試件瞬間卸載動力響應試驗及突變理論研究

郭延華，李樂昱，喬趁

(1.河北工程大學 土木工程學院，河北 邯鄲 056038；2.北京科技大學 土木與資源工程學院，北京 100083)

0 引 言

隨著煤礦開采深度增加和強度加大[1]，沖擊地壓給煤礦開采的安全性帶來巨大挑戰(zhàn)。沖擊地壓是煤(巖)體積蓄的彈性能瞬間釋放而產(chǎn)生的一種復雜的非線性動力災害現(xiàn)象[2-4]，發(fā)生前一般沒有明顯的宏觀征兆，破壞在瞬間完成[5-6]，通常在現(xiàn)場難以觀測，因此，對沖擊地壓進行模擬試驗和理論探索十分必要。

近年來，眾多學者對煤礦中沖擊地壓導致的破壞問題進行了深入研究。試驗方面，蔣長寶等[7]在初始圍壓和瓦斯壓力的不同組合條件下，分析不同卸圍壓速度對含瓦斯煤(巖)體力學和瓦斯?jié)B透特征的影響；許江等[8]采用加軸壓、卸圍壓應力控制方式開展煤(巖)體加卸載試驗，對加卸載條件下煤巖變形特性和滲透特征的演化規(guī)律進行探究；趙宏剛等[9]在考慮實際開采方式條件下，進行軸壓升高和圍壓降低的加卸載試驗，研究了不同加卸載速率下原煤的力學特性；朱廣安等[10]對煤樣進行真三軸超應力卸載下的沖擊破壞研究，揭示了圍壓對煤層的作用及方式。理論研究方面，由于沖擊地壓是一種非連續(xù)非線性現(xiàn)象，具有很強的突發(fā)性，傳統(tǒng)的彈塑性理論不能很好地對其進行解釋，而突變理論是研究非線性系統(tǒng)問題的有力工具[11]。張曉君[12]通過突變理論計算出圍巖卸載巖爆下的劈裂突變模型，得到了卸載條件下的劈裂巖爆的必要及充分條件；高曉東等[13]利用尖點突變模型對煤柱沖擊地壓失穩(wěn)條件進行理論推導，得出Z形煤柱沖擊地壓與影響因素的關系式；劉少虹[14]通過時效損傷模型和尖點突變理論建立的非線性動力學模型，得出動靜載荷與井下煤(巖)體結(jié)構(gòu)間的相互作用是影響動載誘發(fā)沖擊地壓的關鍵因素；江文武等[15]將巖體破裂失穩(wěn)參數(shù)與尖點突變模型相結(jié)合，對巖體的失穩(wěn)破壞進行了預測。

在煤(巖)體能量積聚和突然釋放過程中，對其變化情況和破壞機制認識不夠深入，特別是煤(巖)體內(nèi)部微裂紋的擴展與沖擊過程之間關系尚不明確，且從煤巖試件瞬間卸載動力學試驗角度研究沖擊地壓機理的文獻比較少。因此，本文采用相似材料制成立方體試件，代替煤巖試樣，解決了礦井中立方體煤樣試件制作、成形較為困難的難題：一是試件會出現(xiàn)不規(guī)則現(xiàn)象；二是會出現(xiàn)不成形現(xiàn)象，特別是脆性煤難于制作。通過自行設計加工的試驗裝置開展瞬間卸載動力學試驗，深入研究煤(巖)體材料瞬間破壞前后的應力、應變變化情況和變形破壞特征，并進行定量描述，最后結(jié)合突變理論對試驗機理進行分析。

1 瞬間卸載試驗

1.1 相似材料的確定

從具有沖擊地壓發(fā)生的礦井中選取煤巖樣本，進行基本力學性能試驗，獲得相關試驗參數(shù)。按照一定相似比采用石膏、砂、松香、樹脂等相似材料按照不同配合比制作成φ50 mm×100 mm的圓柱形試件，進行單軸抗壓全程試驗，同一配合比的試驗次數(shù)不少于5次，相似材料配合比見表1，單軸抗壓試驗所得材料物理力學參數(shù)見表2。

表1 相似材料配合比

表2 試件物理力學參數(shù)

1.2 試驗加載裝置和方法

瞬間卸載試驗加載裝置的尺寸嚴格控制為100 mm×100 mm×100 mm，并使內(nèi)部空間光滑平整，保證加載時能夠與試件緊密貼合。上承壓板可直接放置在試件上，后側(cè)面、左右側(cè)面鋼板和下承壓板需焊接在一起，前側(cè)面鋼板通過高強螺栓與主體連接，如圖1所示。

試驗加載時，電子萬能試驗機的剛性壓頭通過上承壓板直接壓到試件上，進行垂直加載，試件的垂向應力應變可直接通過試驗機系統(tǒng)本身獲得。當垂向壓力達到設計值時，液壓裝置使可拆卸螺栓從預留的缺口處脫離，打開前側(cè)面鋼板，瞬間卸除橫向荷載，使試件由三向受壓狀態(tài)瞬間變成雙向受壓狀態(tài)，通過該試驗可模擬開挖導致的巷道表面圍巖變形破壞和應力瞬間變化過程。

1-下承壓板；2-左右固定鋼板；3-后面固定鋼板；4-前面活動鋼板；5-加強肋板；6-立方體試件；7-固定螺栓；8-可拆卸螺栓；9-電阻應變片圖1 瞬間卸載試驗裝置

試驗前預估立方體試件的單軸抗壓強度，并按照2倍左右設定初次豎向加載級，通過試驗得到臨界卸載加載級后，再進行正式試驗。

正式試驗時按照2.0 MPa或4.0 MPa的梯度逐漸增大豎向荷載，達到要求的加載級后，進行橫向瞬間卸載試驗。

除前面試壓得到的臨界荷載級別12.6 MPa以外，另以4.0 MPa為梯度，設8.0，16.0，20.0，24.0 MPa 4個加載級，豎向壓力達到相應加載級后進行瞬間卸載試驗。

2 試驗結(jié)果和分析

2.1 豎向應力-豎向應變關系

分別加載至前述5個加載級，然后瞬間卸除橫向荷載，其對應的豎向應力-豎向應變關系曲線如圖2所示。

圖2 豎向應力-豎向應變關系曲線

分析24 MPa加載級可得，隨著豎向荷載逐步增大，豎向應力-豎向應變關系曲線大致經(jīng)歷了4個階段。

第1階段，OA段。開始加載時，隨著豎向應力增加，豎向應變隨之增大，曲線斜率較小，這是因為試塊中微孔隙迅速閉合。本階段瞬間卸載，試件不破壞。

第2階段，AB段。隨著豎向應力進一步增加，曲線斜率逐漸變大，此時試件被壓密，并開始橫向變形。本階段瞬間卸載，試件同樣不破壞。

第3階段，BC段。曲線斜率基本保持穩(wěn)定，曲線段較長，這是由于試件進一步被壓密，橫向穩(wěn)定變形所致。本階段結(jié)束前后瞬間卸載，試件卸載面開始出現(xiàn)片狀彈射破壞現(xiàn)象。

第4階段，C點以后。曲線斜率再次逐漸變大，試件已經(jīng)基本被壓密，豎向變形越來越難。本階段瞬間卸載，試件卸載面會出現(xiàn)邊緣層狀潰折彈出、邊緣整體沖出等變形和破壞現(xiàn)象。

故在8.0 MPa加載級，曲線只出現(xiàn)前2個階段，瞬間卸載后試件不發(fā)生破壞；12.6 MPa加載級，曲線出現(xiàn)前3個階段，瞬間卸載后試件卸載面開始出現(xiàn)片狀彈射破壞現(xiàn)象；16.0 MPa加載級開始出現(xiàn)第4階段，瞬間卸載后試件卸載面出現(xiàn)邊緣層狀潰折彈出、邊緣整體沖出等破壞現(xiàn)象；在20.0，24.0 MPa加載級，曲線中4個階段都會出現(xiàn)，瞬間卸載后試件卸載面已發(fā)生破壞。分析可得，試件瞬間卸載破壞的豎向臨界應力為12.6 MPa。

2.2 豎向應力-橫向應力關系

分別加載至前述5個加載級，然后瞬間卸除橫向荷載，對應的豎向應力-橫向應力關系曲線如圖3所示。

同理，分析24.0 MPa加載級，隨著豎向荷載逐步加大，豎向應力-橫向應力關系曲線大致也經(jīng)歷了4個階段。

圖3 豎向應力-橫向應力關系曲線

第1階段，OA段。加載前橫向應力為0，開始加載時，橫向應力不增加至增加非常緩慢，這是由于試塊與加載裝置在側(cè)向存在一定間隙。試件側(cè)面與加載裝置之間經(jīng)歷了逐步接觸到緊密貼合的過程。

第2階段，AB段。隨著豎向應力進一步增高，曲線斜率逐漸變小，這是由于試件被壓密，橫向變形速率逐漸增大所致。

第3階段，BC段。曲線斜率基本保持穩(wěn)定，試件進一步被壓密，橫向變形處于穩(wěn)定狀態(tài)，且本階段曲線段較長。

第4階段，C點以后部分。曲線斜率再次逐漸變大，試件已經(jīng)基本被壓密，豎向變形越來越難，導致橫向變形加速。

在卸載前一定范圍內(nèi)，豎向應力與橫向應力呈線性關系，隨著豎向應力增大，橫向應力在一段時間內(nèi)呈現(xiàn)線性增大。8.0 MPa加載級，曲線中只出現(xiàn)前2個階段，此時試件被壓密，未發(fā)生破壞；12.6 MPa加載級，曲線出現(xiàn)前3個階段，試件進一步被壓密，開始出現(xiàn)片狀彈射現(xiàn)象；16.0 MPa加載級開始出現(xiàn)第4階段，試件橫向變形開始加速，即開始發(fā)生破壞；20.0，24.0 MPa加載級，曲線中4個階段都會出現(xiàn)，試件已發(fā)生破壞。

2.3 試件破壞形式及能量機制分析

試件在不同加載級條件下進行卸載，其卸載面將產(chǎn)生不同的破壞狀態(tài)。對于受載試件，其能量演化主要有能量輸入、聚集、耗散和釋放4個過程。其中能量輸入全部看作試驗機對試件做的功，一部分以彈性能積聚在試件內(nèi)部，瞬間卸載時釋放出來，其過程雙向可逆；另一部分以強度損失、裂紋擴展的形式耗散掉，是不可逆過程。當試件中積蓄的彈性能達到極限時，便會發(fā)生破壞，故試件破壞是能量驅(qū)動的結(jié)果。由瞬間卸載試驗得到3種典型的試件破壞特征照片，如圖4～6所示，并將試件瞬間卸載時卸載面的狀態(tài)劃分為以下4種：

(1)卸載面不破壞。豎向荷載較低，橫向瞬間卸載時，試件的卸載面變形不明顯，試件不破壞，伴隨有輕微響聲，甚至沒有響聲。這是由于豎向荷載較低，試件中積蓄的能量較小，基本都以彈性應變能的形式儲存，耗散能為0主要對應于試件內(nèi)部空隙被壓密，其內(nèi)部損傷和受壓變形很小。此時進行橫向卸載其能量不足以使試件發(fā)生破壞。在8.0 MPa加載級瞬間卸載時，會出現(xiàn)此現(xiàn)象。

(2)卸載面片狀彈射。隨著豎向荷載增加，橫向瞬間卸載時，卸載面開始出現(xiàn)片狀彈射破壞現(xiàn)象，伴隨較大響聲。這是由于豎向荷載增加，試件吸收能量增多，但仍主要以彈性能方式存儲，其中一部分能量用于試件內(nèi)部裂紋產(chǎn)生所需的耗散能，隨著能量不斷增大，試件中存儲的彈性能達到極限，當試件橫向瞬間卸載時，便向外界釋放能量使試件表面發(fā)生彈射破壞。在12.6 MPa加載級瞬間卸載時出現(xiàn)此破壞現(xiàn)象，如圖4所示。

圖4 側(cè)面片狀彈射破壞現(xiàn)象

(3)卸載面邊緣層狀潰折彈出。隨著豎向荷載的進一步增加，橫向瞬間卸載時，卸載面出現(xiàn)邊緣層狀潰折彈出破壞現(xiàn)象，同時伴隨有更大的響聲。這是由于豎向荷載較大，試件中積蓄了大量的彈性能，其中用于耗散的能量也持續(xù)增加，導致試件中的裂隙沿層狀繼續(xù)擴展，卸載時試件內(nèi)的動能使卸載面邊緣產(chǎn)生類似板的壓縮潰折失穩(wěn)破壞，并被橫向彈出。在16.0,20.0 MPa加載級瞬間卸載時，均出現(xiàn)了較強的破壞現(xiàn)象，如圖5所示。

圖5 側(cè)面邊緣層狀潰折破壞現(xiàn)象

(4)試件側(cè)面整體沖出。當豎向荷載足夠大，橫向瞬間卸載時，卸載面出現(xiàn)邊緣整體沖出破壞現(xiàn)象，伴隨巨大響聲。這是由于豎向荷載非常大，試件中積蓄了巨大的彈性能，用于耗散的能量使試件裂紋充分擴展并相互貫通，卸載時試件中存儲的動能釋放使卸載面邊緣還沒有發(fā)生潰折橫向整體沖出。該現(xiàn)象在24.0 MPa及以上加載級瞬間卸載時出現(xiàn)，如圖6所示。

圖6 側(cè)面部分整體沖出破壞現(xiàn)象

3 突變理論分析

煤礦在開挖時，煤(巖)體由三向受力狀態(tài)突然變?yōu)殡p向受力狀態(tài)，破壞在瞬間完成，該過程具有非線性、非連續(xù)性的特征，而突變理論是一種能夠處理非線性、不連續(xù)且無需考慮內(nèi)部機理的方法，特別適用于復雜、初始條件不確定的情況。突變理論是通過系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量建立研究對象的勢函數(shù)，對系統(tǒng)行為進行描述，然后聯(lián)立求解勢函數(shù)的一階與二階導數(shù)，得到系統(tǒng)平衡狀態(tài)的臨界點和分叉集，通過研究系統(tǒng)平衡位置的移動是否跨越分叉集，判斷系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定狀態(tài)，即針對臨界點之間的相互轉(zhuǎn)換研究系統(tǒng)的突變特征。尖點突變模型是突變理論在非線性動力學中應用最廣的模型之一，如圖7所示。

圖7 尖點突變模型示意圖

尖點突變的相空間是由狀態(tài)變量x和控制變量u，v構(gòu)成的三維空間，其勢函數(shù)是一個二參函數(shù)。

V(x)=x4+ux2+vx。

(1)

對式(1)求一階導數(shù)，可得在(x，u，v)空間中的平衡曲面或突變流形M，即

(2)

非孤立奇點集S既要滿足式(2)，又要滿足

(3)

由式(2)和式(3)聯(lián)立消去x，即可得分叉集B：

Δ=8u3+27v2=0。

(4)

可以看出，突變流形是一個有褶皺的曲面，分為上、中、下三葉。不同區(qū)域中平衡位置的個數(shù)是不確定的，可能為1～3個。對應于中葉的勢函數(shù)取極大值，其平衡位置不穩(wěn)定；對應于上、下葉的勢函數(shù)取極小值，其平衡位置穩(wěn)定。曲面的豎直切線區(qū)域即為系統(tǒng)的突變點或奇異點。在從上葉到下葉或從下葉到上葉的轉(zhuǎn)換中，如果跨越了分叉集B，系統(tǒng)狀態(tài)就會發(fā)生突跳。

在煤礦開挖前期，圍巖處于三向受力狀態(tài)，開挖后，卸載面產(chǎn)生片狀或?qū)訝钇屏?，對于圍巖卸載前后將要發(fā)生破裂的部分，將其假設為單位板梁，整個結(jié)構(gòu)體系中通過結(jié)構(gòu)應變能U、垂直力所做功Wp、未發(fā)生破壞部分對發(fā)生層狀破裂部分所做功WM、第三向水平力所做功W3得到總勢能V[12]，

V=U-WP+WM+W3，

(5)

梁變形的撓曲方程為

y=a0sin(πx/a)，

(6)

式中：a為板梁長度；a0為板長方向中點處撓度。

板梁的應變能為

(7)

式中，D為單位寬度板的抗彎剛度。

垂直力所做功為

(8)

式中：P為垂直荷載，對應垂直方向最大主應力σ1=P/h。

卸載前第三向水平力所做功為

(9)

未發(fā)生破壞部分對發(fā)生層狀破裂部分所做功

(10)

將(3)～(5)代入式(1)得

(11)

將式(11)變換為標準形式，

V=X4+uX2+vX，

(12)

式中：X為狀態(tài)變量；u，v為控制變量。

若使系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變，只有當u≤0時，系統(tǒng)從一種狀態(tài)跳躍到另一種狀態(tài)，點(u,v)穿越分叉集曲線時，才會導致系統(tǒng)發(fā)生破壞。

由式(11)可得u,v表達式，從而導出煤巖突變破壞的必要條件

σ1≥Dπ2/(ha2)，

(13)

根據(jù)式(13)也可預估煤巖破壞范圍，即

(14)

在發(fā)生突變破壞過程中，煤巖系統(tǒng)狀態(tài)一定滿足分叉集方程。此方程將控制平面劃分為2個部分，分別含有系統(tǒng)不同的平衡點。其中一個部分含有1個不穩(wěn)定和2個穩(wěn)定平衡點；另一個部分只有1個平衡點。在分叉集外，Δ>0，式(2)只有一個實根，對應的勢函數(shù)曲線只有一個最小值，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；在分叉集內(nèi)，Δ<0，式(2)有3個不等實根，對應的勢函數(shù)曲線有2個最小值，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)；在分叉集線B1和B2上，Δ=0，當u，v均不為0時，式(2)有3個實根，其中一個二重根，在B1線上有2個較小的相等實根，在B2線上有2個較大的相等實根，對應的勢函數(shù)有1個最小值和1個拐點[16]。故可將Δ≤0看作系統(tǒng)突變破壞發(fā)生的充分條件。其中27v2≥0恒成立，故8u3≤0，即

σ1≥Dπ2/(ha2)，

(15)

此式可作為煤巖系統(tǒng)發(fā)生突變破壞的充要條件。

由于瞬間卸載動力響應試驗所用的立方體試件是通過原煤樣按照一定相似比制成，能夠較好地模擬煤巖的力學性能。之后運用突變理論對上述瞬間卸載試驗發(fā)生突變時的狀態(tài)進行分析。根據(jù)現(xiàn)場試驗觀察發(fā)現(xiàn)，在發(fā)生臨界破壞時片狀厚度多在4～6 mm，故理論假設該試件板長a取0.1 m(即上述試驗中立方體試件的長度)，厚h取中間值0.005 m，再結(jié)合試驗中由物理力學參數(shù)計算單位寬度板的抗彎剛度D=6.7×10-5，通過式(13)計算可得試件發(fā)生突變破壞的臨界豎向應力，約為13.27 MPa，即超過該值系統(tǒng)會發(fā)生突變破壞，小于該值時不破壞，其結(jié)果與瞬間卸載試驗結(jié)果較為吻合。

綜上所述，由瞬間卸載試驗得到的臨界應力與突變理論分析得到的臨界應力結(jié)果相差不大。然而煤礦瞬間卸載破壞因素的復雜性和突變理論模型對突變破壞問題簡化等原因，對煤礦中沖擊地壓的形成與破壞機理仍需進一步研究。

4 結(jié) 論

(1)通過對瞬間卸載試驗的豎向應力-豎向應變、豎向應力-橫向應力關系曲線圖分析得出：加載級為8.0 MPa時，曲線只出現(xiàn)前2個階段，12.6 MPa時，曲線出現(xiàn)前3個階段，16.0 MPa時開始出現(xiàn)第4個階段，20.0 MPa和24.0 MPa時，曲線中4個階段都會出現(xiàn)，試件瞬間卸載破壞的豎向臨界應力為12.6 MPa。

(2)試件在瞬間卸載后除了8.0 MPa加載級不破壞外，其余均產(chǎn)生不同程度破壞，并將此歸納為4種狀態(tài)。

(3)由瞬間卸載動力響應試驗可知，試件在臨界加載級下瞬間卸載會發(fā)生突然破壞，該過程具有非線性、非連續(xù)的特征，運用突變理論導出的突變破壞充要條件對上述試驗機理進行分析，得出其破壞的豎向臨界應力，約為13.27 MPa，高于該值時將出現(xiàn)較強破壞現(xiàn)象，其結(jié)果與瞬間卸載試驗結(jié)果相差不大。