由數(shù)列遞推關(guān)系探究通項(xiàng)公式
———2020年全國卷Ⅲ數(shù)列題的解答

◇ 云南 周必輝

數(shù)列因規(guī)律性強(qiáng)、題型多樣、方法靈活等特點(diǎn),成為高考命題的重點(diǎn),其中給出遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式問題是有效考查考生化歸轉(zhuǎn)化能力、推理論證能力的重要題型．本文以2020年全國卷Ⅲ數(shù)列解答題為例,探究根據(jù)遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的方法．

1 考題說明

例(2020年全國卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3,an＋1＝3an－4n．

(1)計(jì)算a2,a3,猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．

數(shù)列的遞推關(guān)系在人教版教材中雖然是以選學(xué)內(nèi)容出現(xiàn),但在高考中以遞推關(guān)系為背景的命題卻屢見不鮮．本題第(1)問考查考生根據(jù)遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,所給的遞推關(guān)系類型是an＝Aan－1＋f(n)．下面對(duì)這類問題的求解方法進(jìn)行總結(jié),并應(yīng)用這些方法解答此題．

2 解法綜述

根據(jù)不同的遞推關(guān)系類型,常用的解題方法主要有如下4種．

1)疊加法

對(duì)于an－an－1＝f(n)的形式,可利用疊加法求通項(xiàng)公式,即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n)＋f(n－1)＋…＋f(2)＋a1．

2)疊乘法

3)構(gòu)造法

此方法適用的類型較多,構(gòu)造的原理是將所給的遞推關(guān)系進(jìn)行變形,將其構(gòu)造為等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式．

4)歸納法

通過觀察數(shù)列前幾項(xiàng),猜想出其通項(xiàng)公式,再進(jìn)行證明．

3 問題解答

在某些問題的求解中,往往需要綜合應(yīng)用多種方法．本題第(1)問旨在考查利用歸納法求通項(xiàng)公式,下面從多種視角進(jìn)行解法探究．

解析

方法1由a1＝3,an＋1＝3an－4n,可得a2＝3a1－4＝5,a3＝3a2－4×2＝7,a4＝3a3－4×3＝9,猜想an＝2n＋1．

證明：當(dāng)n＝1時(shí),a1＝2×1＋1＝3．設(shè)當(dāng)n＝k時(shí),ak＝2k＋1,則當(dāng)n＝k＋1時(shí),ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2(k＋1)＋1,所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1．

點(diǎn)評(píng)

應(yīng)用此方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),要準(zhǔn)確識(shí)別條件中隱含的關(guān)系,平時(shí)學(xué)習(xí)中要注意積累一些特殊的關(guān)系,如奇數(shù)、偶數(shù)、正整數(shù)的平方與立方等．

方法2將an＋1＝3an－4n兩邊同時(shí)除以3n＋1,得,即進(jìn)而由疊加法可得

兩式相減得

點(diǎn)評(píng)

本解法通過對(duì)所給遞推關(guān)系進(jìn)行變形,將其轉(zhuǎn)化為可利用疊加法求解的形式,再利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式求得結(jié)論．

方法3設(shè)bn＝an＋λ n＋μ,則an＝bn－λ n－μ,代入an＋1＝3an－4n中,得bn＋1－λ(n＋1)－μ＝3(bn－λ n－μ)－4n,即bn＋1＝3bn－ (2λ＋4)n＋λ－2μ．

點(diǎn)評(píng)

本解法是通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列bn,而由已知可求得b1＝0,所以{bn}為常數(shù)列,各項(xiàng)均為0,進(jìn)而求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

方法4由an＋1＝3an－4n,得an＋2＝3an＋1－4(n＋1),兩式相減得an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)－4．

令bn＝an＋1－an,則bn＋1＝3bn－4．

設(shè)bn＋1＋λ＝3(bn＋λ),即bn＋1＝3bn＋2λ,由2λ＝－4得λ＝－2,所以數(shù)列{bn－2}的首項(xiàng)為b1－2＝a2－a1－2＝5－3－2＝0,且知b2＝2,所以{bn}為常數(shù)列,bn＝an＋1－an＝2,即數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1．

點(diǎn)評(píng)

在得出an＋1＝pan＋q(p≠0,q≠1)的遞推關(guān)系后,可利用待定系數(shù)法,即引入?yún)?shù)λ,令an＋1＋λ＝p(an＋λ),將其展開后與原遞推關(guān)系對(duì)照,求得λ值,從而構(gòu)造{an＋λ}為等比數(shù)列．

由第(1)問知an＝2n＋1,則2nan＝(2n＋1)2n,進(jìn)而可利用“錯(cuò)位相減法”求其前n項(xiàng)和．第(2)問較為簡單,在此不再贅述．

綜上所述,給出遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式的過程其實(shí)就是轉(zhuǎn)化的過程,即將一般化特殊、將陌生化熟悉．教學(xué)中我們只學(xué)了兩類特殊的數(shù)列,即等差數(shù)列和等比數(shù)列,因此所求問題最終都要轉(zhuǎn)化為與等差或等比數(shù)列相關(guān)的問題來求解．