基于Petri網(wǎng)的導(dǎo)航衛(wèi)星星座備份策略分析評(píng)估方法

王許煜, 胡 敏, 張學(xué)陽, 趙玉龍, 李玖陽

(航天工程大學(xué)航天指揮學(xué)院, 北京 101416)

0 引 言

作為一個(gè)復(fù)雜的空間系統(tǒng),導(dǎo)航星座的運(yùn)行管理面臨著許多挑戰(zhàn)[1]。導(dǎo)航星座運(yùn)行過程中,衛(wèi)星由于受到自身壽命和可靠性的限制,以及復(fù)雜惡劣的太空環(huán)境的影響,會(huì)發(fā)生可恢復(fù)的短期故障或不可恢復(fù)的長(zhǎng)期故障[2],從而造成星座服務(wù)性能的下降。因此,為了滿足導(dǎo)航星座系統(tǒng)可用性、連續(xù)性和完整性的嚴(yán)格要求,需要根據(jù)其實(shí)際狀況采取不同的備份策略,以便星座中衛(wèi)星發(fā)生故障時(shí),盡可能在最短時(shí)間內(nèi)恢復(fù)星座的功能[3]。根據(jù)全球定位系統(tǒng)(global positioning system,GPS)、全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system,GLONASS)和伽利略三大全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)建設(shè)運(yùn)行的經(jīng)驗(yàn),星座備份策略對(duì)實(shí)現(xiàn)星座連續(xù)穩(wěn)定運(yùn)行具有十分重要的意義,是全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)星座設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容。

目前,國內(nèi)外對(duì)星座備份策略的研究已經(jīng)取得了較為豐碩的理論成果。文獻(xiàn)[4-7]提出了全球星座設(shè)計(jì)并分析了其備份策略,包括地面?zhèn)浞?、停泊軌道備份以及在軌備?但是沒有考慮不同策略的組合,使得星座運(yùn)行缺乏靈活性。文獻(xiàn)[8-10]針對(duì)不同的星座采用Petri網(wǎng)建立了星座模型,并以星座可用性為評(píng)估指標(biāo)分析星座備份策略,然而這些文獻(xiàn)只簡(jiǎn)單地考慮了服從指數(shù)分布的衛(wèi)星可靠性模型,無法準(zhǔn)確描述星座運(yùn)行中的各種隨機(jī)事件,同時(shí)采取單一的評(píng)估指標(biāo)也無法滿足星座的實(shí)際工程需求。文獻(xiàn)[11-12]以星座維護(hù)和運(yùn)行成本為目標(biāo)函數(shù),利用Markov方法建立星座模型對(duì)星座備份策略展開研究,其中文獻(xiàn)[12]將成本與性能模型相關(guān)聯(lián),以評(píng)估備份策略對(duì)星座覆蓋可用性的影響。由于Markov方法的局限性,對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的建模,當(dāng)星座中衛(wèi)星數(shù)量增多時(shí)會(huì)導(dǎo)致星座狀態(tài)的爆炸,從而影響計(jì)算效率,因此該方法只適用于較小規(guī)模的星座。文獻(xiàn)[3,13-14]基于衛(wèi)星可靠度建立星座系統(tǒng)可靠度模型,并根據(jù)星座對(duì)系統(tǒng)可靠度的需求進(jìn)行星座備份策略設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[15]利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)建立了星座系統(tǒng)可用性模型,并根據(jù)可用性的要求提出了合理的星座備份策略。為了便于分析問題,這些方法極大地簡(jiǎn)化了星座模型,同時(shí)對(duì)于備份策略的評(píng)估也多采用單一指標(biāo),不利于星座備份策略的優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[16]針對(duì)大型通信衛(wèi)星利用多級(jí)庫存理論對(duì)星座進(jìn)行建模,提出了一種基于停泊軌道特性和所有位置策略的優(yōu)化備份策略。但對(duì)于非大型導(dǎo)航星座而言,由于該方法綜合考慮了所有備份策略的應(yīng)用,使得星座模型的建立復(fù)雜,同時(shí)也增大了系統(tǒng)的運(yùn)行成本。

考慮到上述優(yōu)化方法的局限性,本文以北斗三號(hào)系統(tǒng)中軌道Walker導(dǎo)航星座為研究對(duì)象,提出了一種基于隨機(jī)時(shí)間Petri網(wǎng)(stochastic timed Petri net, STPN)的導(dǎo)航星座備份策略分析評(píng)估方法。首先,利用STPN的結(jié)構(gòu)化分析優(yōu)勢(shì),考慮在軌備份和地面?zhèn)浞輧煞N備份策略建立更為實(shí)際的3個(gè)層次的導(dǎo)航星座STPN模型。其次,建立服務(wù)可用性模型和系統(tǒng)運(yùn)行成本模型用以評(píng)估分析星座備份策略。最后，采用蒙特卡羅仿真評(píng)估所提模型的準(zhǔn)確性,并在此基礎(chǔ)上提出了在滿足可用性的前提下,使系統(tǒng)運(yùn)行成本最小化的最優(yōu)備份策略確定方法。

1 Petri網(wǎng)理論

1.1 基本Petri網(wǎng)

Petri網(wǎng)作為一種適合于描述和分析具有并發(fā)、同步、沖突等特征的系統(tǒng)建模工具,由于其直觀的圖形表現(xiàn)能力和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),被廣泛地應(yīng)用于各領(lǐng)域[17]?；綪etri網(wǎng)由庫所、變遷和有向弧3個(gè)基本元素組成,其中庫所表示系統(tǒng)的狀態(tài)、存放場(chǎng)所或條件,變遷表示系統(tǒng)狀態(tài)變化或事件,庫所中的對(duì)象或條件用托肯表示,庫所和變遷之間則通過有向弧連接[18],其形式化定義為

PN=(P,T,F,M0)

(1)

式中，P表示庫所的集合;T表示變遷的集合;F?(P×T)∪(T×P)表示有向弧的集合;M0表示各個(gè)庫所中的初始標(biāo)識(shí),用托肯表示。

基本Petri網(wǎng)主要用于描述系統(tǒng)中的運(yùn)行邏輯,反映系統(tǒng)的靜態(tài)布局以及動(dòng)態(tài)變化,其局限性在于只能進(jìn)行定性分析,為了將其用于定量分析系統(tǒng)特性,則必須引入時(shí)間概念。

1.2 STPN

通過將時(shí)間變量引入Petri網(wǎng)得到時(shí)間Petri網(wǎng)(timed Petri nets,TPN)[19],而當(dāng)引入的時(shí)間為隨機(jī)變量時(shí),TPN則稱為STPN[20]。STPN由四元組組成[21]:

STPN=(PN,tef,tlf,W,f,C)

(2)

式中,PN為基本Petri網(wǎng);W為有向弧上的權(quán)函數(shù);tef和tlf分別表示每個(gè)變遷的最小和最大發(fā)生時(shí)間;f表示每個(gè)變遷發(fā)生時(shí)間所服從的分布函數(shù);C為變遷權(quán)重的集合。

(3)

式中,Ts表示系統(tǒng)處于狀態(tài)時(shí)可發(fā)生的變遷集合;C(ti)表示第i個(gè)變遷的權(quán)值。

當(dāng)變遷t0發(fā)生后,系統(tǒng)狀態(tài)則由s=(M,τ)變?yōu)閟′=(M′,τ′),系統(tǒng)標(biāo)識(shí)M根據(jù)基本Petri網(wǎng)的原則發(fā)生變化:

(4)

若系統(tǒng)變遷在變遷t0發(fā)生后仍處于使能狀態(tài)則稱之為持續(xù)使能,若變遷從不使能狀態(tài)轉(zhuǎn)換為使能狀態(tài)則稱為新使能。同時(shí),若變遷t0在發(fā)生后依然處于使能狀態(tài),則同樣將其認(rèn)為新使能。對(duì)于持續(xù)使能的變遷,其發(fā)生時(shí)間將會(huì)減去變遷t0的發(fā)生時(shí)間,即τ′(ti)=τ(ti)-τ(t0),而對(duì)于新使能的變遷,其發(fā)生時(shí)間則根據(jù)變遷所服從的分布函數(shù)fti重新采樣獲得,即τ′(ti)=fti(λi),其中λi為分布函數(shù)的速率參數(shù)。

對(duì)于系統(tǒng)中發(fā)生時(shí)間始終為0的變遷,稱該類變遷為瞬時(shí)變遷,而其他變遷則稱為時(shí)間變遷,其中發(fā)生時(shí)間為非0常數(shù)的變遷稱為確定變遷,發(fā)生時(shí)間服從指數(shù)分布的變遷稱為指數(shù)變遷,否則該變遷則稱為服從一般分布的變遷。因此,STPN模型包含了瞬時(shí)變遷、確定變遷和指數(shù)變遷以及其他一般分布的變遷,極大地增強(qiáng)了Petri網(wǎng)的建模能力和所能建模的系統(tǒng)范圍,可以定量地計(jì)算各種性能指標(biāo),為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和參數(shù)的選擇提供依據(jù)。

2 導(dǎo)航星座的STPN模型

本文以北斗三號(hào)系統(tǒng)中軌道Walker導(dǎo)航星座為建模對(duì)象,該星座由24顆衛(wèi)星組成,星座參數(shù)為24/3/1,軌道高度為21 528 km,傾角為55°,考慮在軌備份和地面?zhèn)浞輧煞N備份策略,利用庫所表示系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài),變遷表示系統(tǒng)運(yùn)行中的操作或事件,構(gòu)建單星、軌道面的STPN模型,進(jìn)而建立導(dǎo)航星座的STPN模型。

2.1 模型假設(shè)

基于星座系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行狀況,本文將對(duì)星座初始化階段和運(yùn)行維護(hù)階段做出合理假設(shè)。星座初始化階段:

(1) 星座組網(wǎng)部署時(shí),地面部分有足夠的衛(wèi)星和運(yùn)載火箭,采取一箭雙星的發(fā)射模式,每4個(gè)月完成3個(gè)軌道面的一次衛(wèi)星部署；

(2) 系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間從星座組網(wǎng)完成開始,且初始時(shí)刻每個(gè)軌道面的狀態(tài)相同,備份衛(wèi)星數(shù)相同；

(3) 星座中每個(gè)軌道面最多部署2顆備份衛(wèi)星,且都處于冷備份狀態(tài),即故障率為0,只有在正常工作模式下才具有有限的使用壽命。

星座運(yùn)行維護(hù)階段:

(1) 在軌備份衛(wèi)星在替換故障衛(wèi)星前需進(jìn)行在軌測(cè)試,替換故障衛(wèi)星后備份衛(wèi)星將直接接入星座；

(2) 當(dāng)軌道上有多個(gè)故障衛(wèi)星替換需求時(shí),在軌備份衛(wèi)星及地面?zhèn)浞菪l(wèi)星將根據(jù)故障發(fā)生的優(yōu)先順序逐一進(jìn)行補(bǔ)網(wǎng)；

(3) 地面運(yùn)載火箭和衛(wèi)星生產(chǎn)線每次只接受一次投產(chǎn)需求,且每次只生產(chǎn)一枚運(yùn)載火箭或一顆衛(wèi)星,運(yùn)載火箭最多可同時(shí)發(fā)射2顆衛(wèi)星。

2.2 單星STPN模型

圖1是單星STPN模型,模擬了衛(wèi)星壽命期間發(fā)生故障及修復(fù)的過程。星座運(yùn)行初始時(shí)刻衛(wèi)星處于正常運(yùn)行狀態(tài),庫所P112中有一個(gè)托肯,同時(shí)衛(wèi)星將處于故障的觸發(fā)狀態(tài),因此瞬時(shí)變遷T112后,P113、P114和P115將會(huì)有一個(gè)托肯。當(dāng)經(jīng)過一段時(shí)間后衛(wèi)星將發(fā)生故障,衛(wèi)星具有3種故障模式,即短期故障、維護(hù)故障和長(zhǎng)期故障。當(dāng)衛(wèi)星發(fā)生短期故障T114或維護(hù)故障T116時(shí),衛(wèi)星會(huì)進(jìn)行一段時(shí)間的修復(fù)過程,而當(dāng)衛(wèi)星發(fā)生長(zhǎng)期故障T113時(shí),則需要備份衛(wèi)星進(jìn)行替換,同時(shí)P118中將會(huì)有一個(gè)托肯以阻止衛(wèi)星其他變遷的發(fā)生。模型中各庫所及變遷的含義如表1所示。

圖1 單星STPN模型Fig.1 Single satellite STPN model

表1 單星STPN模型庫所及變遷含義

2.3 軌道面STPN模型

在軌道模型中,每個(gè)軌道面將由8顆工作衛(wèi)星和在軌備份衛(wèi)星組成,當(dāng)工作衛(wèi)星失效無法正常運(yùn)行時(shí),備份衛(wèi)星將對(duì)其進(jìn)行替換以保證星座的服務(wù)性能,圖2是單一軌道面的STPN模型,描述了在軌備份衛(wèi)星替換故障衛(wèi)星以及向地面系統(tǒng)發(fā)出發(fā)射需求的過程。

圖2 軌道面STPN模型Fig.2 Orbital plane STPN model

若星座初始時(shí)刻軌道面內(nèi)部署在軌備份衛(wèi)星,則庫所P105中將有相應(yīng)數(shù)量的托肯,當(dāng)衛(wèi)星發(fā)出替換需求時(shí),P101中將會(huì)出現(xiàn)托肯,同時(shí)經(jīng)過瞬時(shí)變遷T101向在軌備份衛(wèi)星發(fā)出替換命令,備份衛(wèi)星會(huì)根據(jù)衛(wèi)星故障的先后順序進(jìn)行選擇替換,以衛(wèi)星1為例,當(dāng)備份衛(wèi)星選擇衛(wèi)星1進(jìn)行替換時(shí),庫所P11將出現(xiàn)托肯,經(jīng)過時(shí)間變遷T111后完成替換。圖2中k表示采用不同的發(fā)射方式時(shí)運(yùn)載火箭發(fā)射的衛(wèi)星數(shù)量,當(dāng)采取一箭一星時(shí),k=1;一箭雙星時(shí),k=2,模型假設(shè)只有軌道面內(nèi)失效衛(wèi)星達(dá)到k時(shí)才向地面系統(tǒng)發(fā)出發(fā)射需求。模型中各庫所及變遷的含義如表2所示。

表2 軌道面STPN模型庫所及變遷含義

2.4 星座整體STPN模型

星座整體模型可以分為兩個(gè)子系統(tǒng):空間系統(tǒng)和地面系統(tǒng),圖3的星座整體STPN模型依據(jù)此原則進(jìn)行分解,空間系統(tǒng)包含單星及軌道模型,本文已對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)描述。地面系統(tǒng)包含投產(chǎn)及發(fā)射補(bǔ)網(wǎng)模型,兩個(gè)子系統(tǒng)之間通過共享的庫所進(jìn)行連接,當(dāng)任意軌道面發(fā)出發(fā)射需求,則庫所P00將被標(biāo)記,并允許開始生產(chǎn)k顆衛(wèi)星以及1枚運(yùn)載火箭。若庫存儲(chǔ)存地面?zhèn)浞菪l(wèi)星,庫所P04將會(huì)有相應(yīng)數(shù)量的托肯,并且只有地面?zhèn)浞菪l(wèi)星數(shù)量滿足發(fā)射需求時(shí)才允許發(fā)射k顆衛(wèi)星,否則將繼續(xù)生產(chǎn)。如果衛(wèi)星發(fā)射失敗則會(huì)自動(dòng)向P00發(fā)送另一個(gè)發(fā)射需求。如果發(fā)射成功,則在P07中放置一個(gè)托肯,該托肯表示有k顆衛(wèi)星可用于一個(gè)軌道面,并根據(jù)發(fā)射需求的優(yōu)先順序進(jìn)行軌道選擇。模型中各庫所及變遷的含義如表3所示。

3 可用性和成本模型

對(duì)于采取不同備份策略的星座而言,星座運(yùn)行期間的評(píng)估指標(biāo)是用來描述備份策略的量化數(shù)據(jù),也為星座管理者對(duì)星座備份策略的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。本文將從星座可用性和系統(tǒng)運(yùn)行成本兩個(gè)方面,分別建立相應(yīng)的模型用以評(píng)估星座備份策略。

圖3 星座整體STPN模型Fig.3 The whole constellation STPN model

表3 星座整體STPN模型庫所及變遷含義

3.1 可用性模型

可用性是星座系統(tǒng)的重要指標(biāo)之一,主要用于分析星座系統(tǒng)提供的服務(wù)性能滿足用戶特定需求的時(shí)間百分比[22-23]。對(duì)于衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)而言,其可用性分析主要采用導(dǎo)航系統(tǒng)定位精度(navigation system precision, NSP)來進(jìn)行衡量[24]。而定位精度除了受到用戶測(cè)距誤差的影響還取決于星座的狀態(tài),不同的星座狀態(tài)會(huì)造成星座空間構(gòu)型的改變從而影響定位精度[25]。

根據(jù)星座中故障衛(wèi)星的數(shù)量,對(duì)星座進(jìn)行狀態(tài)等級(jí)的劃分,值得注意的是,本文中故障衛(wèi)星包括處于不同故障模式下的衛(wèi)星,而不單指發(fā)生長(zhǎng)期故障的衛(wèi)星。星座狀態(tài)等級(jí)如下:

(1) P1:星座中無故障衛(wèi)星,此時(shí)星座處于正常狀態(tài);

(2) P2:星座中有1顆故障衛(wèi)星;

(3) P3:星座中有2顆故障衛(wèi)星;

(4) P4:星座中有3顆故障衛(wèi)星;

(5) P5:星座中故障衛(wèi)星數(shù)大于3顆。

按照上述的星座狀態(tài)等級(jí),選取星座CV值作為目標(biāo)函數(shù)以評(píng)估不同星座狀態(tài)的性能。星座CV 值作為衡量星座在指定服務(wù)區(qū)內(nèi)覆蓋性能的一個(gè)重要指標(biāo),能夠反映星座的幾何特征以及星座精度因子在特定閾值下的可用性,星座CV值[26]定義如下:

(5)

式中，ΔT為總仿真時(shí)間;PDOPt,i為t時(shí)刻第i個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)PDOP值(position dilution of precision);ThDOP為精度因子閾值;bool(·)為布爾函數(shù);L為網(wǎng)格點(diǎn)總數(shù);areai為第i個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的面積。

由于軌道面內(nèi)若有3顆甚至更多的衛(wèi)星發(fā)生故障,則星座的服務(wù)可用性將被中斷,而這種情況通常是不可能出現(xiàn)的[27],同時(shí)星座中出現(xiàn)多顆衛(wèi)星故障的概率也很小,因此本文只計(jì)算P1、P2、P3以及P4中故障衛(wèi)星處于不同軌道面的狀態(tài)下導(dǎo)航星座CV值。以全球?yàn)榉?wù)區(qū)域,PDOP≤4為要求,按5°×5°的經(jīng)緯線進(jìn)行網(wǎng)格劃分,計(jì)算時(shí)間為一個(gè)星座回歸周期,步長(zhǎng)為300 s,最小觀測(cè)仰角為5°,進(jìn)行星座CV值計(jì)算,結(jié)果如表4所示。

表4 不同狀態(tài)下的導(dǎo)航星座CV值

為了評(píng)估導(dǎo)航星座系統(tǒng)的服務(wù)可用性,本文結(jié)合星座狀態(tài)概率和星座CV值提出了星座平均服務(wù)可用性的計(jì)算公式,其中星座狀態(tài)概率為星座狀態(tài)的時(shí)間占運(yùn)行總時(shí)間的比例,將通過蒙特卡羅仿真獲得,具體計(jì)算公式如下:

(6)

式中,n為星座狀態(tài)的第n種;N為星座狀態(tài)總數(shù);Pn為星座處于第n種狀態(tài)的發(fā)生概率;CVn為星座處于第n種狀態(tài)下的星座CV值。

按照導(dǎo)航星座系統(tǒng)服務(wù)可用性標(biāo)準(zhǔn)[28],本文對(duì)星座備份策略的可用性指標(biāo)提出設(shè)計(jì)要求:導(dǎo)航系統(tǒng)在全球區(qū)域內(nèi)位置精度因子小于等于4的平均服務(wù)可用性大于等于95%[28-29]。通過上述對(duì)星座CV值的計(jì)算可知,星座處于P1、P2、P3狀態(tài)時(shí)的星座CV值大于等于99%。為了便于分析,將這3種狀態(tài)統(tǒng)稱為S1,同時(shí)將系統(tǒng)處于S1或P4的狀態(tài)稱為S2。由于狀態(tài)S2的最小CV值滿足大于95%的需求,因此提出星座備份策略的最低要求:運(yùn)行期間星座達(dá)到S2的概率優(yōu)于95%。同時(shí)為了保證系統(tǒng)運(yùn)行期間達(dá)到可用性要求,在滿足狀態(tài)S2的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提出需有98%的時(shí)間達(dá)到狀態(tài)S1的要求,即運(yùn)行期間星座達(dá)到S1的概率優(yōu)于93%。

3.2 成本模型

與任何系統(tǒng)一樣,星座系統(tǒng)管理者也面臨著以盡可能低的成本提供服務(wù)可用性的挑戰(zhàn)。星座成本模型包括成本:固有成本、補(bǔ)給成本、儲(chǔ)存成本和短缺成本。固有成本是指星座組網(wǎng)部署階段的成本,對(duì)于不同的備份策略,固有成本也會(huì)不同。補(bǔ)給成本是指運(yùn)行階段衛(wèi)星和運(yùn)載火箭的制造成本以及衛(wèi)星的發(fā)射成本。儲(chǔ)存成本是指地面?zhèn)浞菪l(wèi)星發(fā)射之前庫存所產(chǎn)生的儲(chǔ)存成本。短缺成本是指由于星座中故障衛(wèi)星未能及時(shí)得到替換而造成的經(jīng)濟(jì)損失。為了便于分析,對(duì)于固有成本,本文只考慮備份策略中地面?zhèn)浞菪l(wèi)星以及部署在軌備份衛(wèi)星的成本。

成本模型中符號(hào)說明如下:衛(wèi)星成本x,運(yùn)載火箭成本y,單星發(fā)射成本z,每小時(shí)單星的儲(chǔ)存成本v,每小時(shí)單星的短期成本c,t0時(shí)刻地面?zhèn)浞菪l(wèi)星數(shù)K,t0時(shí)刻每個(gè)軌道面的在軌備份衛(wèi)星數(shù)S,衛(wèi)星生產(chǎn)數(shù)量s,運(yùn)載火箭生產(chǎn)數(shù)量h,發(fā)射衛(wèi)星總數(shù)量l,第k個(gè)衛(wèi)星生產(chǎn)或發(fā)射時(shí)刻tk,tk時(shí)刻地面?zhèn)浞菪l(wèi)星數(shù)Kk,衛(wèi)星生產(chǎn)和發(fā)射事件的總數(shù)n,第i個(gè)衛(wèi)星替換或故障時(shí)刻ti,ti時(shí)刻星座故障衛(wèi)星數(shù)Mi,衛(wèi)星替換和故障事件的總數(shù)j,系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間T。

依據(jù)上述分析,星座固有成本Q為Kx+3(y+Sx+Sz),補(bǔ)給成本R為sx+hy+lz,假設(shè)tk時(shí)刻系統(tǒng)發(fā)生衛(wèi)星生產(chǎn)變遷,tk-1時(shí)刻發(fā)生衛(wèi)星發(fā)射變遷,則相應(yīng)的儲(chǔ)存成本為Kk-1(tk-tk-1)v(k=1,2,…,n),假設(shè)ti時(shí)刻系統(tǒng)發(fā)生衛(wèi)星替換變遷,ti-1時(shí)刻發(fā)生衛(wèi)星故障變遷,則相應(yīng)的短缺成本為Mi-1(ti-ti-1)c(i=1,2,…,j),因此星座運(yùn)行總成本計(jì)算公式為

(7)

4 仿真分析

4.1 可用性分析

假設(shè)衛(wèi)星到達(dá)壽命末期10年時(shí)衛(wèi)星可靠性為0.6,且衛(wèi)星隨機(jī)故障服從威布爾分布,損耗故障服從正態(tài)分布[30],構(gòu)建導(dǎo)航衛(wèi)星可靠性模型為

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式中,α為尺度參數(shù);β為形狀參數(shù);μ為均值;σ為標(biāo)準(zhǔn)差;t為衛(wèi)星的工作時(shí)間。

根據(jù)導(dǎo)航衛(wèi)星設(shè)計(jì)壽命要求和實(shí)際運(yùn)行情況,假設(shè)威布爾分布和正態(tài)分布參數(shù),如表5所示,由于模型假設(shè)每4個(gè)月完成一次衛(wèi)星部署,因此可以獲得系統(tǒng)組網(wǎng)完成時(shí)軌道中每顆衛(wèi)星的可靠性,衛(wèi)星可靠性隨時(shí)間的變化如圖4所示。圖中s1～s8表示衛(wèi)星1～8號(hào)，其中編號(hào)越小則發(fā)射越早。

表5 導(dǎo)航衛(wèi)星可靠性參數(shù)

從圖4可以看出,衛(wèi)星發(fā)射越早,系統(tǒng)運(yùn)行開始時(shí)可靠性就越低,同時(shí)可靠性在壽命期間相對(duì)穩(wěn)定,但在壽命末期之后急劇下降。

圖4 系統(tǒng)運(yùn)行后衛(wèi)星可靠性的變化Fig.4 Change of satellite reliability after system operation

模型中其他時(shí)間變遷的類型和速率參數(shù)如表6所示。

表6 時(shí)間變遷的類型和速率參數(shù)

本文仿真時(shí)間為10年,假設(shè)發(fā)射成功率為0.97,利用蒙特卡羅方法對(duì)采取不同備份策略的模型進(jìn)行103次仿真,仿真結(jié)果如下。

(1) 地面?zhèn)浞莶呗詫?duì)比分析

地面?zhèn)浞莶呗允侵府?dāng)星座中衛(wèi)星失效,由地面發(fā)射衛(wèi)星進(jìn)行補(bǔ)網(wǎng),屬于按需發(fā)射。針對(duì)無在軌備份衛(wèi)星,地面?zhèn)浞菪l(wèi)星數(shù)目為0～8的情況進(jìn)行可用性對(duì)比分析,結(jié)果如圖5所示。

圖5 地面?zhèn)浞莶呗缘目捎眯詫?duì)比(無在軌備份衛(wèi)星)Fig.5 Comparison of the availability of ground backup strategy (no backup satellite in orbit)

由圖5可以看出,當(dāng)不采取任何備份策略,即地面?zhèn)浞菪l(wèi)星數(shù)為0時(shí),星座達(dá)到S1和S2狀態(tài)的概率分別僅有82.51%和88.43%,無法滿足星座性能要求。當(dāng)增加備份星時(shí),達(dá)到S1和S2狀態(tài)的概率比無備份星時(shí)均有較大提高,同時(shí)隨著備份星數(shù)量的增加,概率也逐漸增大,而當(dāng)備份星數(shù)達(dá)到4顆時(shí),概率趨于穩(wěn)定。最終備份星數(shù)為8時(shí),概率分別為89.01%和93.01%,均沒有達(dá)到設(shè)計(jì)要求,因此僅考慮地面?zhèn)浞莸那闆r下,無法實(shí)現(xiàn)平均服務(wù)可用性大于等于95%的性能要求。

(2) 在軌備份策略對(duì)比分析

在軌備份策略是指將備份衛(wèi)星部署在工作軌道上,當(dāng)同軌道面內(nèi)衛(wèi)星失效,則利用備份星對(duì)其進(jìn)行快速替換,備份星替換失效衛(wèi)星后再由地面進(jìn)行補(bǔ)發(fā)。

針對(duì)每個(gè)軌道面在軌備份1顆,地面?zhèn)浞菪l(wèi)星數(shù)目為0～8,采用一箭一星發(fā)射方式的情況進(jìn)行可用性對(duì)比分析,結(jié)果如圖6所示。

圖6 在軌備份策略的可用性對(duì)比(每個(gè)軌道面?zhèn)浞?顆)Fig.6 Comparison of the availability of in-orbit backup strategy(one backup satellite in each orbit)

從圖6可以看出,每個(gè)軌道面在軌備份1顆衛(wèi)星后,星座服務(wù)可用性有了大幅提高,同時(shí),相較于采取單一的備份策略,綜合兩種備份策略對(duì)服務(wù)可用性也有明顯的提高。隨著地面?zhèn)浞菪l(wèi)星數(shù)的增加,所能達(dá)到的概率也逐漸增加,當(dāng)備份星數(shù)達(dá)到5顆時(shí),概率趨于平穩(wěn),此時(shí)達(dá)到S1狀態(tài)和S2狀態(tài)的概率分別為93.01%和95.45%,能夠滿足星座平均服用可用性的設(shè)計(jì)要求。

針對(duì)每個(gè)軌道面在軌備份2顆,地面?zhèn)浞菪l(wèi)星數(shù)目為0～8,地面?zhèn)浞菪欠謩e采用一箭一星和一箭雙星發(fā)射方式的情況進(jìn)行可用性對(duì)比分析,結(jié)果如圖7所示。

從圖7可以看出,當(dāng)每個(gè)軌道面在軌備份2顆衛(wèi)星,且采用一箭一星的發(fā)射方式時(shí),不采取地面?zhèn)浞莶呗跃湍軡M足平均服務(wù)可用性的設(shè)計(jì)要求,此時(shí)達(dá)到S1狀態(tài)和S2狀態(tài)的概率分別為93.41%和95.47%,而采用一箭雙星的發(fā)射方式時(shí),若地面無備份衛(wèi)星,對(duì)在軌備份衛(wèi)星進(jìn)行補(bǔ)發(fā)則需等待兩顆衛(wèi)星的生產(chǎn),因此采用單一備份策略無法滿足設(shè)計(jì)需求。隨著地面?zhèn)浞菪l(wèi)星數(shù)量的增加,兩種發(fā)射方式下的概率均增長(zhǎng),但由于一箭雙星能夠?qū)崿F(xiàn)在軌備份衛(wèi)星的快速補(bǔ)充,因此在同等條件下,其能達(dá)到滿足服務(wù)可用性的狀態(tài)概率普遍大于一箭一星的發(fā)射方式,同時(shí)當(dāng)?shù)孛鎮(zhèn)浞菪菙?shù)達(dá)到4顆時(shí),兩種發(fā)射方式下的概率均趨于平穩(wěn)。

圖7 在軌備份策略的可用性對(duì)比(每個(gè)軌道面?zhèn)浞?顆)Fig.7 Comparison of the availability of in-orbit backup strategy(two backup satellites in each orbit)

4.2 成本分析

根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)行的工程經(jīng)驗(yàn),本文假設(shè)成本模型中相關(guān)的成本參數(shù)如表7所示,由于短缺成本在實(shí)際中難以準(zhǔn)確評(píng)估,因此對(duì)該值進(jìn)行敏感性分析,分別選取5、20、50、100萬元的估計(jì)值。

表7 成本模型中的成本參數(shù)

基于上述仿真結(jié)果可得,只采取地面?zhèn)浞莶呗詿o法滿足星座平均服務(wù)可用性的設(shè)計(jì)要求,因此只對(duì)采取在軌備份策略的星座運(yùn)行成本進(jìn)行仿真對(duì)比分析,結(jié)果如圖8所示。從圖8可以看出,短缺成本與系統(tǒng)運(yùn)行成本之間存在直接關(guān)系,隨著短缺成本的增加,星座運(yùn)行成本也將增加。由于不同在軌備份策略所能滿足的性能差異,當(dāng)短缺成本較小時(shí),不同策略所產(chǎn)生的成本差距也較小,此時(shí)成本差距主要由固有成本和補(bǔ)給成本造成,如圖8(a)和圖8(b)所示。當(dāng)短缺成本逐漸增加時(shí),不同策略所產(chǎn)生的成本差距也逐漸增大,同時(shí)性能較好的在軌備份策略所產(chǎn)生的成本將逐漸處于較低水平。 地面?zhèn)浞菪菙?shù)量的增加可以提高星座系統(tǒng)的性能水平,從而減少短缺成本,但同時(shí)也會(huì)增加固有成本和儲(chǔ)存成本,當(dāng)短缺成本較小時(shí),運(yùn)行成本會(huì)隨地面?zhèn)浞菪菙?shù)的增加而增加,當(dāng)短缺成本增加到一定程度時(shí),性能水平提高所引起的系統(tǒng)短缺成本的減少大于固有成本和儲(chǔ)存成本的增加,成本將會(huì)有下降的趨勢(shì),如圖8(c)和圖8(d)所示,此時(shí)短缺成本逐漸成為影響成本的主導(dǎo)因素。之后,當(dāng)?shù)孛鎮(zhèn)浞菪菙?shù)量的增加無法明顯增強(qiáng)性能時(shí),系統(tǒng)成本將繼續(xù)隨著備份星數(shù)的增加而增加。該變化規(guī)律從數(shù)值上說明了當(dāng)短缺成本增加時(shí),成本模型存在著極值點(diǎn),并可依據(jù)此獲得最優(yōu)備份策略。

圖8 在軌備份策略的運(yùn)行成本對(duì)比Fig.8 Comparison of operation cost of in-orbit backup strategy

4.3 結(jié)果分析

基于上述對(duì)可用性和成本模型的分析,提出在滿足可用性的前提下,使系統(tǒng)運(yùn)行成本最小化的最優(yōu)備份策略確定方法。通過對(duì)比不同的備份策略,最終獲得不同條件下的最優(yōu)備份策略及參數(shù)如表8所示。

表8 不同條件下的最優(yōu)備份策略

通過以上仿真分析可得,本文所提出的分析模型能根據(jù)在軌和地面?zhèn)浞菪l(wèi)星數(shù)量,以及備份星發(fā)射模式,允許呈現(xiàn)不同備份策略的設(shè)計(jì),具有更強(qiáng)的靈活性,同時(shí)通過對(duì)可用性模型和成本模型的敏感性分析,能有效地確定不同條件下的最優(yōu)備份策略。

5 結(jié) 論

本文對(duì)北斗三號(hào)系統(tǒng)中軌道Walker導(dǎo)航星座備份策略進(jìn)行了分析,首先利用STPN構(gòu)建了3層導(dǎo)航星座模型,然后建立星座備份策略的評(píng)估模型,最后利用蒙特卡羅方法對(duì)所提模型進(jìn)行評(píng)估,以成本最小化為要求,結(jié)合可用性模型實(shí)現(xiàn)對(duì)備份策略的優(yōu)化設(shè)計(jì)。結(jié)果表明:① STPN模型能有效模擬系統(tǒng)運(yùn)行的各種確定性因素和隨機(jī)因素,更為準(zhǔn)確地描述了星座邏輯結(jié)構(gòu)特性以及備份供應(yīng)過程；② 該方法以可用性和成本為評(píng)估指標(biāo),提出了星座狀態(tài)等級(jí)和備份策略設(shè)計(jì)要求,并建立成本模型,完善了備份策略評(píng)估體系；③ 該方法能對(duì)不同備份策略進(jìn)行評(píng)估分析,從而獲得不同條件下的最優(yōu)備份策略,具有更大的靈活性,不僅能滿足星座可用性的設(shè)計(jì)需求,而且能實(shí)現(xiàn)運(yùn)行成本的最小化,為導(dǎo)航星座備份策略的設(shè)計(jì)提供借鑒。