蒙特卡洛法在燃油消耗量測量不確定度評定中的應用研究

張紅燭 徐明輝

寧波梅山卡達克汽車檢測有限公司 浙江 寧波 315000

引言

測量不確定度評定領域中的主要文件是ISO/IEC GUIDE 98-3:2008《測量不確定度第3部分：測量不確定度表示指南（GUM:1995）》。依據GUM，我國發(fā)布了JJF 1059.1-2012《測量不確定度評定與表示》。

GUM采用的是一個輸入輸出模型，即輸入量是輸出量的函數。對此，GUM提供了一個實施不確定度評定的程序，即GUM法。但是為了有效應用GUM法需滿足以下三個條件：

（1）數學模型的非線性不顯著；

（2）中心極限定理適用，即輸出量的PDF由高斯分布或t分布表示；

（3）韋爾奇-薩特思韋公式（Welch-Satterthwaite equation）足夠用來計算有效自由度。應用韋爾奇-薩特思韋公式要求假定輸入量相互獨立。

在實際應用當中，在不滿足或不知道這些條件是否滿足時采用GUM法，產生的結果只能視為一個近似值。

當條件不能完全滿足時，JJF 1059.1建議“可采用一些近似或者假設的方法處理，或者采用蒙特卡洛法（簡稱MCM）評定不確定度……”。

ISO/IEC GUIDE 98-3/Suppl.1:2008《測量不確定度第3部分：測量不確定度表示指南（GUM:1995）附件1：用蒙特卡洛方法傳播概率分布》（以下簡稱GUM附件1）是建立在“分布傳播”概念上。該方法直接使用設定給輸入量的PDF,而不是只使用分布的期望和標準偏差，然后通過測量模型，獲得被測量，即輸出量的PDF。GUM附件1推薦使用蒙特卡洛法來實現這個目的。基于GUM附件1，我國發(fā)布了JJF 1059.2-2012《用蒙特卡洛法評定測量不確定度》。

蒙特卡洛法（MCM）又稱統(tǒng)計模擬法、隨機抽樣技術，是使用隨機數來解決問題的一種方法。其基本方法是通過建立模型并對模型抽樣試驗來計算該事件發(fā)生的概率和隨機變量的數學期望。此外，該方法也適用于驗證應用GUM不確定度框架的返回的結果，以及在某些情況下GUM不確定度框架所作的假設可能不適用時。

1 基于MCM的測量不確定度的評定步驟

1.1 單批次MCM評定測量不確定度的步驟

（1）建立數學模型；

（2）定義輸出量Y，即被測量；

（3）確定Y所依賴的輸入量X1，X2…XN；

（4）建立Y和X1，X2…XN的數學關系模型Y=f（X1，X2…XN）；

（5）利用可獲信息，為輸入量Xi設定概率密度函數PDFgxi(ξi)，如正態(tài)分布、均勻分布等；

（6）選擇蒙特卡洛試驗次數M；

（7）（N個）輸入量的PDF抽樣，產生M個矢量xr；

（8）對每個矢量xr，計算模型給出的相應輸出量的值yr=f（xr）；

（9）計算輸出量的估計值y及y的標準不確定度u(y)，分別為模型值yr的算術平均值和標準偏差，r=1…M；

（10）將這些M個模型值yr按非遞減次序排序，這些排序的模型值提供了輸出量的分布函數Gy（η）的離散表示G；

（11）應用分布函數的離散表示G計算輸出量約定包含概率下的包含區(qū)間，計算過程為y的分布函數的離散表示G，計算在給定包含概率p(0＜p＜1)時Y的包含區(qū)間[yr，yr+q]，r為1，2，…，M—q任一值；如果pM為整數，則q=pM，否則q取pM+1/2的整數部分。當求得的包含區(qū)間為y的估計值Y的對稱區(qū)間時，即為給定包含概率下的擴展不確定度。

單批次MCM評定測量不確定度過程示意見圖1。

圖1 蒙特卡洛法評定不確定度

1.2 自適應MCM法評定不確定度

為了通過MCM獲得可靠的結果，一個基本的參數是試驗次數M，樣本數越大，則仿真結果越接近真實值，不確定度u(y)的仿真結果越準確，一般認為M=106通常能夠獲得95%的包含區(qū)間。但是測量過程的隨機特性和輸出量Y的分布實際上都會影響M值得選擇。為此，對MCM的實施以自適應的方式進行，自適應MCM的原理是試驗次數不斷增加，直至所需要的不同結果達到統(tǒng)計意義上的穩(wěn)定。

自適應MCM的步驟：

（1）設ndig為適當小的正整數；

（2）設h=1，表示初次應用MCM；

（3）按單次蒙特卡洛的方法執(zhí)行M次蒙特卡洛試驗，并得到M個模型值y1，y2…ym計算y(h)，u(y(h))，他們分別為Y的估計值，標準不確定度，概率p的包含區(qū)間的左、右端點；

（4）如果h=1，h加1，繼續(xù)步驟3）；

（5）計算Y的估計值y(1)，y(2)…y(h)的平均值的標準偏差sy，以相同方式計算u(y(1))，u(y(2))，…，u(y(h))的平均值的標準偏差su(y)，的平均值的標準偏差及的平均值的標準偏差；

（6）如果2sy，2su(y)，中的任何一個大于數值容差δ，則h加1返回步驟3），否則證明計算已經穩(wěn)定，利用h×M個模型計算出y，u(y)和概率p的包含區(qū)間[1]。

自適應蒙特卡洛法評定不確定度流程見圖2。

圖2 自適應蒙特卡洛法評定不確定度步驟

2 用MCM法對商用車燃油消耗量進行不確定度評定

CNAS-GL023:2018《汽車和摩托車檢測領域典型參數的測量不確定度評估指南及實例》（以下簡稱指南）提供了多個在汽摩領域不確定度評估的實例，但該指南中所有的實例都是采用GUM法作為指導，本文采用自適應MCM法對該指南中商用車輛等速燃油消耗量檢測實例（以下簡稱實例）進行不確定評估，以驗證GUM法在本實例中的有效性。本次驗證過程中對模型的建立、不確定度來源的分析、輸入量分布的假設及試驗數據等全部參考實例。

2.1 模型建立

實例測試依據的文件為《GB/T 12545.2-2001 商用車輛燃料消耗量試驗方法》（以下簡稱方法）。

試驗方法為“車輛擋位采用直接擋或直接擋和超速擋，等速行駛通過 500m檢測路段，檢測通過該路段的時間及燃料消耗量。試驗車速從20km/h(最小穩(wěn)定車速高于20km/h時，從30km/h)開始，以車速10km/h的整數倍數均勻選取車速，直至最高車速的90%，至少測定5個試驗車速。同一車速往返各進行2次[2]?！?/p>

檢測儀器、設備：

車速測定儀，經檢定合格，允差±0.5%。

燃油流量計，經檢定合格，允差±0.5%。

綜合氣象儀，經檢定合格，溫度允差±1℃，大氣壓力允差±1%。

依據方法，等速燃油消耗量的數學模型為

式中，Q——被測車輛等速燃料消耗量，L/100km。

V——被測車輛等速行駛 500m 消耗的燃油量，mL。

D——被測車輛等速行駛的距離，m。

依據測試方法，燃油消耗量的檢測值應按標準狀態(tài)進行校正，校正公式為

將模型改寫成由基本量組成形式：

依據實例，測量不確定度的來源主要包括：

（1）等速燃料消耗測量重復性；

（2）燃油流量計引入的標準不確定度；

（3）車速測定儀測量距離引入的不確定度；

（4）環(huán)境溫度校正引入的標準不確定度；

（5）大氣壓力校正引入的標準不確定度；

（6）燃料密度校正引入的不確定度。

進一步分析，車輛等速行駛500m消耗的燃油量V的誤差有兩部分組成[3]：由重復性引入的誤差和由燃油流量計引入的誤差，記重復性引入的誤差為因此模型進一步改寫為：

2.2 為輸入量設定PDF

依據實例，在同一檢測條件下，車輛等速往返行駛 5次，油耗檢測單程距離500m （環(huán)境溫度30.0℃，大氣壓力101kPa，燃料密度0.825g/ml），所得測量數據如表1所示：

表1 車輛等速燃油消耗量測量數據

表3-1中單次測量實驗標準偏差使用貝塞爾公式計算：

由于實際檢測中，規(guī)定往返重復檢測2次，以4次檢測結果的算術平均值為檢測結果，所以等速燃料消耗量檢測重復性標準偏差為：

依據實例做出的各輸入分量的PDF分布假設以及給出的誤差，各輸入量及其概率密度函數見表2：

表2 車輛等速燃油消耗量輸入量及其概率密度函數

2.3 模型計算

利用Python編寫代碼，代碼中幾個比較關鍵的點：

（1）利用Python擴展包numpy中的random.uniform函數可以生成均勻分布的隨機數數組，利用random.normal函數可以生成正態(tài)分布隨機數數組。

代碼片段：

（2）最短包含區(qū)間左右端點線_low和y_high的確定

依據JJF 1059.2中的說明，包含概率為p，試驗次數為M，設q=pM+1/2的整數部分。對M個模型值y1…yM從小到大進行排序，記為yr，r=1，2…M，Y的概率對稱包含區(qū)間為。則100p%包含區(qū)間的左、右端點分別為如需所需結果是最短包含區(qū)間[4-6]，則確定r=r*，對于每個值，使得r=1…M-q，使得

代碼片段：

（3）數值容差的計算

代碼片段：

上述代碼中，y_standard為計算出的輸出量的標準偏差，tol為數值容差，ndigit為標準不確定度的有效十進制數字的個數，一般取1或2，tol_divisor用來除數值容差，當用MCM來驗證GUM法時，tol_divisor一般取5。

（4）計算結果穩(wěn)定性的確認

在自適應蒙特卡洛法過程中，當Y的估計值y，標準不確定度u(y)，約定概率下Y的包含區(qū)間的端點ylow和yhigh以上四個值得每一個可預期滿足所需的數值容差，證明結果已經穩(wěn)定，否則應當回到前文單次蒙特卡洛的計算過程并使得計算次數加1[7]。

代碼片段：

2.4 MCM結果報告

利用編寫好的Python代碼進行計算，可以得出如下結果，見表3：

表3 MCM評定結果

3 比較分析

依照JJF 1059.2說明，對GUM法和MCM獲得的包含區(qū)間進行比較，確定由GUM及MCM獲得的包含區(qū)間在約定數值容差下是否一致。此數值容差根據包含區(qū)間的端點來評定，且與不確定度u（y）的有效十進制數字的有效數位相符合：

當dlow和dhigh不大于數值容差δ時，則GUM法通過驗證。

指南中通過GUM法給出實例的標準不確定度為0.12L/100km，取包含因子k=2，校準后的燃料消耗量為21.83L/100km。代入式（5）計算：

由上計算，可以得出dlow和dhigh小于數值容差δ，MCM法結果與GUM法結果一致，GUM法驗證通過[8-11]。

4 結束語

本文采用MCM法對實例中的商用車輛等速燃油消耗量不確定度進行評定，結果表明MCM法評定結果與GUM法評定結果一致，同時驗證了GUM法在本實例中的有效性。雖然本文MCM評定過程是針對商用車輛等速燃油消耗量檢測實例的，但是不難將本過程推廣為通用MCM不確定度評估過程以用于汽摩領域中其他檢測項目的不確定度評估。通過應用MCM法，一方面可以用于對GUM法有效性的驗證，亦可以用于當GUM法不適用或者無法確定GUM法是否適用時不確定度的評估。