高振蕩積分計(jì)算的新型Clenshaw-Curtis-Filon 方法

郭 博 夏金鍵 曹 銘 吳清華

（湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199）

在工程應(yīng)用領(lǐng)域經(jīng)常涉及如下形式的高振蕩積分計(jì)算問題

若有駐點(diǎn)，則直接轉(zhuǎn)化后的 F(t)將出現(xiàn)奇異性。為了克服這個(gè)困難，Xiang 等提出了分區(qū)間，利用同胚變換tr+1=g(x)-g(ξ)和插值的方法，其中ξ是駐點(diǎn)[1]。該方法的誤差分析建議采用端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)插值方法對(duì)函數(shù)進(jìn)行插值如在端點(diǎn)處使用埃米特插值。但該方法的插值公式較復(fù)雜，有時(shí)計(jì)算效果不佳。為此Domínguez等提出了 Filon-Clenshaw-Curtis 方法[2]。該方法先直接利用變換將積分轉(zhuǎn)化為式(2)類型，再將區(qū)間分成若干小區(qū)間，在包含奇異點(diǎn)小區(qū)間內(nèi)采樣階梯網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于不含奇異點(diǎn)的區(qū)間，利用切比雪夫多項(xiàng)式逼近F(t)，再利用正交多項(xiàng)式的性質(zhì)得出遞推公式。但該方法需要選擇奇異小區(qū)間的長(zhǎng)度及階梯網(wǎng)格的參數(shù)。除此之外，還有其他考慮存在駐點(diǎn)的計(jì)算方法，如基于Levin 方法，推導(dǎo)出含有駐點(diǎn)時(shí)的計(jì)算公式。但對(duì)于一般振蕩因子的高振蕩積分計(jì)算問題，由于振蕩因子的一般性，仍有許多問題值得深入研究[3]。

本文將在已有研究的基礎(chǔ)上，對(duì)于一般的 g(x)，先利用同胚變換積分，再利用 Filon-Clenshaw-Curtis方法的思想，對(duì)被積函數(shù)中非振蕩的函數(shù)在Clenshaw-Curtis 點(diǎn)上插值，再利用遞推公式進(jìn)行計(jì)算，最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證算法的有效性和精度。

1 一般振蕩因子的新型Clenshaw-Curtis-Filon 方法

對(duì)于沒有駐點(diǎn)的情形，直接利用變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)振蕩因子的即可，下面考慮含有駐點(diǎn)的情形。

對(duì)于有駐點(diǎn)的情形，不妨假設(shè)ξ∈(a,b)為 g(x)的唯一駐點(diǎn)，且g'(ξ)=g''(ξ)=…=g(r)(ξ)=0， g(r+1)(ξ)≠0，首先利用同胚變換tr+1=g(x)-g(ξ)，將式(1)轉(zhuǎn)化為如下形式的積分

2 數(shù)值算例

該算例是有1 階駐點(diǎn)的情形，首先利用同胚變換轉(zhuǎn)化為類似(4)式的情形，具體見式(11)，再利用遞推關(guān)系式(9)進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)N=16，w=103，104，105，106時(shí)，用新方法計(jì)算的近似值和絕對(duì)誤差由表1 給出。

表1 當(dāng)N=16時(shí)計(jì)算的近似值和絕對(duì)誤差

表1 和表2 中的精確值是通過Mathematica 軟件的高精度計(jì)算獲得，從中可以看出算法的計(jì)算精度很高，效果較好，且具有隨著w 的增大，計(jì)算效果越好的特點(diǎn)。對(duì)于固定的w，隨著展開項(xiàng)數(shù)N 的增加，絕對(duì)誤差逐漸減少，最終快速達(dá)到機(jī)器精度，計(jì)算效果如圖1 所示。

圖1 w=105時(shí)的計(jì)算絕對(duì)誤差圖

該算例是一個(gè)具有更高階駐點(diǎn)的情形。當(dāng)w=103時(shí)，對(duì)于0 到15 階的切比雪夫多項(xiàng)式，用遞推關(guān)系式(9)計(jì)算相應(yīng)的高振蕩積分，計(jì)算的近似值和絕對(duì)誤差由表2 給出。

表2 當(dāng)w=103時(shí)計(jì)算的近似值和絕對(duì)誤差

從表2 可知，算法的計(jì)算精度較高，計(jì)算效果較好。

3 結(jié) 語

本文設(shè)計(jì)了一種新型Clenshaw-Curtis-Filon 方法，該方法能計(jì)算一般振蕩因子的高振蕩積分。數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性和計(jì)算精度。該方法成本低，便于實(shí)施，對(duì)高振蕩積分的計(jì)算具有一定的價(jià)值。