高職數(shù)學中定積分概念拓展的課堂實踐
——以高職電類專業(yè)為例

譚潔琦 許霞

（湖南生物機電職業(yè)技術學院，湖南 長沙 410127）

定積分概念是微積分中的一個重要概念，通常借用求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程，通過“分割、近似代替、求和、取極限”幾個步驟，類比構建出定積分概念，然后告訴學生定積分是一種特殊的和式極限。這樣看式把定積分概念講授清楚了，其實學生們對這種抽象概念的理解僅停留在表面上，缺乏應用知識的能力，更談不上為專業(yè)服務。本文以高職電類專業(yè)為例，在講授完定積分概念后，進行了概念拓展實踐，實踐主要從下面幾個環(huán)節(jié)展開，其中第四個環(huán)節(jié)的“案例研究”例題是啟發(fā)于學生的作品求助，源于學生專業(yè)課本。

一、概念回顧

概念回顧的目的是剝離背景，形成思想。我們從曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程類比構建出的定積分的概念---特殊和式極限，“分割、近似代替、求和、取極限”分別蘊含著四個思想。在具體實踐中，引領學生探討為什么要“分割”，分割的思想是什么……，具體流程見圖1。

二、問題剖析

剝離背景，形成思想后，接下來引導學生剖析“能用定積分來表示的量具有什么樣的特征？”，這一步主要目的是培養(yǎng)學生對這個“量”的是非判斷，為學生自己能找尋到這樣的量打好基礎。通過師生共同努力，可以歸納出三個特點：這樣的量和函數(shù)的自變量變化區(qū)間相關，這樣的量在區(qū)間上是可以相加的，這樣的量在任意子區(qū)間上其部分量可以表示成特定乘積形式。

（一）作品展示

學生們有了對能用定積分來表示的量的判斷尺度，說明其基本上具有定積概念的應用能力。為了鞏固這一應用能力，要求以組為單位例舉能用定積分表示的量，并寫出定積分表達式，形成作品展示，在這例舉出三個組的作品（圖2-4）。

在學生介紹各組作品以及教師點評中，學生思考問題積極，氛圍熱烈，老師收獲也不小。尤其是作品3，學生介紹：這個圖來源于電工課本第49 頁圖3.8，我們知道直流電中功率Q=UI=IR2，一個周期內流過電阻的熱量可以表示成Q=I2RT；而在交流電中，功率是變化的，就是圖中所給出的P-t 圖象，圖中陰影部分的面積應該就是流過電阻的熱量，因此一個周期內這個熱量可以用定積分表示：。同時，他也提出疑問：當初專業(yè)課老師在講功率問題時，只說是提示借助微積分中的定積分得出來的，功率圖象具體怎么得到的，不明白。針對學生提出的這個問題，作者給出了類似問題的案例研究，也就是下面這個環(huán)節(jié)。

（二）案例研究

這個案例源于學生電工課本，主題是交流電中的功率問題：設流過電阻R 的正弦交流電為，則由倍角公式，可以得到

由三角函數(shù)圖象關系，不難得到P-t 圖象（圖5）。通過這個圖，學生很快明白圖中所圍成的面積就是交流電流通過電阻所產生的熱量，而且容易寫出

通過圖象的講解以及定積分的表示，學生們可發(fā)現(xiàn)圖5 其實就是圖4 中2 個圖象的合并。為激發(fā)學生進一步感受到數(shù)學為專業(yè)的服務，可告訴學生：如果通過后續(xù)的定積分計算的學習，在討論交流電的有效值，我們很容易得出同學們專業(yè)課中講的那個根號2。

（三）自我診斷

通過在高職電類專業(yè)學生中開展定積分概念拓展的課堂實踐，師生收獲頗豐。課堂中遵循“教師為主導，學生為主體”的原則，極大化激發(fā)了學生思考問題的積極性，達到了既讓學生掌握定積分概念，又培養(yǎng)學生應用知識能力的目的。問渠哪得清如許，唯有源頭活水來，愿同廣大高職教育工作者共同探討實踐這項活動，為社會主義現(xiàn)代化建設第一線輸送更多、更好的人才。