幾道隔板法求不定方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

福建省連江第一中學(xué) (350500) 黃錦濤湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (435002) 謝 濤

近日，筆者聽(tīng)了一次組合的新授課，排列組合是高中學(xué)習(xí)階段的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，隔板法是處理排列組合問(wèn)題的一個(gè)重要方法，在課上教師介紹了隔板法，并且出示了一道例題，如下.

例1 求不定方程x+y+z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù).

剛出示這道題的時(shí)候，學(xué)生感到很疑惑：這與所學(xué)的組合到底有什么關(guān)系？這時(shí)教師給出引導(dǎo)：對(duì)于這個(gè)不定方程，可以換個(gè)角度看待，把其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的組合問(wèn)題.具體如下：

接著教師給出兩個(gè)變式：

變式1 求不定方程x+y+z=10的自然數(shù)解的個(gè)數(shù).

分析：變式1與例題十分相似，不同之處就是例題求的是正整數(shù)解的個(gè)數(shù)而變式1求的是自然數(shù)解的個(gè)數(shù)，既然是變式二者必然存在著某種聯(lián)系，如何把新的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題即如何把求自然數(shù)解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為求正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是我們所要思考的.

例2 (1)10個(gè)相同的球分給7個(gè)人，每人至少1個(gè)球，有多少種分法？

(2)10個(gè)相同的球分給7個(gè)人，有多少種分法？

例1、變式1、變式2不僅開(kāi)闊了學(xué)生的視野，而且對(duì)學(xué)生“轉(zhuǎn)化”思想的培養(yǎng)起到了很大的幫助，例2激發(fā)了學(xué)生利用隔板法處理實(shí)際生活問(wèn)題的能力，數(shù)學(xué)題目是千變?nèi)f化的，要學(xué)會(huì)把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的舊問(wèn)題去解決才能事半功倍.教師不僅要教會(huì)學(xué)生知識(shí)點(diǎn)，還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，做到授之以漁.