最大值擾動(dòng)策略的研究

劉艷玲 孫 波 傅 鑫

（1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114；2.湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199）

大量的文獻(xiàn)研究了這一稅收過程。Albrecher和Hipp[4]在X 是一個(gè)Cramér-Lundberg 過程，而γ是一個(gè)常數(shù)的情況下引入這一稅收過程，并研究了破產(chǎn)概率，證明了有稅和沒有稅的破產(chǎn)概率之間一個(gè)非常簡(jiǎn)單的關(guān)系，即所謂的稅收等式。Albrecher等人[5]利用游弋理論將此研究推廣到X 是一般譜負(fù)Lévy 過程且γ 仍是一個(gè)常數(shù)的情況。Kyprianou 和Zhou[6]中，Kyprianou 和 Zhou 將曲線函數(shù) γ 作為函數(shù)，研究了破產(chǎn)前納稅的雙邊退出問題和凈現(xiàn)值問題。在同樣的背景下，Renaud[7]提供了破產(chǎn)前納稅(現(xiàn)值)的分布結(jié)果Wang 和Hu[8]研究了一個(gè)潛在稅收過程的最優(yōu)控制問題，在這個(gè)問題中，人們尋求最大化破產(chǎn)前所付稅款的凈現(xiàn)值。Kyprianou 和Ott[9]發(fā)現(xiàn)了稅率超過1 的潛在稅收過程的變化。

本文介紹了最大值擾動(dòng)策略，重點(diǎn)概述了Cramér-Lundberg 過程和譜負(fù) Lévy 過程中最大值擾動(dòng)策略的研究現(xiàn)狀，在此基礎(chǔ)上對(duì)譜負(fù) Lévy 過程關(guān)于最大值擾動(dòng)策略的研究給出了一些建議和設(shè)想。

1 Cramér-Lundberg 過程

定義

1.1 擾動(dòng)過程的 Gambler’s 破產(chǎn)

1.2 有重?cái)_動(dòng)的連續(xù)破產(chǎn)

1.3 納稅

文獻(xiàn)[4]對(duì)經(jīng)典的Cramér-Lundberg 風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了推廣，并將納稅納入其中。當(dāng)投資組合處于盈利狀態(tài)時(shí)，考慮的稅收規(guī)則是支付保費(fèi)收入的一定比例。結(jié)果表明，所得的生存概率是不納稅生存概率的冪。進(jìn)一步推導(dǎo)出了根據(jù)這一稅收規(guī)則直到破產(chǎn)的期望折現(xiàn)納稅總額的顯式表達(dá)式，并確定了最優(yōu)征稅起始水平。

2 譜負(fù) Lévy 過程

對(duì)X0= x時(shí)X 的分布用 px表示和相關(guān)的期望用 Ex。且可知ψ 連續(xù)嚴(yán)格凸的和存在由下式定義的右逆函數(shù) Φ :[0, ∞) → [0, ∞)

2.1 q-尺度函數(shù)

q-尺度函數(shù)在分析譜負(fù) Lévy 過程中起著關(guān)鍵作用。X 的尺度函數(shù)(q)W 是一個(gè)非負(fù)的遞增函數(shù)，由下面的拉普拉斯變換指定。對(duì)于q≥0

2.2 結(jié)果概述

第1 節(jié)在Cramér-Lundberg 過程中對(duì)最大值擾動(dòng)策略的研究得到的定理結(jié)果都可以推廣到譜負(fù)Lévy 過程中。

文獻(xiàn)[5]利用波動(dòng)理論，研究了納稅為虧損結(jié)轉(zhuǎn)型的一般譜負(fù) Lévy 過程的雙邊退出問題，并確定了破產(chǎn)概率. 在該模型中，我們研究了納稅總額折現(xiàn)的任意時(shí)刻，并確定了開始征稅的盈余水平，使稅務(wù)機(jī)關(guān)的期望折現(xiàn)總收入最大化. 這一結(jié)果在很大程度上概括了 Cramér-Lundberg 的稅收風(fēng)險(xiǎn)模型。

文獻(xiàn)[6]考慮了比文獻(xiàn)[4-5]中更一般的納稅結(jié)構(gòu)的 Lévy 保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型. 根據(jù)尺度函數(shù)，文獻(xiàn)[6]建立了近年來引起精算研究大量關(guān)注的雙面退出問題，破產(chǎn)前所付稅款的凈現(xiàn)值，以及Gerber-Shiu函數(shù)的廣義版本的基本等式. 而且研究采取了不同于文獻(xiàn)[4-5]的游弋理論的方法。

文獻(xiàn)[7]研究了文獻(xiàn)[5]的Lévy 保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型中稅收的分布，即一個(gè)具有依賴盈余的稅率的 Lévy保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型。更確切地說，在對(duì)所謂的稅收恒等式進(jìn)行了簡(jiǎn)短的討論之后，[7]推導(dǎo)出了一個(gè)關(guān)于直至破產(chǎn)的納稅折扣的任意時(shí)刻的遞推公式，并確定了在沒有利益因素時(shí)納稅的分布。

在文獻(xiàn)[4-6]的背景下，文獻(xiàn)[8]考慮了受潛在稅收過程支配的保險(xiǎn)公司的準(zhǔn)備金過程，其目標(biāo)是找到使總(折現(xiàn))稅收支出最大化的最優(yōu)政策。

文獻(xiàn)[9]證明了文獻(xiàn)[5]中的一些等式仍然適用于更一般的一類速率函數(shù) γ :[0, ∞) → R 和發(fā)現(xiàn)了稅率超過1 的潛在稅收過程的變化。此外，文獻(xiàn)[9]還表明，只要選擇適當(dāng)?shù)摩茫瑪_動(dòng)過程可以通過兩種不同的方式連續(xù)地(即蠕變)進(jìn)入(-∞, 0)。

展 望

目前，我們看到大部分論文都是研究了Cramé r-Lundberg 過程和譜負(fù) Lévy 過程在最大值擾動(dòng)策略下首達(dá)時(shí)和破產(chǎn)時(shí)間的Laplace 變換，我們接下來還可以研究這兩個(gè)過程在最大值擾動(dòng)策略下首達(dá)時(shí)或破產(chǎn)時(shí)間和其相關(guān)占位時(shí)的聯(lián)合 Laplace 變換。