一類非線性高階黏彈性波方程解的爆破

劉 霞，崔佳楠

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

0 引言

本文研究一類帶有非線性阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的高階黏彈性波方程解的爆破：

(1)

波方程

(2)

解的爆破已被大量學(xué)者研究,并獲得一些結(jié)論[1-5],當(dāng)沒(méi)有記憶項(xiàng)且h(ut)=a|ut|p-2,f(u)=b|u|q-2時(shí),文獻(xiàn)[1]證明了初始能量為正時(shí)方程(2)的全局非存在性定理。方程(2)在h(ut)=a|ut|p(x)-2,f(u)=b|u|q(x)-2的情況下是變指數(shù)黏彈性波方程,文獻(xiàn)[2]利用Faedo-Galerkin方法和壓縮映像原理證明了其弱解的存在性,從而得到了解的爆破結(jié)果。文獻(xiàn)[3]研究了一類變指數(shù)波方程,通過(guò)構(gòu)造能量函數(shù)得出其性質(zhì),進(jìn)而利用柯西(Cauchy)不等式和積分估計(jì)得出方程的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破。當(dāng)h(ut)變?yōu)閺?qiáng)阻尼Δut,f(u)=|u|p-2uln|u|時(shí),文獻(xiàn)[4]利用能量擾動(dòng)法得出了方程(2)解的爆破現(xiàn)象。文獻(xiàn)[5]研究了當(dāng)h(ut)=ut時(shí),方程(2)解的衰減估計(jì)和爆破。文獻(xiàn)[6]討論了一類具有非線性邊界條件的黏彈性波方程解的存在性、指數(shù)衰減估計(jì)和爆破。

近年來(lái),越來(lái)越多的學(xué)者研究了高階波方程解的相關(guān)性質(zhì)。例如,當(dāng)方程(1)中沒(méi)有記憶項(xiàng)時(shí),文獻(xiàn)[11]用勢(shì)阱方法證明了在q>p的情況下解在有限時(shí)間內(nèi)爆破,并給出了爆破時(shí)刻的一個(gè)上界。文獻(xiàn)[12]改進(jìn)了文獻(xiàn)[11]的結(jié)果,考慮了非線性耗散項(xiàng)為一般形式時(shí),方程(1)解的全局存在性和能量衰減估計(jì)。當(dāng)方程(1)中沒(méi)有阻尼項(xiàng)時(shí),文獻(xiàn)[13]通過(guò)使用Faedo-Galerkin方法,證明了弱解的全局存在性,也得出了初始能量非正的情況下，解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的相關(guān)結(jié)果。文獻(xiàn)[14]給出了非線性記憶項(xiàng)的高階阻尼雙曲系統(tǒng)的爆破結(jié)果。受上述研究的啟發(fā),本文考慮阻尼項(xiàng)和記憶項(xiàng)都存在時(shí)，高階波方程解的爆破。由于本文研究的方程是高階方程,這使得一些項(xiàng)在估計(jì)時(shí)處理起來(lái)比較困難。本文采用能量擾動(dòng)法和構(gòu)造Lyapunov泛函法得到了方程(1)解的爆破結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

為了研究方程(1)解的爆破,下面給出一些記號(hào)和假設(shè)。

設(shè)φ∈C1(R),ψ∈W1,2(0,T)時(shí),記

(3)

(4)

假設(shè)

(5)

假設(shè)g∈C(R+)且滿足下面的條件：

根據(jù)文獻(xiàn)[15],下面引理成立。

引理1對(duì)任給的函數(shù)φ∈C1(R),ψ∈H1(0,T)，有：

(6)

對(duì)于方程(1)解的局部存在性,可以參閱文獻(xiàn)[13]得到,這里不再給出證明。

2 解的爆破

首先, 定義方程(1)的能量如下:

(7)

引理3若條件(h1)成立,且u(t)是方程(1)的解,則E(t)是一個(gè)非增函數(shù),且

(8)

其中：

證明用u(t)乘以方程(1)的第1個(gè)方程式,在Ω上積分,并使用條件(h1)和引理1,可得出式(8)成立。引理3證畢。

為方便計(jì)算,令

(9)

(10)

證明由條件(h1)、式(5)、式(7)、引理2和B1的定義,可得：

(11)

反證法。假設(shè)存在t0>0,有：

又由式(11)可得：

矛盾,因此式(10)成立。引理4證畢。

證明令

(12)

(13)

通過(guò)使用式(7)和式(12),有：

0

由條件(h1)和引理4,可知：

因此,通過(guò)以上不等式,有：

(14)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

(15)

其中：ε足夠小,并且

(16)

對(duì)式(15)求導(dǎo)并使用方程(1),有：

(17)

則式(17)變?yōu)椋?/p>

(18)

由赫爾德(H?lder)不等式和Young不等式可得,對(duì)0<ε1<1，有：

(19)

將式(19)代入式(18),得：

(20)

由式(7)和式(12)可知,式(20)可化簡(jiǎn)為：

(21)

由條件(h1)和條件(h2)可知：

(22)

(23)

又

(24)

由條件(h1)、式(10)、式(23)和式(24),有：

(25)

將式(25)代入式(21)中,從而

(26)

為估計(jì)式(26)右面的最后一項(xiàng),用如下的Young不等式:

將該估計(jì)式代入式(26),有:

(27)

令

(28)

其中：M1為固定的足夠大的常數(shù)。根據(jù)式(13)和式(28),可以推出：

(29)

根據(jù)q>p和式(14),顯然有：

(30)

其中：c1為正常數(shù)。由式(16)和代數(shù)不等式

(31)

(32)

考慮到式(30)和式(32),則式(29)可化簡(jiǎn)為：

(33)

對(duì)足夠大的M1,可找到Λ1和Λ2,所以有：

(34)

則存在Γ>0,使式(34)化簡(jiǎn)為：

(35)

因此,

L(t)≥L(0)≥0, ?t≥0。

又q>2,再利用H?lder不等式、Young不等式和索伯列夫(Sobolev)嵌入定理，有：

(36)

所以有：

(37)

又

(38)

結(jié)合式(35)和式(38)，易知：

(39)

對(duì)式(39)的左右兩端在[0,t]上分別積分,可推得：

可見(jiàn)，方程(1)的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破。定理2證畢。