兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)分析

王學(xué)雷，張 賓，呂世霞，王 京

（1.北京電子科技職業(yè)學(xué)院，北京 100176；2.中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)，北京 100083）

1 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、誤差小、結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力大、動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能好等優(yōu)點(diǎn)而受到人們的青睞[1-3]。與6 自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有成本低、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制容易等優(yōu)點(diǎn)而成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究焦點(diǎn)[4-6]。

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)性能好壞直接影響其運(yùn)動(dòng)效果，如何評(píng)價(jià)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能好壞是機(jī)器人研究的重要內(nèi)容之一。為了評(píng)價(jià)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)性能好壞，研究者提出多種運(yùn)動(dòng)學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，為機(jī)器人的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了依據(jù)[7-9]，但這些指標(biāo)仍存在評(píng)價(jià)不全面、不系統(tǒng)等問(wèn)題。利用各向同性指標(biāo)對(duì)2UPS+U 并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行性能指標(biāo)分析，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的變異系數(shù)，提出了機(jī)構(gòu)全域性能波動(dòng)指標(biāo)公式，得到機(jī)構(gòu)尺寸與性能波動(dòng)指標(biāo)之間的關(guān)系圖譜，為機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)，避免了尺寸選取的盲目性。

2 兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)速度同性指標(biāo)分析

所述的兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由機(jī)座、兩個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同的SPU（球副-移動(dòng)副-虎克鉸）型驅(qū)動(dòng)分支以及一個(gè)U（虎克鉸）型約束分支構(gòu)成，可等效為2SPU+U 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖1 所示。參考文獻(xiàn)[10]對(duì)該機(jī)構(gòu)及其用途進(jìn)行了詳細(xì)介紹。

設(shè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出速度和輸入速度映射關(guān)系，如式（1）所示。

式中：Vc—輸出速度；v—輸出線(xiàn)速度；ω—輸出角速度—并聯(lián)機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)輸入速度；J∈6×n—并聯(lián)機(jī)構(gòu)速度雅可比矩陣。

將機(jī)器人線(xiàn)速度和角速度分開(kāi)單獨(dú)進(jìn)行分析。定義并聯(lián)機(jī)構(gòu)速度雅可比矩陣為 J=［JνJω］T，其中，Jν∈R3×n為機(jī)構(gòu)線(xiàn)速度雅可比矩陣，Jω∈R3×n為機(jī)構(gòu)角速度雅可比矩陣，則式（1）可寫(xiě)為如下表達(dá)式：

根據(jù)范數(shù)概念，對(duì)式（2）兩端同時(shí)取2 范數(shù)，得：

圖1 2SPU+U 并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 2SPU+U Parallel Mechanism

引入格朗日算子λν、λω，結(jié)合式（2）和式（3）可構(gòu)造如下方程式：

設(shè)機(jī)構(gòu)輸入速度為單位速度向量，即：

對(duì)式（4）求偏導(dǎo)，并結(jié)合式（5）可得機(jī)構(gòu)輸出線(xiàn)速度和角速度極值條件為：

式中：λν—矩陣的特征值；λω—矩陣的特征值，即式（6）取得極值條件為 λν和 λω分別取矩陣和的特征值。將式（6）求得的特征值 λν和 λω分別代入式（3）可得機(jī)構(gòu)輸出線(xiàn)速度和輸出角速度極值[11]，即：

在機(jī)器人工作空間內(nèi)，線(xiàn)速度和角速度向量分別構(gòu)成一個(gè)n維橢球體，研究者基于橢球短軸和長(zhǎng)軸的比值介紹了一種速度各向同性評(píng)價(jià)指標(biāo)，如式（8）所示。

該指標(biāo)描述速度橢球的扁率，K 越大，速度各向同性越好。

兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)有兩個(gè)速度輸入，因此線(xiàn)速度和角速度雅可比矩陣各有兩個(gè)奇異值，基于式（8）定義該兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)線(xiàn)速度和角速度各向同性指標(biāo)，如式（9）所示。

式中：σνmax—矩陣 Jν的最大奇異值；σνmin—矩陣 Jν的最小奇異值；σωmax—矩陣 Jω的最大奇異值；σωmin—矩陣 Jω的最小奇異值，0

根據(jù)參考文獻(xiàn)[10]運(yùn)動(dòng)學(xué)部分預(yù)選機(jī)構(gòu)參數(shù)，借助Matlab 軟件對(duì)兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)線(xiàn)速度和角速度各向同性指標(biāo)進(jìn)行擬合，得到Ktv和Ktω在工作空間的分布圖，如圖2 所示。

圖2 Ktv 和 Ktω 的分布圖Fig.2 Ktv and Ktω Distribution Diagram

從圖2 可以看出，角速度各向同性指標(biāo)較大，線(xiàn)速度各向同性指標(biāo)較小，說(shuō)明工作空間內(nèi)角速度各向同性較好，線(xiàn)速度各向同性較差，且線(xiàn)速度和角速度各向同性指標(biāo)均對(duì)稱(chēng)分布于X=0軸線(xiàn)上，在X=0 軸線(xiàn)上線(xiàn)速度性能較差，而在X=0 軸線(xiàn)兩側(cè)隨著與X=0 軸線(xiàn)的遠(yuǎn)離，線(xiàn)速度性能指標(biāo)越來(lái)越好，在X=（-21～-17.5）cm，Y=（40.5～46.5）cm 和 X=（17.5～21）cm，Y=（40.5～46.5）cm時(shí)，線(xiàn)速度性能指標(biāo)最好，其最大值為Ktv=0.011453；而角速度性能指標(biāo)在X=0 軸線(xiàn)上性能最好，而在X=0 軸線(xiàn)兩側(cè)隨著與X=0軸線(xiàn)的遠(yuǎn)離，角性能指標(biāo)越來(lái)越差，在 X=（-3.3～3.3）cm，Y=（0～25.5）cm 時(shí)，角速度性能指標(biāo)最好，其最大值為 Ktω=0.59033。通過(guò)以上分析可知線(xiàn)速度同性指標(biāo)與角速度同性指標(biāo)具有矛盾性。為了全面評(píng)價(jià)機(jī)器人在整個(gè)工作空間線(xiàn)速度和角速度傳遞性能，定義線(xiàn)速度和角速度全域各向同性指標(biāo)如下：

式中：0<ηKtv<1，0<ηKtω<1，W—機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間。

由式（10）可知，機(jī)構(gòu)線(xiàn)速度和角速度全域各向同性指標(biāo)越趨近于1，機(jī)構(gòu)在工作空間線(xiàn)速度和角速度傳遞性能越好。

3 兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)全域性能波動(dòng)指標(biāo)分析

速度全域同性指標(biāo)ηKtv和ηKtω只反映機(jī)構(gòu)線(xiàn)速度和角速度各向同性的均值，并不能反應(yīng)整個(gè)工作空間內(nèi)各向同性波動(dòng)幅度大小，因此，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)中變異系數(shù)概念提出一種機(jī)構(gòu)全域性能波動(dòng)指標(biāo)作為上述全域同性指標(biāo)的輔助性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，設(shè)ηˉJ為性能指標(biāo)ηJ的標(biāo)準(zhǔn)差，即：

則機(jī)構(gòu)全域性能波動(dòng)指標(biāo)公式可表示為：

采用單變量分析法，逐個(gè)分析重要結(jié)構(gòu)參數(shù)（ra rb rz）對(duì)性能波動(dòng)指標(biāo)的影響規(guī)律，借助Matlab 軟件分別繪制關(guān)鍵尺寸（ra rb rz）對(duì)性能波動(dòng)指標(biāo)的影響曲線(xiàn)，如圖3 所示。其中，僅考慮ra、rb、rz 變化時(shí)對(duì)線(xiàn)速度性能波動(dòng)指標(biāo)的影響關(guān)系，如圖3（a）、圖3（b）、圖3（c）所示。僅考慮 ra、rb、rz 變化時(shí)對(duì)角速度性能波動(dòng)指標(biāo)的影響關(guān)系，如圖3（d）、圖3（e）、圖3（f）所示。

圖3 結(jié)構(gòu)參數(shù)與和的關(guān)系Fig.3 Relationship Between and and Structural Parameters

4 結(jié)論

（1）在兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)2SPU+U 工作空間內(nèi)，角速度各向同性指標(biāo)較大，線(xiàn)速度各向同性指標(biāo)較小，線(xiàn)速度同性指標(biāo)與角速度同性指標(biāo)具有矛盾性。

（2）針對(duì)速度全域性能指標(biāo)的不足提出全域性能波動(dòng)指標(biāo)公式，采用單變量分析法，逐個(gè)分析了重要結(jié)構(gòu)參數(shù)ra、rb、rz 對(duì)性能波動(dòng)指標(biāo)影響規(guī)律，通過(guò)分析可知ra 的增大會(huì)使整個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)線(xiàn)速度和角速度波動(dòng)程度增大，不利于機(jī)構(gòu)的平穩(wěn)運(yùn)行；rb 的增大會(huì)使機(jī)構(gòu)線(xiàn)速度運(yùn)動(dòng)波動(dòng)程度增大，rb 的增大對(duì)角速度波動(dòng)性能影響較小。rz 的增大有利于線(xiàn)速度和角速度性能波動(dòng)的減小，有利于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制。

（3）通過(guò)機(jī)構(gòu)全域性能指標(biāo)和全域性能波動(dòng)指標(biāo)圖譜，得到尺寸變化對(duì)機(jī)構(gòu)性能的影響趨勢(shì)，為機(jī)構(gòu)的尺寸選取以及優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)，對(duì)機(jī)器人重要結(jié)構(gòu)尺寸的選取以及控制方案的設(shè)計(jì)有著重要意義。