分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步

王春彥，邸金紅，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 a.智能工程學(xué)院；b.數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450015)

0 引言

分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在滑模同步方面取得的研究成果甚為豐富[1-4]。文獻(xiàn)[5]研究了分?jǐn)?shù)階混沌不確定系統(tǒng)的滑模同步，設(shè)計(jì)出了巧妙的滑模面。文獻(xiàn)[6]基于適應(yīng)有限時(shí)間反演模糊滑模方法，研究了非線性系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步，但考慮的不是高階系統(tǒng)。文獻(xiàn)[7]基于輸入受限滑模反饋同步，研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步。文獻(xiàn)[8]進(jìn)行了不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)[9]通過滑模技巧研究整數(shù)階非線性混沌系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[10]通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制規(guī)則獲得了混沌系統(tǒng)取得同步的充分性條件，但研究的是三維系統(tǒng)。文獻(xiàn)[11]研究了分?jǐn)?shù)階飛行姿態(tài)的多向滑?？刂?，但研究的不是高階系統(tǒng)。分?jǐn)?shù)階高階非線性混沌系統(tǒng)的同步引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。例如，文獻(xiàn)[12]通過構(gòu)造分?jǐn)?shù)階滑?？刂破餮芯苛朔蔷€性整數(shù)階混沌不確定系統(tǒng)的同步。文獻(xiàn)[13]通過設(shè)計(jì)滑?？刂破?研究分?jǐn)?shù)階非線性混沌不確定系統(tǒng)的同步。由于高階分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)同步應(yīng)用的廣泛性和挑戰(zhàn)性，在以上研究的基礎(chǔ)上，本文研究了一類分?jǐn)?shù)階高維非線性混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步。

1 主要結(jié)果

定義1卡普托(Caputo)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[12-13]定義為：

本文則考慮高階分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)[13]，可以用分?jǐn)?shù)階微分方程描述為：

(1)

(2)

(3)

假設(shè)1設(shè)不確定項(xiàng)△g(y,t)和外部擾動(dòng)d(t)有界，即存在未知參數(shù)m,n>0,使得：

|△g(y,t)|

假設(shè)2e1(0)=0,e2(0)=0,…,en-1(0)=0。

根據(jù)式(3)第n個(gè)方程，Dtqen-1(t)=en(t)→0?Dt(n-1)qe1(t)→0。

對(duì)上式兩邊使用拉普拉斯(Laplace)變換，

s(n-1)qE1(s)-s(n-1)q-1e1(0)-s(n-1)q-2e2(0)-…-s(n-1)(q-1)en-1(0)→0，

其中：E1(s)=L(e1(t))，L為L(zhǎng)aplace算子。根據(jù)Laplace終值定理有:

根據(jù)假設(shè)2?e1(t)→0，從而可得e2(t)→0,…,en-1(t)→0。

高階整數(shù)階混沌系統(tǒng)[13]可描述為如下方程：

(4)

(5)

(6)

假設(shè)3e1(0)=0。

2 數(shù)值仿真

數(shù)值仿真以分?jǐn)?shù)階、整數(shù)階混沌系統(tǒng)[15-16]為例：

f(x1)=sin (ax1-bx1|x1|-(cx1)3)，α=0.3,β=5.1,a=11,b=1.6,c=0.4,q=0.873時(shí)，出現(xiàn)混沌吸引子，以上述系統(tǒng)為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為:

定義ei=yi-xi,得系統(tǒng)：

混沌系統(tǒng)以多渦卷系統(tǒng)為例：

f(x1)=sin (ax1-bx1|x1|-(cx1)3)，α=0.3,β=5.1,a=11,b=1.6,c=0.4，以上述系統(tǒng)為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為：

定義ei=yi-xi,得系統(tǒng)

定理2中系統(tǒng)誤差e1,e2,e3如圖2所示。從圖2中可以看出：3個(gè)誤差變量在初始時(shí)刻距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)，誤差變量相差較大，隨著時(shí)間的變化，3個(gè)誤差逐漸趨于一致并向原點(diǎn)靠近，此時(shí)混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)取得混沌同步。通過定理1和定理2的比較不難發(fā)現(xiàn)，定理2是定理1的結(jié)論推廣和特例。分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的相關(guān)結(jié)果相對(duì)于整數(shù)階系統(tǒng)表現(xiàn)出更優(yōu)越的性能，主要是因?yàn)槎ɡ?設(shè)計(jì)的是分?jǐn)?shù)階滑模面，因而系統(tǒng)誤差更容易被驅(qū)動(dòng)到滑模面，收斂速率更快，需要更短的時(shí)間取得同步。這也體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階微分方程建模的優(yōu)越性和系統(tǒng)特點(diǎn)。

圖1 定理1系統(tǒng)誤差

圖2 定理2系統(tǒng)誤差

3 結(jié)論

研究了不確定分?jǐn)?shù)階非線性高階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，推導(dǎo)出一種滑模控制律、控制器及適應(yīng)控制律。獲得高階不確定混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步的兩個(gè)充分性條件，得到的結(jié)論說明高維不確定混沌系統(tǒng)滿足適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件能夠獲得自適應(yīng)滑膜同步，使用MATLAB軟件數(shù)值仿真檢驗(yàn)了結(jié)論的正確性。設(shè)計(jì)出收斂性更強(qiáng)的滑模函數(shù)是下一步考慮的問題。