。單向減壓閥打開后高壓油管內(nèi)的燃油可以在壓力下回流到外部低壓油路巾，從而使得高壓油管內(nèi)燃油的壓力減小。請(qǐng)給出高壓油泵和減壓閥的控制方案。

2.2問(wèn)題一模型的建立與求解

溫度、溶解度與黏性條件如下：

分子間熱運(yùn)動(dòng)加劇，會(huì)導(dǎo)致高壓油管的溫度上升。溫度驟然發(fā)生變化時(shí)，容易導(dǎo)致油管壁的材料、形狀等發(fā)生變化，從而使得問(wèn)題無(wú)法求解。故在進(jìn)油與出油過(guò)程中，將高壓油管內(nèi)視為恒高溫狀態(tài)，油管的一系列參數(shù)都可近似等效為不變。由于在高溫條件下，液體對(duì)氣體的溶解度大大降低。為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，將燃油對(duì)管內(nèi)氣體A的溶解度視為0。

自然界中的實(shí)際流體都具有粘性，所以實(shí)際流體又稱粘性流體，是指流體質(zhì)點(diǎn)間可流層間因相對(duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生摩擦力而反抗相對(duì)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。對(duì)于一定的液體，內(nèi)摩擦力F與兩流體層的速度差△u成正比，與兩層之間的垂直距離△v成反比，與兩層間的接觸面積S成正比，即：

F=u△u/△y·s

（1）

根據(jù)阿伏伽德羅定律定律p·v=n·R·T，同溫，同物質(zhì)量的情況下，V越大，P越小。

由題意可得，問(wèn)題一中的隱藏條件為：針閥以100ms為一個(gè)工作周期，1s內(nèi)工作10次。每個(gè)工作周期包含實(shí)際工作時(shí)間2.4ms和虛擬工作時(shí)間97.6ms。根據(jù)這個(gè)隱藏條件，我們可以得出：在一定時(shí)間內(nèi)，進(jìn)油量等于出油量時(shí)，高壓油管內(nèi)的壓力才能近似保持為100MPa[2]。

而為了使管內(nèi)壓強(qiáng)在2s、5s、10s內(nèi)迅速上升到150MPa，就必須在管內(nèi)積累一定量的燃油，才能使管內(nèi)壓強(qiáng)上升。并在2s、5s、10s之后，再調(diào)整進(jìn)油口的速率，穩(wěn)定管內(nèi)壓力為150MPa。

根據(jù)題中已知條件，可得高壓油管最大容量，A口單位時(shí)間內(nèi)的進(jìn)油速率由以下方程組可得：

QA=C×A×√2△P/ρ

A=pj×（dA/2）^2

△P=160-100

ρ150MPa=ρ100MPa+ρ×△P/E

（2）

B口在一個(gè)周期100ms內(nèi)的出油量，由圖1可知：

得到在100 ms內(nèi)YB為44mm3。

然而單向閥開關(guān)控制供油時(shí)間的長(zhǎng)短，單向閥每打開一次就需要關(guān)閉10ms。為了穩(wěn)定高壓油管內(nèi)的壓力為100MPa，假定在以100ms為一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，進(jìn)油量與出油量需近似相等，即Y進(jìn)=Y出=44，設(shè)N為在單位時(shí)間內(nèi)，單向閥的關(guān)閉次數(shù)，則可以得到以下平衡式：

Y進(jìn)=Y出

（t+10）*N=100

Y進(jìn)=15.34*t*N

Y出=44

（3）

可求得單向閥供油時(shí)間。

將高壓油管內(nèi)的壓力從100 MPa分別在2s、5s、10s內(nèi)增加到150MPa，隨后穩(wěn)定在150MPa。

可以分兩個(gè)步驟解決這個(gè)問(wèn)題：

（1）從0到n秒進(jìn)油速率大于出油速率，使高壓油管內(nèi)的壓力從100MPa達(dá)到150MPa;

（2）在n秒后，進(jìn)油速率等于出油速率，高壓油管內(nèi)的壓力不再變化。

建立數(shù)學(xué)模型找出壓力與時(shí)間的關(guān)系如圖2所示。

為了使高壓油管的壓力在給定時(shí)間內(nèi)從100MPa上升到150MPa，并穩(wěn)定下來(lái)。需要在第一階段使管內(nèi)壓力增加，燃油在管內(nèi)堆積，由阿伏伽德羅定律可得：

V管×P100MPa=（V管-V燃油）×P150MPa

Y進(jìn)=44×（2000/100）

Y進(jìn)=15.34×t×N

（t+10）×N=2000

V燃油=Y進(jìn)-Y出

（4）

根據(jù)此方程組可解得不同條件第一階段單向閥每次開啟時(shí)間t1。

根據(jù)QA=C×A×√2△P/ρQA計(jì)算A口的流量Q1變動(dòng)之后的值。

第二階段為了將管內(nèi)壓強(qiáng)穩(wěn)定在150MPa，在以100ms為一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，需使進(jìn)油量近似等于出油量，將已知條件代入方程組（3），即可得到不同條件下第二階段單向閥開啟時(shí)間t2。

2.3問(wèn)題二模型的建立與求解

凸輪驅(qū)動(dòng)柱塞上下運(yùn)動(dòng)，凸輪邊緣曲線與角度的關(guān)系恒定，建立數(shù)學(xué)模型，將凸輪極徑與活塞高度擬合，如圖3所示。

需要從圖中確定一個(gè)壓力值最早達(dá)到100MPa的點(diǎn)。當(dāng)柱塞腔內(nèi)的壓力大于高壓油管內(nèi)的壓力時(shí)，柱塞腔內(nèi)的燃油將被擠到高壓油管內(nèi)。

通過(guò)一個(gè)噴油周期內(nèi)針閥升程與時(shí)間之間的關(guān)系，模擬出圖4[4]。

由于針閥升程的變化，使得實(shí)際的噴孔面積發(fā)生變化。在通過(guò)流出高壓油管的流量QB=C×A×√2△P/ρ算出高度△h與噴油速率之間的關(guān)系。

為了讓高壓油管的壓力穩(wěn)定在100MPa，需滿足在固定時(shí)間段內(nèi)，進(jìn)油量等于出油量，使凸輪的ω與不同大小的流量速率相擬合。

從題中：柱塞運(yùn)動(dòng)到上止點(diǎn)時(shí)，殘余容積為20mm3，可知：上止點(diǎn)高度h1為1.019mm。而到下止點(diǎn)時(shí)，低壓燃油充滿柱塞腔的壓力為0.5MPa，可知：下止點(diǎn)高度h2為5.845mm。

由于柱塞向上運(yùn)動(dòng)時(shí)壓縮柱塞腔內(nèi)的燃油，高壓油管內(nèi)的壓力為100MPa，當(dāng)柱塞腔內(nèi)的壓力大于高壓油管內(nèi)的壓力時(shí)，柱塞腔與高壓油管連接的單向閥開啟。由阿伏伽德羅定律可知：當(dāng)柱塞腔內(nèi)的壓力從0.5MPa上升到100MPa時(shí)，體積減小了V1，如下式：

V=pi×（d柱塞/2）^2xh2

P0.5MPa×V=P100MPa×（V-Vi）

解得V1=94.758mm3，h=4.826mm。

分析得到凸輪的角速度是影響高壓油泵供油速度的直接因素，凸輪角速度不變，根據(jù)凸輪邊緣曲線與角度的關(guān)系、上止點(diǎn)時(shí)柱塞腔殘余容積以及柱塞腔直徑，可以計(jì)算出高壓油泵柱塞腔上止點(diǎn)和下止點(diǎn)的高度分別為h1=1.02mm，h2=5.846mm。

對(duì)于重力場(chǎng)中不可壓縮均質(zhì)流體，利用流體力學(xué)的伯努利方程[3]：

P+ρ×g×h+1/×ρ×v2=C

P1+ρ×g×h1+1/2×ρ×v2=P2+ρ×g×h2+1/2×ρ×v22

（5）

聯(lián)立解得燃油作為流體的速度v。

為了使高壓油管的壓力穩(wěn)定在100MPa左右，要進(jìn)、出油大致平衡，構(gòu)建一個(gè)出油處噴油嘴的出油口面積S和針閥升程h的數(shù)學(xué)模型：

S=0.0785h2+1.24h

（6）

通過(guò)注2，高壓油管出油量Q=CA√2△P/ρ，

Q=0.85x（0.0785h2+1.24）x√199.8/0.85≈1.02h2+16.16h

利用割補(bǔ)法可近似求出2.45s內(nèi)的出油量：72.8mm3;即相等時(shí)間的進(jìn)油量，通過(guò)進(jìn)油量即可求出：

ω=v/r≈0.31rad/ms。

2.4問(wèn)題三模型的建立與求解

在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)噴油嘴，每個(gè)噴油嘴的噴油規(guī)律相同，即相同時(shí)間內(nèi)的噴油量是相同的。建立出此時(shí)關(guān)于高壓油管內(nèi)的壓力與時(shí)間的關(guān)系模型如圖5所示。

在此，通過(guò)角速度ω的不同可將進(jìn)油速率分為三個(gè)階段：

（1）ω≤ω0：根據(jù)噴油嘴C距A口比噴油嘴B近，假設(shè)從A口的進(jìn)油量全部由噴油嘴C進(jìn)行排出，噴油嘴B不工作;

（2）ω1>ω>ω0：此時(shí)A口的進(jìn)油量遠(yuǎn)大于噴油嘴C所能排出的量，噴油嘴B開始工作。噴油嘴B、C同時(shí)工作能夠及時(shí)排出完來(lái)自于A口的進(jìn)油量;

（3）ω>ω1：這時(shí)候，噴油嘴B和C同時(shí)工作仍然不能及時(shí)排出來(lái)自于A口的進(jìn)油量。每處作一段時(shí)間，就會(huì)在管內(nèi)積壓一定量的燃油。高壓油泵長(zhǎng)時(shí)間工作會(huì)導(dǎo)致管內(nèi)的積油量逐漸上升，直到燃油充滿油管。

在管內(nèi)安裝一個(gè)單向減壓閥，打開后高壓油管內(nèi)的燃油可以在壓力下回流到外部低壓油路中，從而使得高壓油管內(nèi)燃油的壓力減小。這種方式可以很大程度上減小當(dāng)ω>ω1，時(shí)管內(nèi)積累燃油的風(fēng)險(xiǎn)。

為了使噴油嘴的使用效率最大化，A口的進(jìn)油速率應(yīng)該滿足：讓噴油嘴B和C都ω作，但最大值不應(yīng)該超過(guò)兩個(gè)噴油嘴在100ms內(nèi)的最大排油量。為簡(jiǎn)化計(jì)算，將兩個(gè)噴油嘴同時(shí)工作近似等效為一個(gè)噴油嘴工作。高壓油管出油量Q0=2×CA√2△P/ρ

Q=2×0.85×（0.0785h2+1.24）×√199.8/0.85≈2.04h2+32.32h

利用割補(bǔ)法可近似求出2.45s內(nèi)的出油量：145.6mm3;即相等時(shí)間的進(jìn)油量，通過(guò)進(jìn)油量即可求出：

ω1=v/r≈0.62（rad/ms）

即：將進(jìn)油速率轉(zhuǎn)化為凸輪的角速度ω，應(yīng)滿足：

0.62>ω>0.31（rad/ms）

此后，在D處增加了一個(gè)單向減壓閥。為保證高壓油管長(zhǎng)期工作的安全性，對(duì)單向減壓閥設(shè)定了一個(gè)參考?jí)毫χ担?/p>

P減壓=125MPa

由于進(jìn)油速率過(guò)快，管內(nèi)積攢燃油后，當(dāng)管內(nèi)壓力大于125MPa時(shí)，單向減壓閥開啟，管內(nèi)燃油在壓力下回流到外部低壓油路中。單向減壓閥的出油速率Q低壓通過(guò)以下模型計(jì)算：

Q低壓=CA√2△P/ρ

△P/△ρ=E/p

（7）

解得：Q低壓≈22.265mm3/ms。

3模型的評(píng)價(jià)與推廣

本論述通過(guò)對(duì)高壓油管中各物理量的處理，找出了許多變量之間的潛在關(guān)系。并能與實(shí)際緊密聯(lián)系，結(jié)合實(shí)際情況對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，使得模型具有很好的通用性和推廣性。但是查閱文獻(xiàn)[5]得知溫度對(duì)阿伏伽德羅定律是有影響的，而且燃油作為液體，會(huì)與高壓油管壁產(chǎn)生摩擦力，為了模型的簡(jiǎn)便，本論述未考慮溫度和摩擦力的影響。本數(shù)學(xué)模型建模方便，計(jì)算簡(jiǎn)單，便于理解，可操作性強(qiáng)，準(zhǔn)確性高，不僅能解決題目中的問(wèn)題，還可以推廣到現(xiàn)實(shí)生活中去，用于各種管道的設(shè)計(jì)與控制問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

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[2]李玉婷.柴油機(jī)高壓油管密封性能分析[D].北京：北京理工大學(xué)，2015.

[3]嚴(yán)導(dǎo)淦.流體力學(xué)中的總流伯努利方程[J].物理與工程，2014，24（4）：47-53.

[4]蔡梨萍.基于MATLAB的柴油機(jī)高壓噴油過(guò)程的模擬計(jì)算[D].武漢：華中科技大學(xué)，2005.

[5]張艷燕，劉娟，馬曉棟.理想氣體狀態(tài)方程推導(dǎo)中的幾個(gè)問(wèn)題[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，29（4）：70-71.

收稿日期：2020-05-25

作者簡(jiǎn)介：郭士康（1999-），男，漢族，河南商丘人，大學(xué)本科在讀，主要研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。