一種基于彈性能釋放率的巖石新型統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型

劉文博，孫博一，陳 雷，張樹光

（1.廣西巖土力學(xué)與工程重點實驗室，廣西 桂林 541004；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué)土木工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000）

國內(nèi)外學(xué)者在大量研究和試驗中發(fā)現(xiàn)，巖石在加載過程中力學(xué)性質(zhì)劣化規(guī)律具有離散性和隨機性[1-3]。結(jié)合概率論和統(tǒng)計學(xué)理論假設(shè)巖巖石損傷規(guī)律滿足Weibull 分布函數(shù)[4-5]，以此建立統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，可以更好地描述巖石破壞變形規(guī)律。因此，對巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)理論進(jìn)行進(jìn)一步研究，可為今后研究和試驗分析奠定基礎(chǔ)。

已有研究將損傷變量當(dāng)作聯(lián)系巖土材料結(jié)構(gòu)特征和力學(xué)行為特性之間的重要變量，進(jìn)而建立巖石損傷本構(gòu)模型[6-9]。Lai 等[10]開展了在不同含水率、不同溫度下的凍土單軸力學(xué)特性試驗，建立了考慮含水率和溫度的統(tǒng)計損傷模型；Li 等[11]基于連續(xù)性損傷介質(zhì)理論以及巖石微元強度滿足Weibull 分布的假設(shè)，建立了可以較好反映巖石應(yīng)變軟化特性的損傷模型；張德等[12]在考慮孔隙體積變化對應(yīng)變特性影響的基礎(chǔ)上，建立了一種新型損傷模型，可以較好地反映損傷與孔隙率的演化規(guī)律；王蘇生等[13]通過對凍砂性土在σ-τ平面上微元強度特性的分析，利用連續(xù)性損傷理論建立了統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型和體積損傷模型；王凱等[14]研究不同含水率對煤巖變形破壞變化規(guī)律的影響，進(jìn)而建立反映含水率對煤巖應(yīng)力-應(yīng)變影響的損傷統(tǒng)計模型；曹文貴等[15]假設(shè)巖石是由顆粒骨架和空隙兩部分組成，從微觀角度分析巖石變形破壞機理與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，通過引入損傷統(tǒng)計力學(xué)建立了考慮空隙變形的損傷模型；Zhou 等[16]開展了巖石應(yīng)力-溫度循環(huán)加卸載試驗，分析了巖石在應(yīng)力-溫度循環(huán)加卸載作用下的變形破壞機理，并通過統(tǒng)計損傷理論建立了應(yīng)力-溫度耦合場的巖石損傷本構(gòu)模型。

通過分析上述巖石損傷模型及巖石變形特性的研究可知，當(dāng)巖土類材料不存在明顯的缺陷，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)該是一條連續(xù)光滑的曲線，應(yīng)力并不會隨應(yīng)變的增大發(fā)生突變；建立的本構(gòu)方程在全應(yīng)變范圍內(nèi)應(yīng)當(dāng)只有一個統(tǒng)一形式。通過統(tǒng)計損傷原理構(gòu)建的損傷本構(gòu)模型完全滿足上述要求，且此種方法也受到學(xué)者的廣泛應(yīng)用，使得構(gòu)建的損傷模型可較好地描述巖石變形破壞全過程。因此，本文基于彈性能、彈性能釋放率和應(yīng)變等效原理對廣義胡克定律進(jìn)行修正，建立一種新型的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，并討論分析巖石損傷劣化機理和損傷模型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；并將分布參數(shù)代入到修正后的彈性能模型中，探討了分布參數(shù)對彈性能變化規(guī)律的影響。

1 基于彈性能的巖石損傷本構(gòu)模型

在三軸受壓狀態(tài)時，巖石主應(yīng)力方向的彈性能釋放率（G3）[17]可表示為：

式中：K3—材料常數(shù)；

G3—彈性能釋放率；

We—彈性能/（MJ·m-3）；

σ1—軸向應(yīng)力/MPa；

σ3—圍壓/MPa。

當(dāng)彈性能釋放率（G3）達(dá)到臨界值（Gc）時，巖石單元體內(nèi)儲存的應(yīng)變能將首先沿該方向釋放，即兩者之間的關(guān)系滿足G3=Gc。同時，可知在單軸條件下巖石的彈性能計算公式為：

式中：σc—巖石單軸抗壓強度/MPa；

W'e—單軸狀態(tài)下彈性能/（MJ·m-3）；

E—彈性模量/GPa。

將式（2）代入式（1），結(jié)合條件G3=Gc，得

三軸壓縮條件下，巖石的彈性能[18]為：

式中：σ1、σ2、σ3—三個不同方向上的主應(yīng)力/MPa；

ε1、ε2、ε3—三個不同方向上的彈性主應(yīng)變/%。

其中，本文試驗應(yīng)力滿足σ1＞σ2=σ3。將式（4）代入式（3）中，得

顯然式（5）中具有軸向應(yīng)變（ε1）和徑向應(yīng)變（ε3）兩種應(yīng)變，并不能直接反映巖石軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，故需要將式（5）轉(zhuǎn)化為軸向應(yīng)力關(guān)于軸向應(yīng)變的本構(gòu)方程。

巖石的強度表達(dá)式[19-20]如下：

式中：v—泊松比。

式（6）又可以表示為：

由廣義虎克定律可知，在單向應(yīng)力狀態(tài)時，理想彈性體徑向-軸向應(yīng)變關(guān)系為：

三向應(yīng)力狀態(tài)下，理想彈性體徑向-軸向應(yīng)變關(guān)系為：

假設(shè)單向和三向應(yīng)力狀態(tài)下，理想彈性體徑向-軸向應(yīng)變關(guān)系都滿足以下關(guān)系：

式中：μ—與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)的系數(shù)。

在單向應(yīng)力狀態(tài)時，與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)的系數(shù)μ滿足條件：

三向應(yīng)力狀態(tài)下，與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)的系數(shù)μ滿足條件：

將式（10）代入式（5），簡化得

由于在三軸試驗中巖石的軸向應(yīng)力一直為正值，故在式（13）轉(zhuǎn)化為軸向應(yīng)力（σ1）關(guān)于軸向應(yīng)變（ε1）的關(guān)系式為：

根據(jù)有效應(yīng)力原理可知，應(yīng)力（σi）與有效應(yīng)力（σi*）之間存在以下關(guān)系：

式中：D—損傷變量。

結(jié)合有效應(yīng)力原理將式（14）轉(zhuǎn)化為損傷本構(gòu)方程：

式（16）中的D為描述巖石內(nèi)部應(yīng)力-應(yīng)變變化規(guī)律的內(nèi)變量。

根據(jù)Kachanov[21]對損傷變量的定義可知，材料的損傷可由其內(nèi)部損傷單元個數(shù)（Nf）和材料總單元個數(shù)（N）比值來表示，即

巖石微元在發(fā)生破壞時，巖石的強度滿足Weibull分布函數(shù)，即

式中：F—屈服強度；

m、F0—分布參數(shù)。

微觀上，巖石受到外荷載達(dá)到屈服強度時，巖石內(nèi)部微元損傷數(shù)目可以達(dá)到Nf，即

聯(lián)立式（16）～（19），得

將式（20）代入式（16）中，得

2 損傷模型參數(shù)的確定方法

巖石損傷演化本構(gòu)方程中具有6個參數(shù)，分別為E、v、m、F0、μ、σc。其中，σc、E、v、μ可以根據(jù)巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線計算；分布參數(shù)m、F0需要通過文獻(xiàn)[22]中的方法來確定。

2.1 分布參數(shù)確定

由式（16）得

巖石微元強度為：

通過式（22）和式（20）得

式中：A—參數(shù)。

通過對式（24）兩邊取對數(shù)、移項、再次取對數(shù)的數(shù)學(xué)變換，得

對式（25）進(jìn)行參數(shù)替代，令

聯(lián)立式（24）—（28），得

式中：Y、X—定義的新變量；

m、B—待定參數(shù)，利用三軸試驗結(jié)果即可確定。

2.2 力學(xué)參數(shù)與變形參數(shù)確定

彈性模量（E）、泊松比（v）計算公式如下：

式中：Z—徑向應(yīng)變和軸向應(yīng)變的比值。

文中的試驗曲線為偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線，上述推導(dǎo)過程中的峰值應(yīng)力（σ1c）和峰值應(yīng)變（ε1c）不是該曲線峰值點對應(yīng)的峰值應(yīng)力（σ'1c）和峰值應(yīng)變（ε'1c）[23]，故σ'1c和ε'1c可通過式（31）和式（32）計算，即

式中：a、b—常數(shù)，可由巖石在不同圍壓下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值應(yīng)變擬合得到；

c'、φ'—巖石峰值強度時的黏聚力和內(nèi)摩擦角。

3 三軸壓縮室內(nèi)試驗

3.1 試驗結(jié)果分析

采用MTS815.02 巖石試驗系統(tǒng)對取自阜新恒大煤礦的砂巖進(jìn)行三軸室內(nèi)壓縮試驗。步驟為：（1）將圍壓加載到預(yù)定值后維持圍壓不變，逐漸增加軸壓直至試樣破壞；（2）軸向和徑向以位移加載方式控制，以0.002 mm/s的加載速率施加荷載；（3）試驗數(shù)據(jù)由試驗機自動采集并換算成對應(yīng)的應(yīng)變與應(yīng)力輸出到數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。此次試驗的圍壓（σ3）分別選0，10，20，30 MPa，三軸試驗結(jié)果見表1，軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖1。

表1 三軸壓縮試驗結(jié)果Table1 Triaxial compression test results

圖1 軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1 Axial stress-strain curve

由圖1可知，不同圍壓下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線變化趨勢基本一致，都呈現(xiàn)出典型的砂巖脆性特性。壓密變形階段：在外荷載作用下，巖石內(nèi)部原有孔隙逐漸閉合，曲線變化規(guī)律接近于直線；彈性變形階段：圍壓的增大使得軸向應(yīng)變受到束縛的程度加劇，且軸向應(yīng)變隨著偏應(yīng)力的增大而增大；塑性變形階段：隨著圍壓繼續(xù)增大，曲線的非線性特征越明顯，且?guī)r石的峰值應(yīng)力也越大；峰后軟化變形階段：隨著軸向應(yīng)變的持續(xù)增大，軸向應(yīng)力迅速下降，直至保持一個數(shù)值不變；殘余變形階段：此階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本為一條水平的直線，即應(yīng)力隨著應(yīng)變的持續(xù)增大而保持不變。

3.2 模型驗證

不同圍壓條件下巖石損傷模型分布參數(shù)值見表2。

表2 參數(shù)計算值Table2 Parameter values

表2中的分布參數(shù)值只是特定圍壓下的參數(shù)值，并不能代表所有情況下分布參數(shù)與圍壓之間的關(guān)系，故需要建立圍壓與分布參數(shù)之間的關(guān)系[24]。分布參數(shù)與圍壓之間的擬合曲線見圖2、擬合公式見式（33）和式（34）。將分布參數(shù)值代入式（21）中，得到改進(jìn)的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型曲線與試驗曲線對比圖（圖3）。

圖2 分布參數(shù)Fig.2 Distribution parameters

圖3 試驗與模型曲線對比Fig.3 Comparison of the test and model curves

由圖3可知，模型曲線與試驗曲線擬合程度較高（試驗曲線的變化趨勢基本一致），故本文建立的損傷本構(gòu)模型可以較好反映砂巖的應(yīng)力-應(yīng)變特性；但是該模型不能很好地描述應(yīng)力-應(yīng)變曲線殘余變形階段，需要進(jìn)一步研究。

為了進(jìn)一步驗證本文建立模型的正確性與合理性，將模型曲線和試驗數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[7]中的模型曲線進(jìn)行對比分析(圖4）。

由圖4可知，砂巖在不同圍壓作用下，模型曲線變化規(guī)律和試驗曲線變化規(guī)律基本一致。模型曲線與試驗曲線在峰前變形階段幾乎重合，說明損傷模型很好地反映了巖石的線彈性變形特性；模型曲線與試驗曲線在峰后階段吻合度不是很好，但對巖石的非線性變形變化規(guī)律也具有較好的描述；同時，隨著圍壓的逐漸增大，圍巖的峰值、殘余強度也逐漸增大。

3.3 損傷演化規(guī)律

結(jié)合廣義虎克定律和強度公式（7），將式（20）變?yōu)槭剑?5）形式，繪制出不同圍壓作用下圍巖損傷演化規(guī)律如圖5。

由圖5可知，在初始加載階段，巖石的損傷變量隨著軸向應(yīng)變的增大而增大，說明了在荷載作用下，巖石內(nèi)部裂隙逐漸發(fā)展發(fā)育，使得巖石材料的損傷逐步積累；在圍壓達(dá)到10 MPa 以上時，損傷-應(yīng)變曲線基本重合。在初始加載時刻，損傷-應(yīng)變曲線增長率急劇上升，大約在巖石的應(yīng)變?yōu)?.000 1時，損傷-應(yīng)變曲線趨于平穩(wěn)變化狀態(tài)，且由于巖石在峰值應(yīng)力點附近損傷迅速累積，進(jìn)而使得損傷變量在數(shù)值上快速增大到1，這說明了圍壓的增大使得巖石破壞極限得到顯著的提升。

4 損傷模型彈性能分析

4.1 彈性能變化規(guī)律分析

將式（9）—（11）、（21）、（15）代入式（4），得到彈性能計算公式：

繪制出不同圍壓條件下巖石彈性能與軸向應(yīng)變的關(guān)系圖（圖6)。

由圖6可知，隨著圍壓的增大，砂巖內(nèi)部儲存的彈性能也逐漸增大，這說明了圍壓的增大可以有效提升巖石的儲能能力。（1）壓密變形階段：由于巖石內(nèi)部裂隙和空洞等缺陷的發(fā)育需要消耗能量，此時彈性能變化規(guī)律幾乎為一條水平直線；（2）彈性變形階段（即在屈服點之前時）：巖石從外界吸收的能量主要以彈性能形式儲存，故此階段彈性能增長幅度急劇上升；（3）在屈服點之后、峰值應(yīng)力點之前的變形階段：巖石從外界吸收的能量一部分繼續(xù)以彈性能形式儲存，另一部能量則以耗散能形式釋放出，此階段巖石的彈性能增長幅度有所減緩；（4）待加載到峰值應(yīng)力點的變形階段：原來儲存在巖石內(nèi)部彈性能瞬間釋放，導(dǎo)致巖石內(nèi)部缺陷貫通形成明顯的破壞面，巖石試樣發(fā)生了失穩(wěn)破壞。

圖4 試驗與模型曲線對比Fig.4 Comparison of the test and model curves

圖5 損傷演化規(guī)律Fig.5 Damage evolution

圖6 彈性能與軸向應(yīng)變Fig.6 Elastic energy and axial strain

結(jié)合圖2可知，巖石彈性能-軸向應(yīng)變曲線和應(yīng)力-應(yīng)變曲線各階段的破壞變形具有較好的對應(yīng)與劃分。（1）彈性變形階段：應(yīng)力-應(yīng)變曲線的變化速率開始迅速增大，對應(yīng)的彈性能-軸向應(yīng)變曲線的變化速率也迅速增大；（2）峰前塑性變形階段：巖石在外荷載作用下?lián)p傷程度逐漸加劇，且隨著應(yīng)變的增大，應(yīng)力增長速率逐漸減小，此時巖石內(nèi)部的能量耗散急劇增加，彈性能增長幅度開始下降。

4.2 分布參數(shù)對彈性能的影響

為了探討分布參數(shù)m和F0對于彈性能變化規(guī)律的影響，繪制出能量演化曲線（圖7，以圍壓10 MPa為例）。

由圖7可知，當(dāng)分布參數(shù)m固定不變時，隨著分布參數(shù)F0的增大，巖石的彈性能-應(yīng)變曲線的變化規(guī)律呈現(xiàn)增長趨勢。這是由于隨著分布參數(shù)F0增大、損傷變量逐漸減小，即巖石的損傷程度減小，使得砂巖微觀裂隙擴展發(fā)育有所減緩，故砂巖在壓縮試驗中耗散能量減小，外界荷載做功轉(zhuǎn)化的能量就相對較多，存儲在巖石內(nèi)部的彈性能較多；當(dāng)分布參數(shù)F0固定不變時，隨著分布參數(shù)m的增大、損傷變量逐漸增大，此時巖石的損傷程度逐漸加劇，微觀上裂隙發(fā)育更加完全、消耗的能量更多，使存儲在巖石內(nèi)部的彈性能較少。

圖7 分布參數(shù)對能量的影響Fig.7 Influence of distribution parameters on energy

5 結(jié)論

（1）模型曲線與試驗曲線在峰前變形階段幾乎重合，說明了損傷模型很好地反映了巖石的線彈性變形特性；模型曲線與試驗曲線在峰后階段吻合度不是很好，但對巖石的非線性變形變化規(guī)律也具有較好的描述。同時，該模型也較好地反映了巖石損傷程度隨著圍壓增大而增大的特性。

（2）在初始加載時刻，損傷-應(yīng)變曲線增長率急劇上升，大約在巖石的應(yīng)變?yōu)?.0001時，損傷-應(yīng)變曲線由快速增長轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)增長，且由于巖石在峰值應(yīng)力點附近損傷迅速累積，進(jìn)而使得損傷變量在數(shù)值上快速增大到1。

（3）當(dāng)分布參數(shù)m固定不變時，隨著分布參數(shù)F0的增大，巖石的彈性能也增大；當(dāng)分布參數(shù)F0固定不變時，隨著分布參數(shù)m的增大，巖石的彈性能則減小；故可通過分布參數(shù)F0、m的變化規(guī)律得到巖石彈性能的演化規(guī)律。