輻照硬化位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬的研究進(jìn)展

吳愷慆，史佳慶，劉桂森，沈 耀

(上海交通大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200240)

利用核能發(fā)電是解決人類能源問題的主要途經(jīng)之一。由于極端的服役環(huán)境，反應(yīng)堆用結(jié)構(gòu)材料的設(shè)計(jì)始終面臨嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。常用的金屬結(jié)構(gòu)材料經(jīng)過輻照后力學(xué)性能會(huì)發(fā)生改變，如輻照硬化、脆化等[1-2]。材料的輻照硬化和脆化現(xiàn)象具有相關(guān)性，理解輻照硬化機(jī)理有助于進(jìn)一步研究輻照脆化效應(yīng)[2-3]。

宏觀上材料力學(xué)性能的變化與輻照引起的微觀組織變化有關(guān)。核反應(yīng)產(chǎn)生的大量高能粒子與結(jié)構(gòu)材料的晶格原子碰撞，后者吸收前者的動(dòng)能，進(jìn)一步與其他晶格原子發(fā)生級(jí)聯(lián)碰撞，產(chǎn)生大量過飽和的空位和間隙原子。級(jí)聯(lián)反應(yīng)產(chǎn)生的空位和間隙原子大都快速發(fā)生復(fù)合，但仍有部分會(huì)在晶體內(nèi)部聚集形成間隙、空位團(tuán)簇或擴(kuò)散至表面、晶界處，隨后逐步演化形成位錯(cuò)環(huán)、層錯(cuò)四面體和空洞等缺陷。高能粒子轟擊原子還會(huì)產(chǎn)生嬗變?cè)?。尺寸較小的嬗變?cè)厝鐨洹⒑ひ着c空位結(jié)合，降低孔洞的形核難度，加速孔洞的形成。此外材料中的雜質(zhì)原子依靠級(jí)聯(lián)反應(yīng)加速擴(kuò)散、聚集，導(dǎo)致析出相的形成[4]。

位錯(cuò)是金屬材料塑性變形的主要載體。輻照產(chǎn)生的缺陷對(duì)位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生阻礙，被認(rèn)為是輻照硬化效應(yīng)的主要原因[5]。實(shí)驗(yàn)上，在透射電子顯微鏡(TEM)下原位拉伸輻照后的樣品，能觀察到輻照缺陷對(duì)位錯(cuò)滑移的阻礙作用，但很難將其與宏觀力學(xué)性能關(guān)聯(lián)[6]；對(duì)輻照后的塊體樣品進(jìn)行力學(xué)試驗(yàn)，能獲得宏觀力學(xué)響應(yīng)以及加載后微觀組織的變化，但很難有效捕捉加載過程中的微觀過程[7]。位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬方法可彌補(bǔ)以上實(shí)驗(yàn)的不足[8]。位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)將位錯(cuò)視為彈性體中的線缺陷，忽略原子細(xì)節(jié)，對(duì)位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行離散劃分后根據(jù)彈性理論和晶體學(xué)理論計(jì)算位錯(cuò)的運(yùn)動(dòng)，獲得外加載荷下位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)的演化過程和宏觀力學(xué)響應(yīng)，揭示晶體變形的機(jī)理[9]。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮輻照缺陷與位錯(cuò)的相互作用，可模擬輻照缺陷對(duì)位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)演化和力學(xué)響應(yīng)的影響。位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)能在材料微觀組織變化和宏觀力學(xué)響應(yīng)間建立起橋梁，成為輻照硬化機(jī)理研究的重要工具[10-12]。本文擬對(duì)位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)方法在輻照硬化效應(yīng)研究中的應(yīng)用進(jìn)行綜述，主要關(guān)注位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模型、不同輻照缺陷硬化效應(yīng)的位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬以及輻照硬化理論模型三個(gè)方面，為后續(xù)輻照硬化機(jī)理研究提供參考。

1 位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)的離散劃分

任意形狀的位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)都可劃分為一定數(shù)量的離散位錯(cuò)段，如圖1所示。所有位錯(cuò)段的長度、位置、所在滑移系以及連接關(guān)系的集合就是位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)的完整描述。值得注意的是，連接同一滑移系位錯(cuò)段的點(diǎn)稱為分化節(jié)點(diǎn)，可根據(jù)位錯(cuò)線彎曲的程度增減數(shù)量，而連接不同滑移系位錯(cuò)段的點(diǎn)稱為物理節(jié)點(diǎn)，具有實(shí)際物理意義，通常是位錯(cuò)反應(yīng)的產(chǎn)物，不可隨意增減[13]。物理節(jié)點(diǎn)還包括終止于表面的節(jié)點(diǎn)或弗蘭克里德源端點(diǎn)等。

圖1 由離散位錯(cuò)段構(gòu)成的位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.1 Schematic diagram of dislocation network composed of discrete dislocation segment

1.2 位錯(cuò)的受力

作用在位錯(cuò)節(jié)點(diǎn)上的力f等于位錯(cuò)構(gòu)型總能量Etot的負(fù)梯度[14]：

f=-?Etot/?r

(1)

其中：r為位錯(cuò)節(jié)點(diǎn)位置；負(fù)號(hào)表示朝著能量降低的方向進(jìn)行。實(shí)際計(jì)算中，位錯(cuò)線受力通常分開考慮，包括位錯(cuò)線張力fline、位錯(cuò)間的相互作用力fseg、外力fext和輻照缺陷的作用力firr：

f=fline+fseg+fext+firr

(2)

由于位錯(cuò)的應(yīng)變能與長度呈正比，位錯(cuò)為降低能量而力求縮短自身長度。這種縮短的趨勢(shì)可視為作用在位錯(cuò)上的線張力T，即單位長度位錯(cuò)的應(yīng)變能。位錯(cuò)線張力的定義為增加單位長度位錯(cuò)所需的能量，通常估算為：

T≈μb2/2

(3)

其中：μ為剪切模量；b為柏氏矢量的大小。對(duì)于一段彎曲的位錯(cuò)，由于線張力作用導(dǎo)致單位長度位錯(cuò)受到的側(cè)向力(垂直于位錯(cuò)線的力)，方向指向曲率中心，其表達(dá)式如下：

fline=T/R

(4)

其中，R為曲率半徑。

位錯(cuò)受到的外力以及其他位錯(cuò)的作用力，可根據(jù)Peach-Koehler公式由所在位置應(yīng)力場(chǎng)求得[14]：

fext+fseg=(σext+σseg)b×ξ

(5)

其中：b為柏氏矢量；ξ為位錯(cuò)線方向；σext和σseg分別為外加載荷和其他位錯(cuò)段的應(yīng)力場(chǎng)。

輻照缺陷周圍的應(yīng)力場(chǎng)也與位錯(cuò)存在著相互作用，不同類型輻照缺陷的影響不盡相同，需分別進(jìn)行考慮。

1.3 位錯(cuò)的運(yùn)動(dòng)

位錯(cuò)受力運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)控制方程[15]可表示為：

f-Bv-mdv/dt=0

(6)

其中：v為位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)速度；t為時(shí)間；B為黏性阻尼系數(shù)；m為位錯(cuò)的等效質(zhì)量。常溫下，滑移速度遠(yuǎn)小于聲速的位錯(cuò)，其運(yùn)動(dòng)處于過阻尼區(qū)域，即位錯(cuò)在力的作用下瞬時(shí)達(dá)到穩(wěn)定速度，位錯(cuò)的質(zhì)量效應(yīng)可忽略[14]。因此位錯(cuò)速度與受力呈正比：

v=f/B

(7)

位錯(cuò)滑移的黏性阻尼系數(shù)B可由分子動(dòng)力學(xué)模擬計(jì)算得到，一般在10-4Pa·s量級(jí)[16-17]。

1.4 位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)與塑性應(yīng)變

大量位錯(cuò)的運(yùn)動(dòng)引起材料的宏觀塑性變形。假想在一塊長為L、高為H的彈性體中，從一端產(chǎn)生一根刃位錯(cuò)并持續(xù)滑移至另一端(圖2)，產(chǎn)生的平均塑性應(yīng)變?chǔ)脼椋?/p>

γ=b/H

(8)

若位錯(cuò)僅滑移至彈性體中的l處，則此時(shí)平均塑性應(yīng)變[18]為：

γ=(b/H)(l/L)=bA/V

(9)

其中：A為位錯(cuò)滑過的面積；V為彈性體體積。

圖2 刃位錯(cuò)在彈性體內(nèi)滑移產(chǎn)生剪切應(yīng)變的過程Fig.2 Shear strain production by edge dislocation slipping in elastic body

將式(9)推廣至一般情況，若某一位錯(cuò)段柏氏矢量為b、滑移面法向?yàn)閚，在Δt時(shí)間內(nèi)滑過的面積為ΔA，加和所有位錯(cuò)段滑移產(chǎn)生的塑性應(yīng)變得[13]：

(10)

1.5 位錯(cuò)的碰撞反應(yīng)

當(dāng)位錯(cuò)與其他位錯(cuò)或輻照缺陷相遇時(shí)會(huì)發(fā)生碰撞反應(yīng)，導(dǎo)致位錯(cuò)構(gòu)型發(fā)生變化。

位錯(cuò)與位錯(cuò)碰撞發(fā)生反應(yīng)在實(shí)驗(yàn)和原子尺度模擬中均得到了驗(yàn)證[19]。原子尺度模擬的刃位錯(cuò)與螺位錯(cuò)碰撞形成位錯(cuò)結(jié)的過程示于圖3[20]。因?yàn)榕鲎卜磻?yīng)涉及的位錯(cuò)核心結(jié)構(gòu)的變化很難用彈性理論描述，在位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模型中需額外設(shè)定碰撞反應(yīng)機(jī)制。Bulatov等[13]采用能量最速下降原理處理位錯(cuò)碰撞后的構(gòu)型變化，能有效模擬位錯(cuò)的共線湮滅、位錯(cuò)結(jié)的形成等過程，如圖4所示。當(dāng)兩段位錯(cuò)的最短距離低于閾值時(shí)判定發(fā)生碰撞(圖4a)，形成長度為0的位錯(cuò)段j—k，即位錯(cuò)結(jié)的形核點(diǎn)(圖4b)。j和k有多種連接初始節(jié)點(diǎn)的方式，圖4c、d展示了兩種可能的方式。根據(jù)能量最速下降原理，選取能量降低最多的構(gòu)型作為最終構(gòu)型[13]。

圖3 分子動(dòng)力學(xué)模擬的刃位錯(cuò)與螺位錯(cuò)碰撞產(chǎn)生位錯(cuò)結(jié)的過程[20]Fig.3 Process of junction formation by collision of edge and screw dislocation by molecular dynamics[20]

根據(jù)以上分析得到位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬流程，如圖5所示，具體過程如下：1) 輸入初始信息，包括初始位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型、材料常數(shù)等；2) 計(jì)算位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)位錯(cuò)段的受力；3) 根據(jù)位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)控制方程計(jì)算位錯(cuò)速度；4) 利用時(shí)間積分法計(jì)算位錯(cuò)的位移，特別是節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)；5) 計(jì)算由位錯(cuò)移動(dòng)產(chǎn)生的塑性應(yīng)變，根據(jù)加載條件輸出應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)；6) 判斷位錯(cuò)是否發(fā)生碰撞，并根據(jù)能量最速下降原理處理碰撞反應(yīng)；7) 調(diào)整位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)的劃分，重復(fù)步驟2。

圖4 位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模型中位錯(cuò)段的碰撞過程Fig.4 Collision between dislocation segments in dislocation dynamics model

圖5 位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬流程Fig.5 Flow diagram of dislocation dynamics simulation

2 輻照硬化的位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬

目前所用位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)軟件主要包括ParaDiS[14]、microMegas[21]、PDD[22]等。但這些軟件通常不包含輻照缺陷相關(guān)模塊。為模擬輻照硬化效應(yīng)，需建立不同類型輻照缺陷與位錯(cuò)間的相互作用模型，并在現(xiàn)有軟件框架中增加位錯(cuò)與輻照缺陷作用的模塊，這些是位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬輻照硬化所需解決的核心問題。輻照缺陷對(duì)位錯(cuò)的影響主要體現(xiàn)在彈性相互作用和碰撞過程中的構(gòu)型變化。彈性相互作用可通過彈性理論分析求解，而碰撞涉及的構(gòu)型變化涉及原子過程，通常根據(jù)原子尺度的模擬結(jié)果提煉碰撞機(jī)制。典型的輻照缺陷包括位錯(cuò)環(huán)、層錯(cuò)四面體、析出相、空洞和氣泡，它們與位錯(cuò)的相互作用不盡相同。

2.1 位錯(cuò)環(huán)和層錯(cuò)四面體

fcc、bcc和hcp結(jié)構(gòu)的金屬經(jīng)輻照后，都能觀察到位錯(cuò)環(huán)的產(chǎn)生[4]。位錯(cuò)環(huán)主要包括間隙型和空位型兩種，其中柏氏矢量與所在平面的法向重合的位錯(cuò)環(huán)也被稱為棱柱環(huán)[23]。層錯(cuò)四面體是由4個(gè)層錯(cuò)面構(gòu)成的四面體，其6條邊均為壓桿位錯(cuò)，是低層錯(cuò)能fcc金屬特有的輻照缺陷[24]。

位錯(cuò)環(huán)和層錯(cuò)四面體具有位錯(cuò)特征，二者應(yīng)力場(chǎng)均存在解析解，可通過Peach-Koehler公式計(jì)算它們與位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)的彈性相互作用。然而位錯(cuò)碰撞位錯(cuò)環(huán)和層錯(cuò)四面體的過程十分復(fù)雜。從分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果可知，位錯(cuò)環(huán)和層錯(cuò)四面體的尺寸、取向以及中心至位錯(cuò)滑移面的距離都會(huì)影響碰撞反應(yīng)的結(jié)果。主要的反應(yīng)結(jié)果包括位錯(cuò)環(huán)被完全或部分納入位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)、層錯(cuò)四面體尺寸變小、螺位錯(cuò)發(fā)生螺旋彎曲、刃位錯(cuò)產(chǎn)生雙割階、位錯(cuò)拖拽位錯(cuò)環(huán)移動(dòng)等[25-31]。

在位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)中，可用位錯(cuò)段構(gòu)成的多邊形和四面體表示位錯(cuò)環(huán)和層錯(cuò)四面體。通過優(yōu)化位錯(cuò)段間的碰撞機(jī)制[32-33]、引入位錯(cuò)結(jié)的運(yùn)動(dòng)[34]和考慮fcc晶體中不全位錯(cuò)的合并分解機(jī)制[35-37]，位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬能復(fù)現(xiàn)原子尺度模擬中位錯(cuò)與位錯(cuò)環(huán)、層錯(cuò)四面體碰撞過程中的構(gòu)型變化。Arsenlis等[10]根據(jù)1.5節(jié)中的位錯(cuò)間碰撞規(guī)則，模擬了鐵中位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)與大量〈111〉間隙型位錯(cuò)環(huán)的反應(yīng)，觀察到輻照硬化效應(yīng)和無缺陷通道的形成，如圖6所示。Shi等[34]對(duì)位錯(cuò)段碰撞機(jī)制進(jìn)行優(yōu)化并考慮了鐵中〈100〉位錯(cuò)的運(yùn)動(dòng)，模擬刃位錯(cuò)與〈100〉間隙位錯(cuò)環(huán)反應(yīng)，結(jié)果示于圖7。由圖7可知，不僅位錯(cuò)構(gòu)型的變化與原子模擬結(jié)果一致，反應(yīng)過程的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的趨勢(shì)也相同。

上述方法中構(gòu)成缺陷的每一小段位錯(cuò)長度僅為1 nm左右[34-35]，位錯(cuò)段的精細(xì)劃分導(dǎo)致計(jì)算量增大。在模擬塊體材料輻照硬化效應(yīng)時(shí)，有必要簡(jiǎn)化缺陷模型以提高計(jì)算效率。一種可行的方法是將位錯(cuò)環(huán)或?qū)渝e(cuò)四面體粗粒化，當(dāng)它們與位錯(cuò)距離較遠(yuǎn)時(shí)僅考慮彈性相互作用，在與位錯(cuò)碰撞過程中根據(jù)反應(yīng)條件設(shè)定每個(gè)缺陷的總體變化，如被完全吸收而消失、被部分吸收而尺寸變小或不發(fā)生變化等[38-45]。這種方法忽略了輻照缺陷與位錯(cuò)的反應(yīng)細(xì)節(jié)，可提高計(jì)算效率，但需提前設(shè)定碰撞反應(yīng)的結(jié)果。文獻(xiàn)[38]即根據(jù)分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果，設(shè)定層錯(cuò)四面體與位錯(cuò)碰撞后立即被吸收，繼而模擬了銅中不同密度層錯(cuò)四面體與位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)相互作用，觀察到宏觀硬化和無缺陷通道的形成。

圖6 不同密度位錯(cuò)環(huán)導(dǎo)致的輻照硬化效應(yīng)(a)及位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)與高密度間隙型位錯(cuò)環(huán)相互作用產(chǎn)生的無缺陷通道(b)[10]Fig.6 Irradiation hardening effect caused by dislocation loop with different number densities (a) and defect-free channel produced by interaction between dislocation network and high density interstitial loop (b)[10]

除將輻照缺陷粗粒化的方法，Cui等[46]對(duì)位錯(cuò)環(huán)采用連續(xù)化處理，用數(shù)密度函數(shù)表示位錯(cuò)環(huán)在空間的分布。位錯(cuò)在滑移時(shí)須克服來自位錯(cuò)環(huán)的阻力，該阻力與位錯(cuò)所處位置的位錯(cuò)環(huán)數(shù)密度及平均尺寸相關(guān)。此外，位錯(cuò)滑移過后位錯(cuò)環(huán)被吸收的效應(yīng)體現(xiàn)為位錯(cuò)滑過的區(qū)域位錯(cuò)環(huán)數(shù)密度下降。Cui等[12,46]據(jù)此模擬了微柱輻照后的壓縮過程，觀察到了輻照硬化和塑性失穩(wěn)的現(xiàn)象，研究了微柱尺寸和位錯(cuò)交滑移對(duì)無缺陷通道寬度的影響，并定量估算了產(chǎn)生無缺陷通道所需的臨界缺陷密度，結(jié)果如圖8所示。連續(xù)化處理的方法適用于缺陷對(duì)位錯(cuò)的阻礙作用及其自身演化細(xì)節(jié)明確的情況，是模擬高密度、小尺寸輻照缺陷硬化效應(yīng)的高效方案。

a、b——微柱尺寸300 nm，有交叉滑移和無交叉滑移；c、d——微柱尺寸1 500 nm，有交叉滑移和無交叉滑移圖8 微柱尺寸和位錯(cuò)交滑移機(jī)制對(duì)生成無缺陷通道寬度的影響[12]Fig.8 Influences of micropillar size and dislocation cross slip mechanism on width of defect-free channel[12]

位錯(cuò)環(huán)和層錯(cuò)四面體的應(yīng)力場(chǎng)都有解析解，它們與位錯(cuò)的彈性相互作用可通過Peach-Koehler公式計(jì)算得到。它們與位錯(cuò)碰撞過程中的變化較為復(fù)雜，主要有3種處理方式。第1種是用位錯(cuò)段構(gòu)成的多邊形和四面體表示位錯(cuò)環(huán)和層錯(cuò)四面體，根據(jù)位錯(cuò)段間的碰撞機(jī)制處理。這種方法能復(fù)現(xiàn)分子動(dòng)力學(xué)模擬的構(gòu)型變化，但計(jì)算量大，更適用于單一缺陷與位錯(cuò)反應(yīng)的機(jī)理研究。第2種是將位錯(cuò)環(huán)和層錯(cuò)四面體粗?；崆霸O(shè)定碰撞反應(yīng)的結(jié)果以提高計(jì)算效率，用于研究大量輻照缺陷與位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)相互作用的規(guī)律。粗粒化處理依賴已知的碰撞反應(yīng)結(jié)果，一般可由原子尺度模擬結(jié)果提煉獲得。第3種是將輻照缺陷連續(xù)化，用數(shù)密度函數(shù)表示輻照缺陷的空間分布，是模擬高密度、小尺寸輻照缺陷硬化效應(yīng)的高效方案。連續(xù)化處理依賴前2種方案的結(jié)果，需要定量輸入位錯(cuò)滑移阻力與輻照缺陷數(shù)密度、平均尺寸的關(guān)系，以及位錯(cuò)滑移造成的輻照缺陷密度變化。

2.2 析出相

成分、結(jié)構(gòu)不同的析出相對(duì)位錯(cuò)滑移的影響具有顯著差異，Argon總結(jié)析出相與位錯(cuò)相互作用的微觀機(jī)制，包括化學(xué)強(qiáng)化、層錯(cuò)強(qiáng)化、原子排列強(qiáng)化、共格強(qiáng)化和模量強(qiáng)化，一種析出相一般具備多種強(qiáng)化機(jī)制[47]。

化學(xué)強(qiáng)化、層錯(cuò)強(qiáng)化、原子排列強(qiáng)化是由于位錯(cuò)碰撞析出相時(shí)額外產(chǎn)生新的界面引起的?；瘜W(xué)強(qiáng)化對(duì)應(yīng)析出相-基體界面，層錯(cuò)強(qiáng)化對(duì)應(yīng)fcc金屬中共格析出相的層錯(cuò)面，而原子排列強(qiáng)化對(duì)應(yīng)超點(diǎn)陣析出相中的反相界面。若位錯(cuò)穿過析出相額外產(chǎn)生新的界面，單位面積界面能為χ，則單位長度位錯(cuò)受到的阻礙應(yīng)力為τback=-χ/b，負(fù)號(hào)表示與驅(qū)動(dòng)位錯(cuò)前進(jìn)的切應(yīng)力相反。Huang等[48]根據(jù)鎳基合金中的γ′相的反相界面能設(shè)定位錯(cuò)穿過時(shí)的阻礙應(yīng)力，研究了析出相尺寸、形狀對(duì)鎳基合金力學(xué)性能的影響。Rawlings等[49]根據(jù)Fe-Ni-Al-Cr合金中B2-NiAl析出相的反相界面能設(shè)定位錯(cuò)受到的阻礙應(yīng)力，研究了不同尺寸和體積比的析出相對(duì)位錯(cuò)滑移的阻礙。

共格強(qiáng)化由析出相與基體原子尺寸差異引起，而模量強(qiáng)化由析出相與基體模量差引起，這兩種差異導(dǎo)致析出相周圍存在應(yīng)力場(chǎng)并與位錯(cuò)發(fā)生彈性相互作用。尺寸和模量的差異在復(fù)雜位錯(cuò)結(jié)構(gòu)上的作用力沒有解析解，一般采用數(shù)值法計(jì)算。Shin等[50]采用有限元法計(jì)算了球形析出相模量差引起的應(yīng)力場(chǎng)，模擬位錯(cuò)繞過不同模量析出相的過程，發(fā)現(xiàn)臨界分切應(yīng)力與模量差的0.6次方呈正比。Santos-Guemes等[51-52]則采用快速傅里葉變換法計(jì)算Al-Cu合金中圓盤狀θ′相周圍的應(yīng)力場(chǎng)，模擬位錯(cuò)繞過不同取向θ′相的過程，進(jìn)一步研究了位錯(cuò)繞過隨機(jī)分布的θ′相所需的臨界分切應(yīng)力，得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。

一些研究采用簡(jiǎn)單函數(shù)唯象描述析出相周圍應(yīng)力場(chǎng)與位錯(cuò)的相互作用。Fan等[53]采用指數(shù)函數(shù)描述球形析出相對(duì)位錯(cuò)間的阻礙應(yīng)力，若位錯(cuò)段微元與半徑為rp的析出相距離為r，則：

(11)

其中：τin為位錯(cuò)穿過析出相時(shí)產(chǎn)生額外界面的阻力；k為應(yīng)力場(chǎng)衰減系數(shù)。他們利用分子動(dòng)力學(xué)擬合了多種鋁合金中析出相的τin和k，研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)析出相總體積一定時(shí)，位錯(cuò)滑移臨界分切應(yīng)力隨析出相尺寸的增加呈現(xiàn)雙峰[53]。Lehtinen等[54]采用高斯函數(shù)描述球形析出相與單位長度位錯(cuò)間相互作用能(式(12))，進(jìn)而得到單位長度位錯(cuò)線上的受力(式(13))，方向由析出相中心指向位錯(cuò)。他們計(jì)算鐵中單根刃位錯(cuò)滑過不同間距2 nm碳化物的臨界分切應(yīng)力，通過調(diào)節(jié)參數(shù)A獲得了與分子動(dòng)力學(xué)模擬一致的結(jié)果。

(12)

其中，A為析出相釘扎強(qiáng)度。

(13)

對(duì)于一些界面能較高或與基體非共格的析出相，位錯(cuò)通常以O(shè)rowan形式繞過，硬球模型是一種合理的簡(jiǎn)化并得到了廣泛應(yīng)用。硬球模型忽略析出相產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)，僅設(shè)定位錯(cuò)不能穿過析出相-基體界面。Bakó等[55]利用硬球模型研究了ODS鋼中Y2O3析出相的硬化效應(yīng)，模擬了隨機(jī)分布析出相對(duì)位錯(cuò)滑移的阻礙，得到了與實(shí)驗(yàn)一致的結(jié)果。Queyreau等[56]利用硬球模型研究了鐵基體中大量球形碳化物和林位錯(cuò)對(duì)主滑移系位錯(cuò)阻礙的協(xié)同作用，驗(yàn)證了硬化項(xiàng)疊加的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系。

2.3 空洞和氦泡

空洞和氦泡對(duì)位錯(cuò)滑移的影響在原子尺度模擬中被廣泛研究[57-67]?？斩春途哂衅胶鈨?nèi)壓的氦泡對(duì)位錯(cuò)的作用相近，如圖9所示[68]。當(dāng)位錯(cuò)靠近空洞時(shí)先受到吸引，發(fā)生碰撞后斷開，形成2段位錯(cuò)，并在空洞表面上滑移。在外力作用下2段位錯(cuò)復(fù)合離開表面，空洞表面留下1個(gè)臺(tái)階。

圖9 刃位錯(cuò)與空洞相互作用的分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果[68]Fig.9 Interaction process between edge dislocation and void by molecular dynamics[68]

位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬空洞和氦泡對(duì)位錯(cuò)滑移影響的難點(diǎn)在于表面的作用。自由表面導(dǎo)致位錯(cuò)受到鏡像力作用，通常采用疊加法進(jìn)行求解[69-71]，如圖10所示。首先根據(jù)位錯(cuò)在無限大基體中的應(yīng)力場(chǎng)σ∞計(jì)算其在假想表面上產(chǎn)生的力(圖10a)。通過在自由表面疊加相反的力以達(dá)到自由表面上合力為0的邊界條件，使用有限元法數(shù)值求解反向疊加的力產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)σr(圖10b)。將兩個(gè)應(yīng)力場(chǎng)疊加即為實(shí)際應(yīng)力場(chǎng)(圖10c)，進(jìn)而根據(jù)Peach-Koehler公式可得位錯(cuò)受到的鏡像力：

fimg=σrb×ξ

(14)

此外，終止于表面的位錯(cuò)在移動(dòng)時(shí)留下臺(tái)階即產(chǎn)生新的表面，因此在表面移動(dòng)的位錯(cuò)受到額外的阻礙應(yīng)力-χsur/b，其中χsur為單位面積表面能。Scattergood等[72]近似計(jì)算了終止于空洞表面的位錯(cuò)段所受鏡像力，但忽略其余位錯(cuò)受到的鏡像力，模擬了空洞對(duì)螺、刃位錯(cuò)滑移的阻礙。Crone等[73]利用有限元法計(jì)算鏡像力，研究了空洞表面臺(tái)階以及空洞周圍應(yīng)力集中區(qū)對(duì)位錯(cuò)滑移的影響。

圖10 疊加法計(jì)算的位錯(cuò)所受鏡像力Fig.10 Image force on dislocation through superposition method

在位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬中，準(zhǔn)確計(jì)算位錯(cuò)受到的鏡像力涉及有限元法的同步計(jì)算，計(jì)算量大，因此有研究采用唯象模型簡(jiǎn)化處理。Kumar等[74]將氦泡視為析出相，假定位錯(cuò)進(jìn)入時(shí)受到恒定的阻礙應(yīng)力，模擬了氦泡尺寸對(duì)屈服應(yīng)力的影響。Sobie等[75]則忽略空洞表面鏡像力的作用，根據(jù)分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果設(shè)定位錯(cuò)脫離空洞釘扎所需彎曲的角度，模擬了隨機(jī)分布空洞對(duì)單根位錯(cuò)滑移的阻礙。這兩種唯象模型依賴分子動(dòng)力學(xué)結(jié)果確定參數(shù)，應(yīng)用范圍受限。目前常用的輻照缺陷與位錯(cuò)間作用模型列于表1。

表1 輻照缺陷與位錯(cuò)相互作用模型Table 1 Interaction model of irradiation defect and dislocation

3 輻照硬化理論模型

通過分析材料輻照后位錯(cuò)結(jié)構(gòu)變化對(duì)宏觀力學(xué)性能的影響，建立輻照硬化理論模型，是預(yù)測(cè)輻照硬化效應(yīng)的有效手段。目前基于輻照缺陷與位錯(cuò)相互作用的理論硬化模型主要包括DBH模型[76]、BKS模型[77]、FKH模型[78]和CISH模型[79]。通過實(shí)驗(yàn)觀察和測(cè)量，獲得的輻照缺陷種類、數(shù)密度、平均尺寸以及材料屈服強(qiáng)度的變化量，被用于確定各硬化模型適用的缺陷類型，并擬合模型參數(shù)。一般情況下，DBH模型適用于描述析出相造成的硬化，BKS模型適用于描述空洞或析出相造成的硬化，F(xiàn)KH模型適用于描述位錯(cuò)環(huán)或空位團(tuán)簇造成的硬化，而CISH模型適用于描述高密度小尺寸間隙、空位團(tuán)簇對(duì)位錯(cuò)源釘扎造成的硬化。位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)也能模擬單一種類輻照缺陷的硬化效應(yīng)，為硬化模型選取和參數(shù)擬合提供了另一途徑。此外，位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)能模擬多種類型缺陷的協(xié)同作用，分析協(xié)同硬化效應(yīng)的機(jī)理，為理論硬化模型的經(jīng)驗(yàn)疊加提供數(shù)據(jù)。

3.1 DBH模型

輻照硬化源于輻照缺陷對(duì)位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的阻礙。考慮無限長位錯(cuò)通過周期性排列輻照缺陷的過程(圖11)，計(jì)算所需外加切應(yīng)力。將輻照缺陷簡(jiǎn)化為釘扎點(diǎn)，忽略位錯(cuò)間的相互作用，此時(shí)外力僅與彎曲位錯(cuò)的線張力保持平衡。假定位錯(cuò)彎曲至θc時(shí)脫釘，根據(jù)式(4)可得脫釘所需的外加臨界分切應(yīng)力τc：

τc=2T(sinθc)/bl

(15)

其中，l為輻照缺陷的平均間距[47]。

圖11 位錯(cuò)通過周期性排列輻照缺陷Fig.11 Dislocation by passing periodic array of irradiation induced defect

設(shè)輻照缺陷的平均尺寸為d、數(shù)密度為N，若一段位錯(cuò)滑過面積A，那么所碰撞的輻照缺陷數(shù)量為(Ad)·N，對(duì)應(yīng)單位面積上的碰撞數(shù)量為Nd，因此滑移面上輻照缺陷的平均間距為：

l=(Nd)-1/2

(16)

輻照缺陷對(duì)位錯(cuò)的釘扎強(qiáng)度取決于彎曲角度θc的大小，引入缺陷強(qiáng)度因子αDBH替代sinθc，取T=μb2/2，再將式(16)代入式(15)，可得：

(17)

式(17)即為被廣泛應(yīng)用的DBH 模型[76]。

3.2 BKS模型

在DBH模型的基礎(chǔ)上，Bacon等[77]又發(fā)展出了BKS模型。首先他們選取更為精確的線張力表達(dá)式：

(18)

(19)

接著考慮缺陷隨機(jī)分布的影響，如圖12所示。對(duì)于不可穿過析出相，空間中隨機(jī)分布使得位錯(cuò)脫釘?shù)膹澖铅取鋍小于90°。假想一段兩端被釘扎的位錯(cuò)，若脫釘所需達(dá)到的臨界彎角為θ′c，位錯(cuò)應(yīng)變能外截?cái)喟霃皆O(shè)為l，則位錯(cuò)脫釘?shù)呐R界分切應(yīng)力為：

(20)

圖12 缺陷空間分布對(duì)位錯(cuò)脫釘所需達(dá)到彎角的影響Fig.12 Influence of defect spatial distribution on critical angle for dislocation to bypass

綜合式(19)、(20)可得：

(21)

另外，滑移面上缺陷之間的平均距離l并非實(shí)際釘扎位錯(cuò)線的缺陷平均間距λ，式(15) 應(yīng)改為：

τc=2T(sinθc)/bλ

(22)

Freidel等[47]認(rèn)為，在流變應(yīng)力下，位錯(cuò)每脫離一個(gè)缺陷的釘扎后向前滑移，立刻被另一個(gè)缺陷捕獲，這一過程中位錯(cuò)平均滑過的面積應(yīng)等于滑移面上單個(gè)缺陷所占的平均面積。如圖13所示，當(dāng)位錯(cuò)脫離O處的釘扎向前滑移至O′處時(shí)，假定弧AO、BO和AB的曲率半徑都為R，灰色區(qū)域的面積S為：

S=λ3/2R

(23)

滑移面上單個(gè)缺陷所占平均面積為l2，將R=λ/2sinθc代入式(23)可得：

λ=l(sinθc)-1/2

(24)

此處λ稱為Freidel采樣長度[47]。

圖13 位錯(cuò)在隨機(jī)分布缺陷中的滑移Fig.13 Dislocation slipping through randomly distributed defect

將式(21)和式(24)代入式(22)中可得：

(25)

式(25)即為BKS模型的表達(dá)式。參數(shù)Δ取決于缺陷類型，不可穿過粒子的Δ為1.52，而空洞的為0.77。

3.3 FKH模型

FKH模型主要基于直位錯(cuò)與棱柱環(huán)之間的彈性相互作用[78]，如圖14所示，根據(jù)無限小位錯(cuò)環(huán)假設(shè)，位錯(cuò)與棱柱環(huán)間的相互作用能為：

E=An·σ·b

(26)

其中：A為棱柱環(huán)面積；n為棱柱環(huán)法向；σ為位錯(cuò)在棱柱環(huán)中心處應(yīng)力場(chǎng)。將位錯(cuò)應(yīng)力場(chǎng)代入式(26)可得：

E=ζμb2d2/y

(27)

ζ取決于位錯(cuò)類型、棱柱環(huán)的取向和夾角θ。

圖14 直位錯(cuò)與位錯(cuò)環(huán)的相互作用Fig.14 Interaction between straight dislocation and dislocation loop

進(jìn)一步可得位錯(cuò)與棱柱環(huán)間的相互作用力：

F=ζμb2d2/y2

(28)

Kroupa等[78]計(jì)算了fcc晶體中螺、刃位錯(cuò)與不同取向棱柱環(huán)的相互作用能，得到ζ隨θ的變化關(guān)系。計(jì)算每種情況下ζ的極值并取平均，得ζ≈1/16。當(dāng)y=d/2時(shí)，位錯(cuò)與棱柱環(huán)相遇，此時(shí)二者間的相互作用能為E≈μb2d/8而相互作用力為F≈μb2/4。

將位錯(cuò)與棱柱環(huán)的相互作用力視為對(duì)位錯(cuò)的釘扎力，由于該力隨距離的平方遞減，僅有距離較近的位錯(cuò)環(huán)對(duì)位錯(cuò)產(chǎn)生實(shí)際釘扎作用。若沿著位錯(cuò)平均分布有間距為λ的位錯(cuò)環(huán)，位錯(cuò)脫釘所需外加的臨界分切應(yīng)力為：

τc=F/bλ

(29)

λ取Freidel采樣長度，根據(jù)式(22)和式(24)可得：

(30)

其中，E=τcbl2，可理解為位錯(cuò)滑過l2面積外力所做的功等于位錯(cuò)與位錯(cuò)環(huán)之間的相互作用能。綜合式(27)、(29)、(30)可得：

(31)

FKH模型更適用于描述釘扎強(qiáng)度較弱的缺陷[6]。

3.4 CISH模型

Singh等[79]借鑒了Cottrell氣團(tuán)的概念，認(rèn)為輻照產(chǎn)生的小棱柱環(huán)在位錯(cuò)應(yīng)力場(chǎng)作用下聚集在位錯(cuò)周圍并阻礙位錯(cuò)源開動(dòng)。在外力作用下位錯(cuò)靠近棱柱環(huán)，當(dāng)距離小于臨界距離ys時(shí)認(rèn)為棱柱環(huán)被位錯(cuò)吸收，且釘扎作用消失，位錯(cuò)源得以開動(dòng)，因此產(chǎn)生了屈服后外力下降的現(xiàn)象。取臨界距離ys下位錯(cuò)環(huán)與位錯(cuò)的相互作用力作為釘扎力，根據(jù)式(28)、(29)可得：

(32)

參數(shù)αCISH取決于位錯(cuò)環(huán)與位錯(cuò)的相對(duì)取向關(guān)系，通常在0.1左右。實(shí)驗(yàn)中，CISH模型成功預(yù)測(cè)了一些材料輻照后的上屈服點(diǎn)[80-81]。

3.5 多種缺陷的協(xié)同硬化效應(yīng)

位錯(cuò)環(huán)[46,75,82]、空洞[73,75,77]、析出相[56,83]等單一種類輻照缺陷對(duì)位錯(cuò)滑移的阻礙作用可通過位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬計(jì)算，并優(yōu)選上述理論硬化模型對(duì)結(jié)果進(jìn)行擬合。然而，輻照材料中通常存在多種缺陷并對(duì)位錯(cuò)滑移產(chǎn)生協(xié)同影響。實(shí)驗(yàn)上通常對(duì)不同種類缺陷的硬化效應(yīng)疊加，經(jīng)驗(yàn)疊加方式主要包括線性疊加以及平方和開方兩種[84]。假定每種缺陷在材料中單獨(dú)存在時(shí)造成的硬化為τi，則線性疊加的結(jié)果為：

τc=∑τi

(33)

平方和開方的結(jié)果為：

(34)

Queyreau等[56]用位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬了點(diǎn)缺陷和晶格阻力、析出相和林位錯(cuò)三者的協(xié)同阻礙作用，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)缺陷和晶格阻力τ0對(duì)總阻力的貢獻(xiàn)滿足線性疊加關(guān)系，而析出相τBKS和林位錯(cuò)τf的貢獻(xiàn)則滿足平方和開方的疊加關(guān)系。

4 結(jié)語

本文對(duì)位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)應(yīng)用于輻照硬化模擬的研究進(jìn)展進(jìn)行了綜述。首先針對(duì)位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了介紹，主流的位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)軟件通常不包含輻照缺陷相關(guān)的模塊，建立不同類型輻照缺陷與位錯(cuò)的相互作用模塊是位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬輻照硬化的核心。對(duì)于不同類型的輻照缺陷分別分析了它們與位錯(cuò)的相互作用，闡述了不同輻照缺陷硬化效應(yīng)的位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)研究成果。隨后介紹了用于定量描述輻照硬化的理論模型，位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)的模擬結(jié)果可用于確定各理論模型所適用的缺陷類型并擬合參數(shù)。目前，利用位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)研究輻照硬化的機(jī)理已取得了一定成果，該領(lǐng)域仍有如下幾方面值得重視。

1) 孔洞硬化效應(yīng)的模擬。聚變堆和第4代裂變堆中的材料處于高溫高劑量的輻照環(huán)境中，孔洞在輻照缺陷中的占比將大幅提高。準(zhǔn)確考慮孔洞與位錯(cuò)作用的模型依賴有限元法同步計(jì)算，所需計(jì)算量較大。進(jìn)一步模擬孔洞對(duì)與位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)的相互作用，需要對(duì)表面鏡像力計(jì)算進(jìn)行合理簡(jiǎn)化。

2) 多種輻照缺陷的硬化效應(yīng)模擬。材料經(jīng)輻照后往往產(chǎn)生不止一種輻照缺陷，模擬多種輻照缺陷的協(xié)同硬化效應(yīng)對(duì)輻照硬化的預(yù)測(cè)具有重要意義。目前關(guān)于位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬還鮮有報(bào)道。模擬多種輻照缺陷時(shí)不僅需要考慮每種缺陷與位錯(cuò)的相互作用，還需要考慮輻照缺陷間的相互作用，如可運(yùn)動(dòng)的位錯(cuò)環(huán)與空洞間的相互作用。

3) 位錯(cuò)交滑移和攀移機(jī)制的影響。位錯(cuò)滑移受輻照缺陷阻礙時(shí)，可通過交滑移或攀移繞過缺陷繼續(xù)滑移，忽略位錯(cuò)的交滑移和攀移可能會(huì)導(dǎo)致模擬的硬化結(jié)果偏高，尤其對(duì)于中高溫和低應(yīng)變速率的加載條件，在位錯(cuò)與輻照缺陷的作用模型中有必要考慮位錯(cuò)的交滑移和攀移機(jī)制。

4) 理論硬化模型的疊加方法?，F(xiàn)有的理論硬化模型基于單根位錯(cuò)與輻照缺陷的相互作用，單一種類的輻照缺陷均有相應(yīng)的理論硬化模型。但在考慮多種輻照缺陷的硬化機(jī)制時(shí)，疊加不同的理論硬化模型依賴經(jīng)驗(yàn)方式，缺乏基于物理的疊加方法。未來可利用位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果中位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)和輻照缺陷演化的細(xì)節(jié)，通過分析統(tǒng)計(jì)實(shí)際釘扎位錯(cuò)的缺陷數(shù)量與各自數(shù)密度的關(guān)系，發(fā)展基于位錯(cuò)網(wǎng)絡(luò)與輻照缺陷相互作用的疊加模型。

5) 變形過程中位錯(cuò)密度和輻照缺陷數(shù)密度的演化。變形過程中輻照缺陷與位錯(cuò)發(fā)生反應(yīng)，可能被位錯(cuò)吸收或發(fā)生其他變化，因此輻照缺陷數(shù)密度隨塑性應(yīng)變?cè)黾佣兓?。此外，晶體內(nèi)存在的輻照缺陷對(duì)位錯(cuò)產(chǎn)生釘扎，可能使位錯(cuò)密度演化的規(guī)律有別于純晶體中的演化規(guī)律。位錯(cuò)密度和輻照缺陷密度的演化規(guī)律可在位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果中提煉得到。位錯(cuò)密度和輻照缺陷密度的演化規(guī)律以及理論硬化模型可進(jìn)一步應(yīng)用于晶體塑性模型中，實(shí)現(xiàn)更大尺度的輻照硬化模擬。