數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

湯吉龍

(江蘇省泰興市第二高級中學(xué) 225400)

由于高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)與難度大幅增加，再加上課程進(jìn)度快，從而導(dǎo)致很多學(xué)生因?yàn)檫m應(yīng)不了課堂進(jìn)度和難以解題以至于六神無主、無從下手.高中數(shù)學(xué)知識較為復(fù)雜，許多知識點(diǎn)之間相互聯(lián)系，有可能因?yàn)橐徊糠譀]有學(xué)好而使得接下去的課程無法接受，致使很多學(xué)生學(xué)習(xí)效率低下，出現(xiàn)解題步驟沒有邏輯等問題.所以在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生對數(shù)學(xué)分析思想的培養(yǎng)及運(yùn)用，這樣才能提高課堂效率，達(dá)到教學(xué)有效輸出的目的.

一、數(shù)學(xué)分析思想對高中數(shù)學(xué)解題的影響

從前學(xué)生習(xí)慣了套用“解題模板”來進(jìn)行答題.而高中數(shù)學(xué)相對復(fù)雜，如果再像之前一樣依靠類型題的解題步驟進(jìn)行照葫蘆畫瓢是行不通的.唯有掌握好知識點(diǎn)，多做題，試圖從做題的過程中發(fā)現(xiàn)解題思路，在下一次遇到此類題型時(shí)能夠馬上想到這個(gè)知識點(diǎn)，活學(xué)活用，通過學(xué)生的獨(dú)立思考以及題海戰(zhàn)術(shù)將所學(xué)知識銘記于心，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析思想，這對于高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題是很重要的.另外，教師在教學(xué)過程中注重對學(xué)生數(shù)學(xué)分析思想的培養(yǎng)與教育，可以使得學(xué)生在解題過程中養(yǎng)成良好的習(xí)慣，并且具有更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，對于學(xué)生在解題過程中提高效率具有非常關(guān)鍵的作用，同時(shí)教師在進(jìn)行思想培養(yǎng)教育的過程中，其實(shí)也是對解題方法的一種優(yōu)化.因此，數(shù)學(xué)分析思想對于高中數(shù)學(xué)解題而言，不僅可以提高學(xué)生的解題能力，還能夠提高教師的教學(xué)效率及為創(chuàng)新教師的教學(xué)方式提供條件.

二、以“函數(shù)”為例介紹數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，方法繁多，思路靈活，技巧性強(qiáng).本質(zhì)上來說用函數(shù)思想解決不等式問題，就是研究相對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)、正負(fù)區(qū)間、單調(diào)性的問題，所以，通過運(yùn)用函數(shù)思想來解決這類問題，可以輕松找到解題方向，進(jìn)而提高解題效率.例如：已知不等式x2+mx+3>4x+m恒成立，同時(shí)0≤m≤4，求x的取值范圍.首先在解題之前通過對題目進(jìn)行詳細(xì)分析，我們發(fā)現(xiàn)可以將m作為自變量建立相應(yīng)的函數(shù)，即y=(x-1)m+x2-4x+3，于是不等式也就轉(zhuǎn)變成為y>0恒成立，加上題目給出的條件范圍0≤m≤4，對于x的取值范圍自然呼之欲出，再進(jìn)行解答就變得非常容易.事實(shí)上，對于這一類的題目都可以通過先轉(zhuǎn)換形式，然后根據(jù)題目條件進(jìn)行分析解題的方式，在這個(gè)過程中，教師可以讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)并非如他們想象的那么困難，只要注意掌握思想方法，所有類似的題目都可以迎刃而解.

三、通過數(shù)列公式對問題進(jìn)行分析思考

遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當(dāng)?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導(dǎo)出一般情形，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容.筆者試給出求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法策略，它們是:公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、不動(dòng)點(diǎn)法、特征根的方法.教師可以在課堂上仔細(xì)講解一下遞推關(guān)系式的特征，讓學(xué)生在解題過程中能夠辨析題目的特征并準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，進(jìn)而能夠更加迅速求出通項(xiàng)公式.

1.利用公式法求通項(xiàng)公式

公式法求解通項(xiàng)的前提條件就是學(xué)生能夠從題目當(dāng)中發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的知識點(diǎn)，然后根據(jù)這個(gè)知識點(diǎn)的具體特征來匹配相對應(yīng)的公式，進(jìn)而根據(jù)這個(gè)公式求解題目.比如我們來看這樣一道例題：已知數(shù)列{An}滿足An+1=2An+3·2n，A1=2，求數(shù)列{An}的通項(xiàng)公式.這道題應(yīng)該算是初學(xué)數(shù)列的典型例題，也是高考中位于數(shù)列題的第一小題，相對簡單，也很容易犯錯(cuò)，但是我們一旦掌握了相對應(yīng)的思想方法，我們就很容易能夠從中發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤點(diǎn)，并且在解題過程中對其進(jìn)行詳細(xì)注意，那解題錯(cuò)誤率無疑會減少很多.我們試著用數(shù)學(xué)分析思想進(jìn)行解題應(yīng)用，首先，我們要先確定這是求通項(xiàng)公式的哪一種方法，由題目可知，這道題要求我們用公式法求通項(xiàng)，確定了正確的方法以后，離成功解出這一道題目就只差一半兒了.接下來再繼續(xù)分析，本題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式An+1=2An+3·2n轉(zhuǎn)化為An+1/2(n+1)-An/2n=3/2，說明數(shù)列{An/2n}是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出An/2n=1+(n-1)·3/2，進(jìn)而求出數(shù)列{An}的通項(xiàng)公式.等把思路完全理清后，我們便可以根據(jù)我們的思考思路依次寫出步驟，并求得答案.

這樣一道題就解出來了.雖然這道題很簡單，但是在學(xué)數(shù)列過程中，如果不將最基本的題目搞清楚，明白其中的來由及思維，很難循序漸進(jìn)地攻克難題，甚至?xí)驌魧W(xué)生學(xué)習(xí)其他章節(jié)知識的自信心.而掌握了基本題目解題思維方式之后，學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力會相應(yīng)地增強(qiáng)，相信學(xué)生有足夠的信心應(yīng)對下面的題目，對于類似的題目更是游刃有余.

2.累加法求通項(xiàng)公式的分析

前面我們分析了數(shù)列的公式法，現(xiàn)在我們再來看一下累加法求通項(xiàng)公式的題目，這種方法也是需要學(xué)生在進(jìn)行解題的前期就要先進(jìn)行深入思考，能夠規(guī)劃出大體的解題步驟，然后再一步步地進(jìn)行正式解題.下面我們來看例題：已知數(shù)列{An}滿足An+1=An+2n+1，A1=1，求數(shù)列{An}的通項(xiàng)公式.第一步，我們還是一樣先引導(dǎo)學(xué)生分析題目，考慮需要用到求通項(xiàng)公式的哪一種方法才能將此題完整無誤地解答出來，或者是可以先嘗試哪種方法比較妥當(dāng).我們可以看到題目“An+2n+1”是具有一定的規(guī)律性，如果我們將它進(jìn)行累加，可以逐步得到答案，那么，我們可以確定這一題用累加法就可以求得例題的通項(xiàng)公式.第二步，我們要考察到本題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式An+1=An+2n+1轉(zhuǎn)化為An+1-An=2n+1，進(jìn)而將它們累加得出(An-An-1)+(An-1-An-2)+……+(A2-A1)+A1，即可得出數(shù)列{An}的通項(xiàng)公式.最后一步，再將題目中給出的信息進(jìn)行代入所求得的式子當(dāng)中，即可求出最終答案.

通過分析以上題目，我們可以知道，在做任何一道題的時(shí)候，做題思路往往比做題更重要，因?yàn)轭}目是永遠(yuǎn)做不完的，但是方法是萬變不離其宗，很多道題目都可能是考察同一個(gè)知識點(diǎn)的不同應(yīng)用，數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題就顯得極其重要了，一個(gè)正確的思考方向可以讓解題進(jìn)入正確的軌道，而如果拿到題目沒有預(yù)先思考，而是馬上動(dòng)筆的話，很容易出現(xiàn)連環(huán)錯(cuò)誤，高中數(shù)學(xué)注重考察學(xué)生的思考能力和嚴(yán)謹(jǐn)能力，做題不能想當(dāng)然也不能套用做題模板.具體來講，首先要確定這題考察學(xué)生什么知識，然后再分析這題應(yīng)該運(yùn)用哪種方法進(jìn)行解題，確認(rèn)完這些之后，學(xué)生方可進(jìn)行答題.總之，數(shù)學(xué)分析思想的重要性不言而喻，它可以有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力以及數(shù)學(xué)涵養(yǎng)的培養(yǎng)，對高中生而言，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備思想之一.

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，教師需要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路及方法，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自己思考，也要讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)分析思維在高中數(shù)學(xué)解題的重要性，從入門時(shí)便培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析思維，能夠大大減少錯(cuò)誤及盲目做題的方式.培養(yǎng)謹(jǐn)慎、細(xì)心的做題習(xí)慣，我相信題目再難再復(fù)雜，學(xué)生都能很好地攻克.