一題引路 深思而變

李燕

數(shù)學教材中的例題都是經過精心挑選的，具有典型性和示范性。若同學們能在學習的過程中認真理清例題的解題方法和所用知識點，并加以拓展，將是實現(xiàn)減負增效的有效途徑。下面以蘇科版數(shù)學九年級下冊第25頁的例題為例，談談例題的學習與拓展。

【原題呈現(xiàn)】不畫圖像，判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點。

【分析】例題是根據二次函數(shù)與一元二次方程的關系，將函數(shù)轉化為一元二次方程，再利用一元二次方程根的判別式，得到方程實數(shù)根的個數(shù)就是函數(shù)圖像與x軸交點的個數(shù)。即對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當b2-4ac>0時，二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時，二次函數(shù)的圖像與x軸有唯一的公共點（即頂點）;當b2-4ac<0時，二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點。

解：因為一元二次方程-x2+5x-8=0的根的判別式b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）=

-7<0，

所以方程-x2+5x-8=0沒有實數(shù)根，

所以二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸沒有公共點。

【點評】將函數(shù)圖像問題代數(shù)化，化繁為簡，巧妙地體現(xiàn)出二次函數(shù)圖像與一元二次方程是“形”與“數(shù)”的有機結合。

思考一、根據二次函數(shù)確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

變式1 若關于x的二次函數(shù)y=x2+x-a+[94]與x軸有兩個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是__________ 。

【解析】根據題意，得判別式Δ=1-4×（-a+[94]）>0，解得a>2。

【點評】根據拋物線與x軸的交點個數(shù)可以確定字母系數(shù)的取值范圍，其方法是根據拋物線與x軸的交點個數(shù)，推出b2-4ac值的性質，即列出關于字母系數(shù)的方程（或不等式），通過方程（或不等式）求解。

延伸1 已知二次函數(shù)y=x2+x+m，當x取任意實數(shù)時，都有y>0，則m的取值范圍是__________ 。

【解析】因為二次函數(shù)y=x2+x+m的圖像開口向上，又當x取任意實數(shù)時，都有y>0，所以b2-4ac=1-4m<0，解得m>[14]。

【點評】題面中沒有涉及函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)，但條件y>0巧妙地把“數(shù)與形”結合在一起，增強了知識聯(lián)系及延伸，增加了題目深度。

延伸2 已知函數(shù)y=（k-3）x2+2x+1的圖像與x軸有交點，則k的取值范圍是__________ 。

【解析】當k-3=0，即k=3時，函數(shù)為y=2x+1，此一次函數(shù)與x軸有一個交點;

當k-3≠0時，此函數(shù)為二次函數(shù)，當b2-4ac=4-4（k-3）≥0，即k≤4且k≠3時，函數(shù)圖像與x軸有交點。

綜上所述，當k≤4時，函數(shù)圖像與x軸有交點。

【點評】由于題中沒有明確函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，因此要分k-3=0和k-3≠0兩種情況進行討論。

思考二、根據二次函數(shù)求一元二次方程中的解及參數(shù)

變式2 二次函數(shù)y=x2+x-m的部分圖像如圖1所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解。

【解析】由圖知x2+x-m=0的一個根為1，所以12+1-m=0，即m=2，故一元二次方程為x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2，所以一元二次方程x2+x-m=0的解為x1=1，x2=-2。

【點評】此題還可以利用二次函數(shù)的對稱性求得此拋物線的對稱軸為直線x=[-12]，由圖知二次函數(shù)圖像與x軸的交點橫坐標為1，易求該二次函數(shù)圖像與x軸的另一交點的橫坐標為-2。

延伸1 已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點（-1，5），且無論m為何值，不等式a+b≥am2+bm恒成立，求一元二次方程ax2+bx+c=5的解。

【解析】因為不等式a+b≥am2+bm恒成立，所以a+b+c≥am2+bm+c恒成立，所以點（1，a+b+c）是拋物線的頂點，點（-1，5）關于直線x=1的對稱點為（3，5）。

當y=5時，x=-1或3，所以一元二次方程ax2+bx+c=5的解為x1=-1，x2=3。

故答案為x1=-1，x2=3。

【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點及拋物線對稱性，找到拋物線的頂點坐標是解題的關鍵。

延伸2 二次函數(shù)y=x2+bx的對稱軸為直線x=1，若關于x的方程x2+bx-t=0（t為實數(shù)）在-1

【解析】二次函數(shù)y=x2+bx的對稱軸為直線x=1，則x=[-b2a]=[-b2]=1，解得b=-2，所以二次函數(shù)的表達式為y=x2-2x，頂點為（1，-1）。

當x=-1時，y=4;當x=4時，y=8。

t的取值范圍為頂點至y=8之間的區(qū)域，即-1≤t<8。

【點評】把二次函數(shù)與不等式轉化為兩個函數(shù)圖像的交點問題求解，是解題的突破口，如果能作出圖形會顯得更為直觀。

思考三、根據二次函數(shù)確定不等式中的參數(shù)取值范圍

變式3 拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的圖像如圖2所示，則關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是__________ 。

【解析】圖像與x軸兩交點的橫坐標分別為x=-1與x=2，由圖像又知當-1

【點評】利用函數(shù)圖像解不等式。當函數(shù)值y>0時，圖像上的點在x軸的上方;當函數(shù)值y<0時，圖像上的點在x軸的下方。充分利用數(shù)形結合思想，能直觀地解決類似問題。

延伸1 拋物線y=a（x-h）2+k（a>0）經過（-1，2），（5，2）兩點，則關于x的不等式a（x-h-1）2+k≤2的解集為__________ 。

【解析】因為拋物線y=a（x-h）2+k（a>0）經過（-1，2），（5，2）兩點，所以大致圖像如圖3所示：

所以y=a（x-h-1）2+k（a>0）經過（0，2），（6，2）兩點，

所以關于x的不等式a（x-h-1）2+k≤2的解集為0≤x≤6。

故答案為0≤x≤6。

【點評】此題考查二次函數(shù)與不等式的知識。正確理解數(shù)形結合，合理分析是解題的關鍵。

延伸2 一元二次方程ax2-2ax+c=0有一個根為x=3，且y=ax2-2ax+c過點（2，-3），則不等式ax2-2ax+c≤-x-1的解為__________。

【解析】把點（2，-3）代入y=ax2-2ax+c，得4a-4a+c=-3，即c=-3。

把x=3代入ax2-2ax+c=0，得9a-6a+c=0，則3a-3=0，解得a=1，所以拋物線為y=x2-2x-3。

解方程x2-2x-3=-x-1，得x1=-1，x2=2，所以拋物線y=x2-2x-3與直線y=-x-1的交點的橫坐標分別為-1和2，即不等式ax2-2ax+c≤-x-1的解集為-1≤x≤2。

故答案為-1≤x≤2。

【點評】本題是利用兩個函數(shù)的圖像在坐標系中的位置關系，求自變量的取值范圍，可作圖利用交點求解，也可把兩個函數(shù)列成不等式求解。

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學教育集團城東分校）