纖維支撐劑團靜態(tài)沉降速度計算方法

張 濤 ，曾先進，郭建春，楊若愚，周航宇，劉嘉文，張翔宇

（1.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室，四川成都 610500；2.中國石化勝利油田分公司純梁采油廠，山東濱州 256505）

裂縫中非連續(xù)支撐壓裂技術(shù)是指向裂縫中交替注入純壓裂液和壓裂液-纖維-支撐劑三相混合物的方式，實現(xiàn)裂縫中非連續(xù)的支撐劑團分布，從而大幅度提高裂縫閉合后的導(dǎo)流能力［1-2］，該技術(shù)以斯倫貝謝公司的通道壓裂為代表［3-4］，在油氣田生產(chǎn)現(xiàn)場得到了非常廣泛的應(yīng)用，取得了非常好的應(yīng)用效果。

一般認為，當在支撐劑和壓裂液中加入適量的纖維后，纖維可以有效地防止支撐劑在裂縫中運移時分散，維持其輸送沉降過程中的完整性［5-6］，從而在裂縫閉合時纖維支撐劑團對其形成柱塞狀支撐。從微觀結(jié)構(gòu)上看，產(chǎn)生這種效果的重要原因是纖維在支撐劑團中形成了網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而在輸送過程中有效地平均化支撐劑顆粒的能量，使其運動出現(xiàn)了一致性［7］。在壓裂液返排以及進一步生產(chǎn)過程中，纖維又可以起到防止支撐劑被帶出地層的作用［8］。

傳統(tǒng)壓裂技術(shù)中，支撐劑顆粒在裂縫中運移時受到壁面、周圍顆粒、壓裂液流變性和流速等因素的影響，因此其沉降速度的計算則大多是通過修正壁面效應(yīng)、濃度、流態(tài)和流變性等條件下的斯托克斯公式得到［9］。HERZHAFT 等研究了在斯托克斯流動條件下，高長徑比纖維攜砂液在牛頓流體中的沉降問題，并總結(jié)了平均沉降速度、沉降速度的方差和方向分布［10］。ELGADDAFI 等研究了球形顆粒（直徑為2～8 mm）在含纖維的牛頓流體和非牛頓流體中的沉降過程，指出纖維會阻礙顆粒的沉降，并在阻力方程中引入纖維阻力系數(shù)表征纖維對顆粒沉降的影響［11］。XU 等研究了球形顆粒在含纖維冪律流體中的沉降過程，并建立了考慮不同雷諾數(shù)與纖維質(zhì)量分數(shù)的顆粒沉降速度預(yù)測模型［12］。MEDI?NA 等通過研究了纖維支撐劑團在可變性裂縫結(jié)構(gòu)中的沉降過程，得出了裂縫施加壓力、纖維支撐劑團體積分數(shù)和沉降速度的關(guān)系［13］。而在非連續(xù)加砂壓裂中，纖維支撐劑團在裂縫中以團狀形態(tài)［14-15］在裂縫中輸送沉降。雖然目前有實驗研究纖維支撐劑團在裂縫中的輸送鋪置過程，但對于其在裂縫中的沉降計算方法仍無相關(guān)文獻報道。為此，筆者對纖維支撐劑團在裂縫中的沉降機理進行分析，建立其在裂縫中的靜態(tài)沉降模型，最終得到其在裂縫中靜態(tài)沉降速度的計算方法。

1 流變性和靜態(tài)沉降實驗

1.1 實驗材料

實驗中壓裂液選用通道壓裂現(xiàn)場常用的羥丙基胍膠交聯(lián)壓裂液，其中胍膠質(zhì)量分數(shù)分別為0.25%，0.35%，0.45%和0.55%；交聯(lián)劑選用硼砂，取0.1%為本次實驗的交聯(lián)比，從而形成凍膠壓裂液。支撐劑選用現(xiàn)場常用的20/40 目卡博陶粒，體積密度為1.5 g/cm3，平均粒徑為0.6 mm。纖維質(zhì)量分數(shù)分別為0.1%，0.2%，0.3% 和0.4%，纖維長度為6 mm，密度為1.3 g/cm3。

1.2 纖維壓裂液流變性實驗方法及結(jié)果

流變性測試實驗使用Haake MarsIII 流變儀對壓裂液添加不同質(zhì)量分數(shù)纖維進行流變性測試。

纖維壓裂液流變性測試結(jié)果（圖1）表明，當纖維質(zhì)量分數(shù)小于0.3%時，隨著纖維質(zhì)量分數(shù)的增大，纖維壓裂液表觀黏度在不同剪切速率下均呈一定程度的增加，而當纖維質(zhì)量分數(shù)大于0.3%后基本沒有增加趨勢。

圖1 0.35%羥丙基胍膠溶液不同纖維質(zhì)量分數(shù)下流變性測試結(jié)果Fig.1 Rheological properties of 0.35%hydroxypropyl guar gum（Hm-HPG）solutions at different mass fractions of fiber

將圖1中的流變曲線采用冪律模式的流變方程進行擬合，得到稠度系數(shù)和流變指數(shù)。結(jié)果（表1）表明，擬合的相關(guān)系數(shù)均大于0.95，表明纖維壓裂液流變性符合冪律模式［8］。加入纖維后能夠顯著提高稠度系數(shù)，而對流變指數(shù)的影響較小。

表1 0.35%羥丙基胍膠溶液不同纖維質(zhì)量分數(shù)下的稠度系數(shù)和流變指數(shù)Table1 Consistency index and rheological index of 0.35%Hm-HPG solutions at different mass fractions of fiber

1.3 靜態(tài)沉降實驗方法及結(jié)果

纖維支撐劑團靜態(tài)沉降實驗是在寬度為0.2 m、高度為0.6 m、板間距為0.01 m的頂部開口小尺度平板裂縫，觀測其靜態(tài)沉降過程。具體實驗方法為：①將配制好的凍膠壓裂液注入小平板裂縫，靜置1 h以排除凍膠中的氣泡。②將清水加入容器內(nèi)用攪拌器以300 r/min 轉(zhuǎn)速進行攪拌，依次緩慢加入羥丙基胍膠、纖維、pH調(diào)節(jié)劑和交聯(lián)劑，并在加入交聯(lián)劑15 s 后加入支撐劑（控制支撐劑體積分數(shù)為30%），形成壓裂液-纖維-支撐劑三相混合物。③將直徑為60 mm 的三相混合物注入到小平板裂縫頂端位置，形成纖維支撐劑團。拍攝不同時刻纖維支撐劑團的形狀并記錄其到下端面的距離。

由加入纖維質(zhì)量分數(shù)為0.3%的支撐劑團在平板中沉降時的形態(tài)變化過程（圖2）可以看出，加入纖維后，纖維支撐劑團在沉降過程中幾乎沒有分散，并且一直維持柱塞狀，穩(wěn)定性較好，并且羥丙基胍膠質(zhì)量分數(shù)越大，其穩(wěn)定性越好。

圖2 不同羥丙基胍膠質(zhì)量分數(shù)下纖維支撐劑團沉降實驗結(jié)果Fig.2 Experimental results of settling of fiber-containing proppant clumps at different mass fractions of Hm-HPG

由纖維支撐劑團在不同放大倍數(shù)下電鏡掃描結(jié)果（圖3）可清晰發(fā)現(xiàn)，胍膠分子鏈吸附在支撐劑顆粒表面上，纖維形成的宏觀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對支撐劑包裹束縛作用也很明顯，極大地阻礙支撐劑的沉降，使得纖維支撐劑團能夠形成穩(wěn)定的柱塞狀結(jié)構(gòu)。根據(jù)纖維支撐劑團在沉降實驗過程中所呈現(xiàn)出來的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，將壓裂液-纖維-支撐劑三相混合物處理為單相流體，并進一步建立其靜態(tài)沉降模型。

圖3 纖維支撐劑團微觀結(jié)構(gòu)Fig.3 Microstructures of fiber-containing proppant clumps

2 靜態(tài)沉降模型

2.1 纖維支撐劑團受力分析

假設(shè)纖維支撐劑團為圓柱狀，在自由沉降時，受到自身重力、壓裂液對其的浮力、壁面對其的摩擦力和壓裂液對其的繞流阻力共4種作用力（圖4）。

纖維支撐劑團自身的重力只取決于自身的密度和體積，其表達式為：

壓裂液對纖維支撐劑團的浮力只取決于自身的體積和壓裂液的密度，其表達式為：

圖4 纖維支撐劑團在壓裂液中靜態(tài)沉降受力示意Fig.4 Diagram of static settling of fiber-containing proppant clumps in fracturing fluid

求解壁面對纖維支撐劑團的摩擦力時假設(shè)如下：①纖維支撐劑團為冪律流體。②纖維支撐劑團沉降過程中的介質(zhì)為冪律流體。③纖維支撐劑團沉降過程為平板層流。

通過對冪律流體平板層流剪切應(yīng)力的推導(dǎo)，求得壁面對纖維支撐劑團的摩擦力表達式為：

壓裂液對纖維支撐劑團的繞流阻力用工程上常用的無量綱阻力系數(shù)表示，其表達式為：

由于纖維支撐劑團沉降過程非常緩慢，可以認為是勻速沉降過程，故4種力平衡，其表達式為：

2.2 參數(shù)確定

選定支撐劑，給定需要在纖維壓裂液中加入的支撐劑體積分數(shù)為αp，則纖維支撐劑團中纖維壓裂液的體積分數(shù)為1 -αp，其密度為ρ2。若支撐劑密度為ρp，則纖維支撐劑團密度為：

將纖維支撐劑團的流變性同樣用冪律型非牛頓流體流變方程描述，則其表觀黏度與纖維壓裂液表觀黏度的關(guān)系式［16］為：

在已知纖維壓裂液稠度系數(shù)（K2）、流變指數(shù)（n2）和加入支撐劑后黏度修正系數(shù)f(αp)的條件下，纖維支撐劑團的流變性修正可以分別單獨修正稠度系數(shù)K3或者流變指數(shù)n3，也可以同時修正稠度系數(shù)K3和流變指數(shù)n3。而本文采用只修正稠度系數(shù)K3的方法，即令n2=n3［16］。

由于低雷諾數(shù)下圓柱繞流阻力系數(shù)與雷諾數(shù)的對數(shù)呈線性關(guān)系，采用線性插值求解，其計算式［17］為：

其中雷諾數(shù)采用冪律流體雷諾數(shù)計算方法［9］，其計算式為：

2.3 數(shù)值計算

將（1）式—（4）式代入（5）式，可得

（12）式為高階非線性方程，需要采用迭代算法求解沉降速度。將（12）式代入（10）式得：

將（13）式代入（4）式得：

采用數(shù)值方法中的牛頓迭代法，通過以下3 步進行求解。

第1 步，構(gòu)造函數(shù)φ(v)并求其一階導(dǎo)數(shù)，其表達式分別為

第2 步，構(gòu)造迭代式，并將（19）式和（20）式代入，可得：

第3步，代入初值進行迭代求解。

3 模型驗證及影響因素

3.1 模型驗證

對比小平板中纖維支撐劑團靜態(tài)沉降速度實驗結(jié)果（圖2）與計算結(jié)果（圖5）可知：隨著纖維質(zhì)量分數(shù)的增大，纖維支撐劑團的沉降速度逐漸降低，表明纖維形成的空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)對沉降過程具有阻礙作用；兩者平均誤差為11.76%，說明誤差在可控范圍內(nèi)。分析產(chǎn)生誤差的原因可能來自2 個方面：一方面由于沉降速度太小，受環(huán)境影響較大，測試過程產(chǎn)生了一定的誤差；另一方面在對壓裂液的流變指數(shù)進行擬合時也存在一定的誤差。

圖5 沉降速度實驗結(jié)果與計算結(jié)果對比Fig.5 Comparison between experimental and calculation results of settling velocities

3.2 影響因素

支撐劑密度 在復(fù)雜多變的壓裂過程中，可能會應(yīng)用到不同密度的支撐劑［18］。為了分析支撐劑密度對纖維支撐劑團沉降速度的影響，選擇不同纖維質(zhì)量分數(shù)下支撐劑密度為1.2～1.6 g/cm3形成的纖維支撐劑團進行計算。

結(jié)果（圖6）表明，隨著支撐劑密度的增大，不同纖維質(zhì)量分數(shù)下纖維支撐劑團的沉降速度均隨之增大。這是因為纖維支撐劑團在沉降時受到重力、浮力、壁面摩擦力和繞流阻力的共同作用，而重力和浮力的差值與支撐劑密度成正比，并且壁面摩擦力和繞流阻力與支撐劑密度無關(guān)所致。

圖6 支撐劑密度對沉降速度的影響Fig.6 Influence of proppant density on settling velocity

支撐劑體積分數(shù) 在壓裂施工過程中，為滿足現(xiàn)場施工條件，會泵注不同支撐劑體積分數(shù)（砂比）的攜砂液。為了分析支撐劑體積分數(shù)對沉降速度的影響，選擇不同纖維質(zhì)量分數(shù)下支撐劑體積分數(shù)為5%～40%的纖維支撐劑團進行計算。

由圖7可以看出，隨著支撐劑體積分數(shù)的增加，纖維支撐劑團的沉降速度顯著增加，當支撐劑體積分數(shù)增至35%時，沉降速度開始趨于穩(wěn)定。這是因為，纖維支撐劑團沉降時受到重力、浮力、壁面摩擦力和繞流阻力的共同作用，重力和浮力的差值與支撐劑體積分數(shù)成正比，而其稠度系數(shù)與支撐劑體積分數(shù)成正相關(guān)，壁面摩擦力與支撐劑體積分數(shù)成正相關(guān)。當支撐劑體積分數(shù)小于35%時，重力和浮力的差值對纖維支撐劑團的沉降過程起著決定性作用，當支撐劑體積分數(shù)大于35%時，壁面摩擦力起著更重要的作用。

圖7 支撐劑體積分數(shù)對沉降速度的影響Fig.7 Influence of proppant volume fracion on settling velocity

纖維支撐劑團直徑 在現(xiàn)場脈沖壓裂施工過程中，可以通過調(diào)整注入壓裂液和纖維支撐劑團的脈沖時間實現(xiàn)裂縫中纖維支撐劑團直徑的控制［19］。為了分析纖維支撐劑團直徑對沉降速度的影響，選擇不同纖維質(zhì)量分數(shù)下直徑為40～120 mm 的纖維支撐劑團進行計算。

結(jié)果（圖8）表明，隨著纖維支撐劑團直徑增大，在不同纖維質(zhì)量分數(shù)下其沉降速度隨其直徑的增加僅呈小幅度增加，變化不明顯。分析其原因，纖維支撐劑團沉降時受到重力、浮力、壁面摩擦力和繞流阻力的共同作用，重力和浮力的差值與纖維支撐劑團體積成正比，考慮到圓柱狀體積與直徑平方成正比，而纖維支撐劑團與壁面的摩擦力也與直徑平方成正比，因此，當纖維支撐劑團直徑增大時，壁面摩擦力與重力及浮力差如果能夠保持平衡，則沉降速度基本不變。同時，這也表明纖維支撐劑團沉降速度較小，擾流阻力影響很小。

圖8 纖維支撐劑團直徑對沉降速度的影響Fig.8 Influence of clump diameter on settling velocity

裂縫寬度 在壓裂前后地層會不斷變化，裂縫寬度的變化會直接影響油氣資源的開采效率［20］。為了分析裂縫寬度對沉降速度的影響，選擇不同纖維質(zhì)量分數(shù)下裂縫寬度為4～10 mm 的模型進行計算。結(jié)果（圖9）表明，隨著裂縫寬度的增加，纖維支撐劑團的沉降速度也隨之增大。分析其原因，纖維支撐劑團沉降時受到重力、浮力、壁面摩擦力和繞流阻力的共同作用，裂縫寬度的變化不會影響重力、浮力和繞流阻力，而裂縫寬度增加時，會導(dǎo)致壁面對其摩擦阻力降低，從而增大其沉降速度。

圖9 裂縫寬度對沉降速度的影響Fig.9 Influence of fracture width on settling velocity

4 結(jié)論

通過小平板裂縫中纖維支撐劑團的靜態(tài)沉降實驗發(fā)現(xiàn)，添加纖維可以維持其沉降過程中的完整性，有利于實現(xiàn)水力壓裂過程中裂縫形成高導(dǎo)流通道。

在實驗測得纖維壓裂液流變性的基礎(chǔ)上，采用修正公式獲得纖維壓裂液中加入支撐劑后混合物的密度、黏度等物性和流變參數(shù)。

考慮纖維支撐劑團在裂縫中流動的壁面摩擦力、重力、浮力和壓裂液繞流阻力的共同作用，建立其在裂縫中沉降速度計算模型，通過計算模型與實驗數(shù)據(jù)進行對比，誤差為11.76%。

分別改變纖維質(zhì)量分數(shù)、支撐劑密度、支撐劑體積分數(shù)、纖維支撐劑團直徑和裂縫寬度進行計算，結(jié)果表明：隨著裂縫寬度、支撐劑密度和支撐劑體積分數(shù)的增大，纖維支撐劑團沉降速度隨之增大，而纖維支撐劑團直徑對其沉降速度影響較小。

符號解釋

A——纖維支撐劑團橫截面面積，m2；

CD——纖維支撐劑團柱繞流阻力系數(shù)，無量綱；

d——纖維支撐劑團橫截面直徑，m；

f——壓裂液對纖維支撐劑團的浮力，N；

f(αp)——加入支撐劑前后表觀黏度修正系數(shù)，無量綱；

FD——壓裂液對纖維支撐劑團的繞流阻力，N；

FS——壁面對纖維支撐劑團的摩擦力，N；

g——重力加速度，m/s2；

G——纖維支撐劑團的重力，N；

h——1/2裂縫模型的寬度，m；

k——迭代次數(shù)，k=0，1，2，3，…，無量綱；

K1——純壓裂液的稠度系數(shù)，Pa ?sn1；

K2——纖維壓裂液的稠度系數(shù)，Pa ?sn2；

K3——纖維支撐劑團稠度系數(shù)，Pa ?sn3；

l——纖維支撐劑團高度，m；

n——冪律型非牛頓流體的流變指數(shù)，無量綱；

n1——純壓裂液的流變指數(shù)，無量綱；

n2——纖維壓裂液的流變指數(shù)，無量綱；

n3——纖維支撐劑團流變指數(shù)，無量綱；

Re1——纖維支撐劑團雷諾數(shù)，無量綱；

v——纖維支撐劑團沉降速度，m/s；

vk——纖維支撐劑團沉降速度迭代式，m/s；

αp——支撐劑的體積分數(shù)，無量綱；

γ——剪切速率，s-1；

φ(vk)——構(gòu)造函數(shù)，無量綱；

μl——纖維壓裂液表觀黏度，Pa ?s；

μsl——三相混合物表觀黏度，Pa ?s；

ρ2——纖維壓裂液密度，kg/m3；

ρm——纖維支撐劑團密度，kg/m3；

ρf——壓裂液的密度，kg/m3；

ρp——支撐劑顆粒密度，kg/m3；

τw——纖維支撐劑團對壁面的切應(yīng)力，MPa。