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    一個易錯的圓錐曲線結(jié)論及其證明

    2019-01-08 00:50張日堂
    理科考試研究·高中 2019年12期
    關(guān)鍵詞:面積

    摘?要:本文提供了一個來自焦點(diǎn)三角形面積最大值問題的絕佳反例,以此說明直覺得到的“結(jié)論”并不一定準(zhǔn)確,并從解析幾何的應(yīng)用技巧上提供了四種不同證法.

    關(guān)鍵詞:焦點(diǎn)三角形;面積;最大值

    作者簡介:張日堂(1978-),男,廣東陽春人,本科,中學(xué)二級教師,研究方向:高考數(shù)學(xué)教學(xué).

    1?問題呈現(xiàn)

    問題?已知橢圓x24+y23=1,左右焦點(diǎn)分別為F1和F2,且過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),求ΔF1AB內(nèi)切圓半徑的取值范圍.

    2?問題剖析

    該問題來源于課本的一道習(xí)題,原問題涉及到一個頂點(diǎn)在一個焦點(diǎn),底邊是過另外一個焦點(diǎn)的弦的所謂“焦點(diǎn)三角形”問題,不過原問題是求“焦點(diǎn)三角形”的周長.由橢圓的定義知,“焦點(diǎn)三角形”ΔABF1的周長為定值4a.又因?yàn)閷θ我馊切危鋬?nèi)切圓的半徑r,面積SΔ和周長?l之間有關(guān)系r=2SΔl,故求內(nèi)切圓半徑的取值范圍,即是求△ABF1的面積的取值范圍.當(dāng)直線AB“貼近”x軸時,面積趨向0,所以我們只需確定三角形面積的最大值,問題等價轉(zhuǎn)換成求該“焦點(diǎn)三角形”的面積的最大值,在周長固定的“焦點(diǎn)三角形”中,求其面積的最大值,也變成了一個有意思和有價值的數(shù)學(xué)問題.由于ΔABF1的面積可以分為ΔAF1F2與ΔBF1F2的面積的和,故三角形的面積的取值范圍由yA-yB決定.從直覺來看,在AB⊥x軸時,yA-yB最大,ΔABF1的面積最大.

    原題中,通過幾何畫板動態(tài)演示(如圖1,2對比),可以驗(yàn)證當(dāng)AB⊥x?軸時,ΔABF1的面積最大.

    是否對任意橢圓,都是在AB⊥x軸時,ΔABF1的面積最大?事實(shí)上,通過幾何畫板軟件的演示可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)橢圓較“扁”時結(jié)論并不正確.如圖3,4對比所示,下面情形的三角形面積就不是在AB垂直于x軸時最大,所以原猜想結(jié)論并不準(zhǔn)確.

    3?引申結(jié)論

    已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過點(diǎn)F2作直線AB與橢圓相交于點(diǎn)A,B,求ΔABF1的面積的最大值.

    經(jīng)過細(xì)致探究,得到結(jié)論:若橢圓離心率e∈(0,22),則當(dāng)AB⊥x軸時,ΔABF1的面積最大,最大值為2b2?a2-b2a;若橢圓離心率e∈[22,1),則當(dāng)直線斜率k=±ba2-2b2a2-2b2時,ΔABF1的面積的最大,最大值為ab.

    4?結(jié)論證明

    證法1?(使用一般設(shè)方程方式)①若直線AB的斜率不存在,則直線AB的方程為x=c.

    代入橢圓方程可求得Ac,b2a,Bc,-b2a,此時

    SΔABF1=12×2c×b2a×2=2b2ca=2b2?a2-b2a.

    ②若直線AB的斜率存在,設(shè)為kk≠0,則直線AB的方程為y=kx-c,得x=yk+c.代入橢圓方程得?a2k2+b2y2+2b2cky+(b2c2-a2b2)k2=0.

    即a2k2+b2y2+2b2cky-b4k2=0.

    由韋達(dá)定理得,

    y1+y2=-2b2cka2k2+b2,y1y2=-b4k2a2k2+b2.

    y1-y2=y1+y22-4y1y2

    =4b4c2k2a2k2+b22+4b4k2a2k2+b2

    =4b4c2k2+4b4a2k4+4b6k2a2k2+b22

    =4b4a2k2+4b4a2k4a2k2+b2

    =2ab2?k2+k4a2k2+b2.

    令t=k2>0,

    記f(t)=2ab2?t+t2a2t+b22=4a2b4t+t2a2t+b22,則f?′(t)

    =4a2b41+2t·a2t+b22-4a2b4t+t2·2a4t+2a2b2a2t+b24

    =4a2b4[(2a2b2-a4)t2+2b4t+b4](a2t+b2)4

    =4a2b4[(2b2-a2)t+b2](a2t+b2)3

    若2b2-a2≥0,則恒有f?′(t)>0.所以函數(shù)f(t)在(0,+∞)上是增函數(shù).即k2增大時,y1-y22在增大,這時y1-y2也在增大,當(dāng)k2→+∞時,有

    SΔABF1=12×2c×y1-y2=c×y1-y2=c×2ab2a2?1-1k2+1+b2?1k2+k4→2b2?a2-b2a.

    故當(dāng)AB⊥x?軸時,ΔABF1的面積最大.

    此時SΔABF1=2b2?a2-b2a.

    若2b2-a2<0時,則在(0,b2a2-2b2)上f?′(t)>0,在(b2a2-2b2,+∞)上f?′(t)<0,故當(dāng)t=b2a2-2b2時f(t)最大.從而y1-y2最大.

    此時(SΔABF1)max=12×2c×y1-y2=c×y1-y2=2ab2c·a2b2-b42a2b2-2b4=ab.

    證法2?(引進(jìn)傾斜角轉(zhuǎn)換)前面同解法1,記直線AB的傾斜角為α,則tanα=k.

    由y1-y2=2ab2?k2+k4a2k2+b2=2ab2?(tan2α+1)tan2αa2tan2α+b2=2ab2c2sinα+b2sinα得,

    (1)當(dāng)b≤c時,由基本不等式得,

    y1-y2=2ab2c2sinα+b2sinα≤2ab22?c2sinα·b2sinα=abc.

    所以SΔABF1=12×2c×y1-y2≤c·abc=ab,當(dāng)且僅當(dāng)c2sinα=b2sinα,即sinα=bc≤1

    時,ΔABF1的面積最大,最大值為ab.

    (2)當(dāng)b>c時,記t=sinα(0

    f?′(t)=c2-b2t2=c2t2-b2t2<0,故f(t)是減函數(shù),y1-y2=2ab2c2t+b2t是增函數(shù).

    所以當(dāng)sinα→1,y1-y2→2b2a,從而當(dāng)AB⊥x軸時,ΔABF1的面積最大,最大值為2b2?a2-b2a.

    證法3?(改變設(shè)直線方程方式)設(shè)直線AB的方程為x=ky+c,與方程x2a2+y2b2=1a>b>0聯(lián)立并整理得,

    (a2+b2k2)y2+2cb2ky-b4=0.

    由韋達(dá)定理得,

    y1+y2=-2cb2ka2+b2k2,y1·y2=-b4a2+b2k2.

    所以y1-y2=(y1+y2)2-4y1y2=2b2a1+k2a2+b2k2,SΔABF1=2acb2?1+k2a2+b2k2.

    設(shè)k2+1=m(m≥1),

    則SΔABF1=2acb2?1+k2a2+b2k2=2acb2ma2+b2(m2-1)=2acb2mb2m2+c2=2acb2b2m+c2m.

    記函數(shù)f(m)=b2m+c2m,則f?′(m)=b2-c2m2=b2(m2-c2b2)m2,當(dāng)c>b,f(m)最小值2bc,(SΔABF1)max=ab,此時k=±ba;當(dāng)c≤b,f(m)的最小值為a2,(SABF1)max=2cb2a,

    此時k=0.

    證法4?(使用直線參數(shù)方程)設(shè)直線AB的傾斜角為α,則α≠0.

    直線AB的參數(shù)方程為x=c+tcosα,y=tsinα,?(t為參數(shù)),代入x2a2+y2b2=1并整理得,

    (b2+c2sin2α)t2+2cb2cosα·t-b4=0.

    由韋達(dá)定理得,

    t1+t2=-2cb2cosαb2+c2sin2α,t1t2=-b4b2+c2sin2α.

    所以t1-t2=(t1+t2)2-4t1t2

    =4b4c2cos2α(b2+c2sin2α)2+4b4b2+c2sin2α

    =2ab2b2+c2sin2α.

    SΔABF1=SΔAF1F2+SΔBF1F2=ct1-t2sinα=2ab2csinαb2+c2sin2α=2ab2cb2sinα+c2sinα.

    (1)當(dāng)b≤c時,SΔABF1≤2ab2c2?c2sinα·b2sinα=ab(當(dāng)且僅當(dāng)c2sinα=b2sinα,即

    sinα=bc≤1時等號成立).

    (2)當(dāng)b>c時,c2sinα+b2sinα=c2sinα+c2sinα+b2-c2sinα≥2c2+b2-c2sinα

    ≥2c2+b2-c2=a2(當(dāng)且僅當(dāng)sinα=1時等號成立).

    所以SΔABF1=2ab2cb2sinα+c2sinα≤2b2?a2-b2a.

    參考文獻(xiàn):

    [1]徐俊峰.?橢圓中焦點(diǎn)三角形問題的求解策略J.數(shù)學(xué)之友,2014(03):76-77+79.

    [2]斯理炯.?高中數(shù)學(xué)競賽專家講座——解析幾何?M.杭州:浙江大學(xué)出版社,2018.

    (收稿日期:2019-07-07)

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