非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧力學(xué)特性解析計(jì)算

李雪，周長(zhǎng)城*，于曰偉，張?jiān)粕剑瑲W學(xué)昊

(1.山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255000；2.山東汽車彈簧廠淄博有限公司， 山東 淄博 255000)

0 引言

隨著汽車輕量化政策的實(shí)施，少片變截面鋼板彈簧已經(jīng)廣泛應(yīng)用到汽車上。實(shí)際車輛為了滿足懸架剛度的設(shè)計(jì)要求，通常所采用的少片變截面鋼板彈簧的拋物線段的坐標(biāo)原點(diǎn)不在力的作用點(diǎn)上，而是與力的作用點(diǎn)存在一定的坐標(biāo)偏移量，即少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧。據(jù)所查文獻(xiàn)可知，先前對(duì)少片變截面鋼板彈簧的撓度、剛度及應(yīng)力的解析計(jì)算一直未給出可靠的解析計(jì)算公式，均未考慮到拋物線段坐標(biāo)偏移量及其影響，因此，設(shè)計(jì)值與實(shí)際值存在較大偏差，難以滿足少片變截面板簧數(shù)字化設(shè)計(jì)和生產(chǎn)的要求。

目前，國內(nèi)外大多采用有限元仿真分析法、多體動(dòng)力學(xué)仿真分析法和試驗(yàn)法等對(duì)少片變截面鋼板彈簧的力學(xué)特性進(jìn)行研究[1-3]。其中，葉南海等[4]通過建立有限元模型，利用ANSYS仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，分析了摩擦因數(shù)對(duì)少片變截面鋼板彈簧剛度以及應(yīng)力的影響；呂新飛和莫立庸等[5]利用Solidworks、ANSYS軟件對(duì)鋼板彈簧進(jìn)行有限元分析，得到鋼板彈簧在不同工作狀況下的應(yīng)力分布狀況；唐應(yīng)時(shí)和柴天等[6]利用有限元法對(duì)鋼板彈簧的預(yù)應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，并通過調(diào)整各片板簧的自由弧高和自由曲率半徑對(duì)各片板簧的預(yù)應(yīng)力進(jìn)行調(diào)整，提高了板簧的使用壽命；文獻(xiàn)[7-9]基于解析計(jì)算和ANSYS仿真分析，對(duì)少片變截面鋼板彈簧的剛度及應(yīng)力特性進(jìn)行了相關(guān)研究；文獻(xiàn)[10-13]采用CAE建模仿真和板簧臺(tái)架試驗(yàn)，對(duì)少片變截面鋼板彈簧的力學(xué)特性進(jìn)行了對(duì)比分析。然而，上述研究方法都是基于少片變截面鋼板彈簧的拋物線段的坐標(biāo)原點(diǎn)在力的作用點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，均沒有考慮拋物線段坐標(biāo)偏移量的影響。對(duì)于存在坐標(biāo)偏移量的非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧尚沒有準(zhǔn)確可靠的剛度以及應(yīng)力的解析計(jì)算方法，不能為少片變截面鋼板彈簧的智能化生產(chǎn)提供可靠的理論支撐，也阻礙了鋼板彈簧產(chǎn)業(yè)的智能化升級(jí)進(jìn)程。

本文根據(jù)單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的力學(xué)模型，利用莫爾積分，建立了變形、剛度的解析計(jì)算公式，并分析了坐標(biāo)偏移量x0對(duì)板簧結(jié)構(gòu)及力學(xué)特性的影響；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)少片簧與各片板簧之間的剛度與載荷及應(yīng)力之間的關(guān)系，建立了少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的變形、剛度和應(yīng)力的解析計(jì)算公式。最后，通過實(shí)例，進(jìn)行了仿真驗(yàn)證和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的剛度及應(yīng)力的解析計(jì)算

1.1 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的結(jié)構(gòu)以及力學(xué)模型

將單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的一半等效為懸臂梁，在卷耳中心位置施加垂向載荷，與車軸固定連接的位置為固定端約束，忽略卷耳部分，端部的起始點(diǎn)為非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的卷耳中心。由于板簧的端部厚度變化較小，將其近似看作等厚的平直段，端部的有效長(zhǎng)度取卷耳中心到拋物線端部的跨度。由于鋼板彈簧中間平直段受U型螺栓夾緊的影響，在計(jì)算時(shí)，取其長(zhǎng)度的一半作為有效長(zhǎng)度?；谝陨霞僭O(shè)，建立單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧一半對(duì)稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧一半對(duì)稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型Fig.1 Half of the mechanical model of the symmetrical structure of the single-chip nonstandard parabolic tapered leaf spring

圖1中，板簧的根部到自由端的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)，端部平直段的長(zhǎng)度為l1，板簧拋物線段根部到自由端的長(zhǎng)度為l2，根部平直段長(zhǎng)度為l3，l3的長(zhǎng)度取決于車軸的安裝尺寸；根部平直段的厚度為h2，端部平直段的厚度為h1，拋物線段厚度比為β，其中β=h1/h2；板簧的寬度為b，彈性模量為E。在板簧的自由端施加集中力F，其大小為整簧承受載荷的一半。

① 拋物線段在理論坐標(biāo)下的坐標(biāo)偏移量x0

以板簧的自由端O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，拋物線段的理論坐標(biāo)原點(diǎn)為OT，板簧自由端O與拋物線段的理論坐標(biāo)原點(diǎn)OT之間的距離為拋物線段的坐標(biāo)偏移量x0。利用在理論坐標(biāo)系OT下，拋物線段的根部和端部到理論坐標(biāo)原點(diǎn)的距離l2+x0和l1+x0之間的關(guān)系，可得拋物線段的坐標(biāo)偏移量x0為

(1)

② 拋物線段在原坐標(biāo)x位置的厚度h(x)

根據(jù)拋物線段根部厚度h2、拋物線段的根部到板簧自由端的長(zhǎng)度l2、端部平直段的長(zhǎng)度l1及坐標(biāo)偏移量x0，可建立板簧拋物線段在原坐標(biāo)下的厚度h(x)表達(dá)式，即

(2)

1.2 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧變形及剛度的解析計(jì)算

根據(jù)單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧一半對(duì)稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，利用莫爾積分可知，板簧在端部集中力F作用下的端部撓度可表示為

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行積分運(yùn)算并整理，可得單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧端部撓度的解析計(jì)算式為

(4)

式中，GD為單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的端部撓度系數(shù)，且

由式(4)可知單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的剛度為

(5)

1.3 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧應(yīng)力的解析計(jì)算

根據(jù)圖1所示的單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧一半對(duì)稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型，當(dāng)板簧端部受到集中力作用時(shí)，由材料力學(xué)可知，板簧在任意x位置處的應(yīng)力為

(6)

式中，M(x)為板簧任意x位置處承受的彎矩，且M(x)=Fx；W(x)為任意x位置處的抗彎截面系數(shù)，W(x)=bh2(x)/6，h(x)為不同位置x處板簧的厚度。

因此，整理式(6)，可得單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧在任意x位置處的應(yīng)力解析計(jì)算式為

(7)

2 單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧拋物線段坐標(biāo)偏移量x0的影響分析

由式(2)、式(4)、式(5)和式(7)可知，拋物線段的坐標(biāo)偏移量對(duì)板簧的厚度、剛度、變形及應(yīng)力有重要影響。以某單片變截面板簧為例，分析拋物線段坐標(biāo)偏移量x0對(duì)板簧自身結(jié)構(gòu)和力學(xué)特性的影響規(guī)律。其原始結(jié)構(gòu)參數(shù)為：板簧寬度b=80 mm，作用長(zhǎng)度L=550 mm，根部平直段的長(zhǎng)度l3=50 mm，拋物線段的根部至自由端的長(zhǎng)度l2=500 mm，板簧的根部厚度為h2=20 mm，拋物線段的厚度比為β=0.4。板簧端部所受集中力F=1 000 N，彈性模量E=206 GPa。

2.1 坐標(biāo)偏移量x0對(duì)拋物線段厚度的影響分析

根據(jù)單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的厚度表達(dá)式，繪制不同坐標(biāo)偏移量x0下板簧厚度隨位置的變化規(guī)律曲線，如圖2所示。

圖2 不同坐標(biāo)偏移量x0下板簧厚度的變化規(guī)律曲線Fig.2 Thickness curve of the leaf spring under different coordinate offsets x0

分析圖2可知，當(dāng)作用長(zhǎng)度L，寬度b，根部平直段長(zhǎng)度l3以及根部厚度h2確定時(shí)，坐標(biāo)偏移量x0對(duì)于板簧的根部平直段和端部平直段的厚度沒有影響；當(dāng)x0越大，同一位置處，板簧拋物線段的厚度越大，其中x0對(duì)于近端部的拋物線段的厚度影響最大；除此之外，隨x0增大板簧端部區(qū)間長(zhǎng)度減小，拋物線段區(qū)間長(zhǎng)度增大。

2.2 坐標(biāo)偏移量x0對(duì)板簧剛度和撓度的影響分析

當(dāng)坐標(biāo)偏移量x0在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，其對(duì)板簧剛度和板簧撓度均產(chǎn)生一定影響。根據(jù)單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧剛度、撓度的解析計(jì)算式，分別繪制板簧剛度、撓度隨坐標(biāo)偏移量x0的變化規(guī)律曲線，分別如圖3、圖4所示。

據(jù)圖3、圖4可知，當(dāng)其他參數(shù)相同時(shí)，坐標(biāo)偏移量x0對(duì)板簧的剛度和撓度均有重要影響。其中，板簧的剛度隨著坐標(biāo)偏移量x0的增大而增大，且整體呈現(xiàn)非線性變化；板簧的撓度隨著坐標(biāo)偏移量x0的增大而減小，整體也呈現(xiàn)非線性變化。

圖3 板簧剛度隨坐標(biāo)偏移量x0的變化規(guī)律曲線Fig.3 Stiffness curve of the leaf spring with coordinate offset x0

圖4 板簧撓度隨坐標(biāo)偏移量x0的變化規(guī)律曲線Fig.4 Deflection curve ofthe leaf spring with coordinate offset x0

2.3 坐標(biāo)偏移量x0對(duì)板簧應(yīng)力特性的影響分析

根據(jù)單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的應(yīng)力計(jì)算式，利用Matlab軟件繪制不同坐標(biāo)偏移量x0下應(yīng)力隨位置的變化規(guī)律曲線，如圖5所示。

由圖5可知，單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的應(yīng)力，在其端部平直段和根部平直段，隨長(zhǎng)度x的增大呈線性增大趨勢(shì)；當(dāng)x0=0時(shí)，板簧拋物線段呈等應(yīng)力變化，最大應(yīng)力出現(xiàn)在在板簧根部；當(dāng)x0>0時(shí)，拋物線段不再呈現(xiàn)等應(yīng)力變化，而是隨長(zhǎng)度x的增大而增大且總體上呈現(xiàn)非線性變化，且隨著x0增大，其端部平直段區(qū)間長(zhǎng)度減小，拋物線段區(qū)間長(zhǎng)度增加，最大應(yīng)力出現(xiàn)在板簧根部。而當(dāng)x0<0時(shí)，拋物線段的應(yīng)力，隨長(zhǎng)度x的增大而減小且總體上呈現(xiàn)非線性變化，且隨著x0增大，其端部平直段區(qū)間長(zhǎng)度減小，拋物線段區(qū)間長(zhǎng)度增加，最大應(yīng)力出現(xiàn)在板簧的根部或者拋物線段的端部處，這與x0的取值有關(guān)。

圖5 不同坐標(biāo)偏移量x0下應(yīng)力隨位置的變化規(guī)律曲線Fig.5 Stress curve with position under different coordinate offset x0

根據(jù)其應(yīng)力計(jì)算式，繪制拋物線段和根部平直段的最大應(yīng)力隨坐標(biāo)偏移量x0的變化規(guī)律曲線，如圖6所示，其中，虛線代表板簧根部平直段的最大應(yīng)力，實(shí)線代表板簧拋物線段的最大應(yīng)力。

圖6 板簧的最大應(yīng)力隨坐標(biāo)偏移量x0的變化規(guī)律曲線

根據(jù)圖6可知，板簧拋物線段的最大應(yīng)力隨著x0的增大而減小，且整體呈現(xiàn)線性變化。當(dāng)板簧拋物線段最大應(yīng)力與根部的最大應(yīng)力相等，即σ2max=σ3max時(shí)，此時(shí)拋物線段的坐標(biāo)偏移量為

因此，當(dāng)x0x00時(shí)，其最大應(yīng)力出現(xiàn)在板簧根部，即x=L處；當(dāng)坐標(biāo)偏移量x0=x00時(shí)，非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的拋物線段與根部平直段的最大應(yīng)力相等，此時(shí)x=l1、x=L處均為該板簧的最大應(yīng)力位置。

3 少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧剛度及應(yīng)力的解析計(jì)算

3.1 少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧剛度及撓度的解析計(jì)算

少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧是由單片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧疊加而成，其一半對(duì)稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型如圖7所示。板簧的片數(shù)為n，一般2≤n≤5，板簧的寬度為b，彈性模量為E，各片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的端部厚度為hi1，根部厚度為hi2，拋物線段的厚度比βi=hi1/hi2板簧的根部到自由端的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)。端部平直段的長(zhǎng)度為li1，l2為拋物線段根部到自由端的長(zhǎng)度，l3為根部平直段的長(zhǎng)度，各片板簧拋物線段的坐標(biāo)偏移量為xi0=(l2βi2-li1)/(1-βi2)，板簧端點(diǎn)集中力為F。

圖7 少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧一半對(duì)稱結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型Fig.7 Half of the mechanical model of the symmetrical structure of the few-chip nonstandard parabolic tapered leaf spring

由式(5)可知，少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧各片的剛度為

(8)

式中，GDi為各片板簧的端部撓度系數(shù)，即

因此，少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的總剛度可表示為

(9)

根據(jù)撓度與剛度的關(guān)系式，可求得少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧端部的變形為

(10)

由各片板簧承擔(dān)的載荷之和等于總載荷，端部變形等于總變形，易求得各片板簧承擔(dān)的載荷為

(11)

3.2 少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧應(yīng)力的解析計(jì)算

根據(jù)少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧各片的剛度和載荷之間關(guān)系，由式(7)和式(11)，可得各片板簧任意x位置處的應(yīng)力解析計(jì)算式為

(12)

4 實(shí)例計(jì)算與ANSYS仿真驗(yàn)證

4.1 實(shí)例參數(shù)

已知某款車型前懸架板簧的片數(shù)為n=3，板簧寬度b=80 mm，彈性模量E=206 GPa。板簧的作用長(zhǎng)度L=550 mm，根部平直段的長(zhǎng)度l3=50 mm，拋物線段的根部至自由端的長(zhǎng)度l2=500 mm，端部平直段的長(zhǎng)度分別為l11=110 mm、l21=l31=90 mm。板簧根部平直段的厚度為hi2=15 mm，端部平直段的厚度分別為h11=7.5 mm、h21=h31=6 mm；各片板簧拋物線段的厚度比分別為β1=7.5/15=0.5、β2=β3=6/15=0.4；板簧端部所受的集中載荷為F=8 250 N。

4.2 實(shí)例計(jì)算

圖8 第1片板簧應(yīng)力變化曲線圖Fig.8 Stress curve of the first leaf spring

圖9 第2、3片板簧應(yīng)力變化曲線圖Fig.9 Stress curve of the second, third leaf spring

由圖8可知，首片板簧的最大應(yīng)力出現(xiàn)在根部，即首片板簧在車橋上的固定位置，其最大應(yīng)力為546.99 MPa。由圖9可知，第2、3片板簧的最大應(yīng)力應(yīng)力出現(xiàn)在x=90 mm處，即拋物線段的端部，且其最大應(yīng)力為510 MPa。

4.3 ANSYS仿真驗(yàn)證

根據(jù)計(jì)算實(shí)例中板簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)、彈性模量和載荷，利用ANSYS軟件建立其三維模型并對(duì)其變形和最大應(yīng)力進(jìn)行仿真計(jì)算，所得到的少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的變形仿真云圖和各片板簧的應(yīng)力仿真云圖，分別如圖10、圖11所示。

圖10 少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的變形仿真云圖Fig.10 Deflection simulation cloud diagram of the few-chip nonstandard parabolic tapered leaf spring

(a) 第1片板簧

由圖10、圖11可知，仿真得到的少片簧的最大撓度值為55.55 mm，其剛度值為297.02 N/mm；首片板簧的最大應(yīng)力為546.89 MPa，第2、3片板簧的最大應(yīng)力為510 MPa，與解析計(jì)算值的相對(duì)偏差分別為0.7 %，0.7 %，2.3 %和1.9 %。結(jié)果表明，所建立的少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的撓度、剛度及應(yīng)力解析計(jì)算公式及方法是正確的。

4.4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證所建立的非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的撓度及剛度解析計(jì)算方法的可信性，進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。所用設(shè)備為濟(jì)南時(shí)代試金集團(tuán)生產(chǎn)的TYE-W400I微機(jī)控制液壓式彈簧壓力試驗(yàn)機(jī)，如圖12所示。該設(shè)備可自動(dòng)進(jìn)行試驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集與處理，并通過微機(jī)顯示屏直接輸出板簧試驗(yàn)力、板簧變形量及板簧特性曲線。利用該設(shè)備對(duì)板簧進(jìn)行加載-卸載撓度特性試驗(yàn)。其中板簧片間已做好潤滑，板簧已用騎馬螺栓夾緊，所加載的最大載荷為10 500 N。對(duì)該板簧樣機(jī)加載和卸載的撓度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理，得到該少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的實(shí)驗(yàn)剛度值為283.1 N/mm，與解析計(jì)算值相比，相對(duì)偏差為4.2 %。結(jié)果進(jìn)一步表明所建立的少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的撓度及剛度的解析計(jì)算公式及方法是可靠的。

圖12 少片簧加載-卸載試驗(yàn)平臺(tái)Fig 12 Loading-unloading test platform of the few-chip leaf spring

5 結(jié)語

本文通過對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧力學(xué)特性的理論分析、實(shí)例計(jì)算及仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，可知：

① 根據(jù)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可對(duì)板簧拋物線段的坐標(biāo)偏移量x0及不同位置x處的板簧厚度h(x)進(jìn)行解析計(jì)算。

② 根據(jù)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的力學(xué)模型，利用莫爾積分，可建立非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的撓度和剛度的解析計(jì)算式，可實(shí)現(xiàn)對(duì)其撓度和剛度進(jìn)行解析計(jì)算。

③ 根據(jù)少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的各片端部所受載荷與剛度的關(guān)系，建立少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧在任意位置處的應(yīng)力計(jì)算公式。

④ 當(dāng)板簧跨度、寬度、根部平直段長(zhǎng)度以及根部厚度確定時(shí)，不同拋物線段坐標(biāo)偏移量x0，對(duì)板簧拋物線段在任意x位置處的厚度、剛度和應(yīng)力均有重要影響。

⑤ 仿真結(jié)果表明，少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的變形解析計(jì)算值及最大應(yīng)力解析計(jì)算值與其相對(duì)應(yīng)的仿真值均相吻合，相對(duì)偏差均在2.3 %以內(nèi)。所建立少片非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧的變形及應(yīng)力計(jì)算公式是準(zhǔn)確的。少片簧的剛度測(cè)試結(jié)果與解析值吻合，相對(duì)偏差在4.2 %以內(nèi)。對(duì)比結(jié)果進(jìn)一步表明，所建立的撓度和剛度的解析計(jì)算方法是可靠的。

本文所建立的非標(biāo)準(zhǔn)拋物線型變截面板簧力學(xué)特性的解析計(jì)算方法，可得到準(zhǔn)確的剛度計(jì)算值和板簧任意位置處的應(yīng)力值，為少片變截面鋼板彈簧的設(shè)計(jì)、剛度匹配和應(yīng)力校核等提供了可靠的技術(shù)基礎(chǔ)，也為懸架系統(tǒng)的零部件現(xiàn)代化設(shè)計(jì)及特性仿真提供了理論參考。