實(shí)現(xiàn)散射場(chǎng)強(qiáng)整形的微散射體陣列逆向設(shè)計(jì)方法*

王志鵬 王秉中 劉金品 王任

(電子科技大學(xué)應(yīng)用物理研究所,成都 610054)

本文提出一種基于全介電微散射體的散射陣列結(jié)構(gòu)逆向設(shè)計(jì)方法,用以實(shí)現(xiàn)散射電場(chǎng)強(qiáng)度整形.該方法基于空域傅里葉變換與角譜變換,從給定目標(biāo)區(qū)域處期望實(shí)現(xiàn)的散射場(chǎng)強(qiáng)分布出發(fā),逆向求得所需的感應(yīng)源,再利用電磁感應(yīng)源理論,逆向設(shè)計(jì)微散射體陣列,且只需通過(guò)解析計(jì)算便能夠快速地求取出微散射體陣列的電磁參數(shù)值分布.基于提出的逆向設(shè)計(jì)方法,文中提供了三維情況下的具體算例,實(shí)現(xiàn)了給定方形面目標(biāo)區(qū)域的散射場(chǎng)強(qiáng)整形.理論計(jì)算結(jié)果與全波仿真結(jié)果符合良好,表明本文提出的逆向設(shè)計(jì)方法具有可行性與有效性.

1 引 言

靈活控制物理場(chǎng),使其在空間中聚焦或呈現(xiàn)某種形狀在諸多領(lǐng)域中具有重大意義以及潛在應(yīng)用價(jià)值,如無(wú)損檢測(cè)、通信、醫(yī)療、無(wú)線功率傳輸?shù)?最早在聲學(xué)領(lǐng)域中,利用時(shí)間反演(time-reversal,TR)技術(shù)[1]、聲學(xué)相控陣技術(shù)[2-5]等方法對(duì)空間中聲場(chǎng)進(jìn)行聚焦及整形.近年來(lái)對(duì)電磁場(chǎng)在空間中的控制、整形引起了學(xué)者們的廣泛研究,并取得一系列的重要成果.

對(duì)電磁輻射場(chǎng)的控制可以分為近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)兩類： 近場(chǎng)聚焦天線利用相位共軛原理將天線輻射的電磁場(chǎng)聚焦在天線近場(chǎng)區(qū)域中的某個(gè)點(diǎn)[6-8]； 采用相控陣及天線陣列技術(shù)可以對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)進(jìn)行調(diào)控整形[9,10].在最近的文獻(xiàn)報(bào)道中,TR場(chǎng)整形技術(shù)[11,12]、多目標(biāo)最優(yōu)約束功率方法[13]和優(yōu)化的多目標(biāo)TR技術(shù)[14]可以使天線陣列在遠(yuǎn)場(chǎng)產(chǎn)生任意期望的電場(chǎng)強(qiáng)度形狀或圖案.然而,TR方法依賴于信道探測(cè)和優(yōu)化,需要不斷重復(fù)“探測(cè)-聚焦”過(guò)程,且依賴于大量的信號(hào)源或復(fù)雜多徑環(huán)境,優(yōu)化方法也需要長(zhǎng)時(shí)間的優(yōu)化計(jì)算,不利于場(chǎng)整形的快速實(shí)現(xiàn).

電磁散射場(chǎng)的控制在電磁學(xué)領(lǐng)域中同樣具有重要意義,并且在許多功能上有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值,如電磁隱身[15]、波前整形和波束形成等[16,17].其中,使散射場(chǎng)在目標(biāo)區(qū)域呈現(xiàn)某種形態(tài),即散射場(chǎng)強(qiáng)整形的研究也有了一系列的進(jìn)展.在近年的文獻(xiàn)報(bào)道中多采用近場(chǎng)聚焦板[18-20]和超表面[21-23]實(shí)現(xiàn)散射場(chǎng)的近場(chǎng)點(diǎn)聚焦,然而報(bào)道中的設(shè)計(jì)方法依賴于復(fù)雜的超表面陣列,難以通過(guò)理論計(jì)算快速設(shè)計(jì)整形結(jié)構(gòu).

本文提出了一種根據(jù)目標(biāo)區(qū)域期望散射電場(chǎng)強(qiáng)度分布快速逆向設(shè)計(jì)電磁微散射體陣列的方法.首先,基于空間傅里葉變換與角譜變換,從目標(biāo)區(qū)域期望的電場(chǎng)強(qiáng)度分布出發(fā)逆向求取各方向上所需的平面波.接下來(lái),介紹了感應(yīng)源的概念并給出非磁性介電微散射體的感應(yīng)源模型,提出利用入射電磁場(chǎng)照射全介電微散射體陣列來(lái)產(chǎn)生所需平面波的方法.這些微散射體所產(chǎn)生的散射場(chǎng)將在目標(biāo)區(qū)域疊加合成期望的場(chǎng)強(qiáng)分布.最后,根據(jù)提出的逆向設(shè)計(jì)理論模型進(jìn)行了具體的案例設(shè)計(jì),展示了三維(three-dimensions,3-D)情況下的設(shè)計(jì)案例.研究了方形面目標(biāo)區(qū)域期望的點(diǎn)聚焦形狀的散射場(chǎng)強(qiáng)分布,展示了一種全介電微球分布設(shè)計(jì),它的空間分布及介電常數(shù)分布都是通過(guò)目標(biāo)區(qū)域處期望的散射場(chǎng)強(qiáng)形狀進(jìn)行快速解析計(jì)算求得.最后基于線性疊加原理在目標(biāo)區(qū)域產(chǎn)生了“I”,“T”,“X”形的復(fù)雜圖形.全波仿真結(jié)果與使用本文提出的逆向設(shè)計(jì)方法解析計(jì)算的結(jié)果符合良好,這表明該方法是有效且可行的.

2 逆向設(shè)計(jì)原理

2.1 逆向設(shè)計(jì)場(chǎng)景

以面目標(biāo)區(qū)域中心為原點(diǎn),在空間中建立直角坐標(biāo)系,面目標(biāo)區(qū)域位于z= 0 平面上.考慮正入射情況,即波長(zhǎng)為λ0的y極化單色平面波沿+z方向垂直目標(biāo)區(qū)域入射,設(shè)計(jì)者期望在目標(biāo)區(qū)域?qū)崿F(xiàn)y極化同相分布的E(x,y) 散射電場(chǎng)強(qiáng)(由于只關(guān)注E(x,y)的幅度分布,因此其為標(biāo)量),如圖1所示.

圖1 逆向設(shè)計(jì)示意圖Fig.1.Schematic diagram of inverse design.

為了構(gòu)建期望的散射場(chǎng)強(qiáng)分布,在目標(biāo)區(qū)域周圍放置介電微散射體陣列作為散射結(jié)構(gòu).陣列中微散射體在數(shù)學(xué)模型中可看作點(diǎn)散射體,其同原點(diǎn)的距離設(shè)為ri,j,在ri,j距離上微散射體同原點(diǎn)的連線與+z軸夾角編號(hào)為θi,其連線在xoy面上投影與+x軸夾角編號(hào)為φj,相對(duì)介電常數(shù)記作,其中i= 1,··,N；j= 1,··,M.逆向設(shè)計(jì)任務(wù)的核心在于將目標(biāo)區(qū)域期望散射場(chǎng)強(qiáng)分布E(x,y) 作為已知信息,逆向求出介電微散射體的空間分布及其相對(duì)介電常數(shù)分布,從而快速完成微散射體陣列的設(shè)計(jì).

2.2 設(shè)計(jì)理論模型

采用 e-jωt時(shí)諧變化慣例.在目標(biāo)區(qū)域處,設(shè)計(jì)者期望的散射場(chǎng)強(qiáng)度分布E(x,y) 作為已知量.利用空間傅里葉變換,其空譜為

其中kx與ky分別是自由空間中波矢量k0的x與y分量的模.波數(shù)k02＜kx2+ky2時(shí),凋落波無(wú)法傳播至遠(yuǎn)區(qū),因此,在本研究中僅考慮利用kx2+ky2≤k02空間譜的情況.

將空間譜域變換到角譜域,可以得到角譜為

事實(shí)上,角譜的物理意義可理解為目標(biāo)區(qū)域期望的散射場(chǎng)分布是由從不同方向入射而來(lái)的多束感應(yīng)平面波疊加而成的.設(shè)從 (θ,φ) 方向入射而來(lái)的感應(yīng)平面波的幅度和相位分別為則角譜可以表示為

在設(shè)計(jì)理論模型中,本文利用目標(biāo)區(qū)域遠(yuǎn)區(qū)的感應(yīng)源來(lái)近似產(chǎn)生感應(yīng)平面波.由于感應(yīng)源在遠(yuǎn)區(qū)產(chǎn)生的場(chǎng)會(huì)隨著距離衰減,定義幅度衰減系數(shù)?(r) ,這樣感應(yīng)源激勵(lì)幅值和初始相位可以表示為：

接下來(lái)引入感應(yīng)源的概念.對(duì)于滿足瑞利散射條件的非磁性且介電常數(shù)各向同性的微散射體,入射波產(chǎn)生的振蕩電場(chǎng)作用于散射體內(nèi)部的電荷,可以使其感應(yīng)出一個(gè)小的輻射電偶極子[24]：

其中ξ代表電極化張量,它取決于微散射體的相對(duì)介電常數(shù)εr、大小、形狀.Ein代表入射電場(chǎng).

因此,位于(ri,j,θi,φj)處的微散射體的散射場(chǎng)可以寫(xiě)成電偶極子輻射場(chǎng)的形式,其在原點(diǎn)(原點(diǎn)位于微散射體的遠(yuǎn)區(qū))的電場(chǎng)表達(dá)式為

這里不妨設(shè)照射微散射體的入射平面波幅度為1,因此微散射體處的入射場(chǎng)為

其中I3對(duì)應(yīng)的矩陣形式是3 × 3的單位對(duì)角矩陣,u0為真空磁導(dǎo)率,ω為角頻率.

根據(jù)不同角度入射的感應(yīng)平面波幅度及相位就可以計(jì)算出微散射體與原點(diǎn)距離ri,j以及需要的ξi,j.該理論模型從目標(biāo)區(qū)域期望散射場(chǎng)出發(fā),進(jìn)而推導(dǎo)出了所需散射結(jié)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)分布,是一種“由場(chǎng)到結(jié)構(gòu)”的設(shè)計(jì)方法,因此稱之為“逆向設(shè)計(jì)方法”.該方法可以指導(dǎo)設(shè)計(jì)者快速求取陣列中微散射體位置以及相對(duì)介電常數(shù)分布,在下一節(jié)設(shè)計(jì)案例中將具體詳細(xì)闡述.

3 設(shè)計(jì)案例及全波仿真結(jié)果

設(shè)計(jì)者期望在目標(biāo)區(qū)域處獲得散射場(chǎng)為均勻激發(fā)產(chǎn)生的準(zhǔn)貝塞爾光束的橫截面分布,該分布在目標(biāo)區(qū)域表現(xiàn)為在中心原點(diǎn)處點(diǎn)聚焦的形式,其表達(dá)式為

將(11)式代入(2)式中,可得到其角譜為

因此可得各個(gè)角譜分量大小均為常數(shù)λ0/2 .

設(shè)計(jì)中選用半徑為a(a?λ)相對(duì)介電常數(shù)為εr的各向同性介電球,則(6)式中電極化張量ξ的解析表達(dá)為[25]

聯(lián)合(10)式和(12)式,即可求得微球的相對(duì)介電常數(shù)分布：

根據(jù)提出的理論模型,本文設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖2(a)所示的121個(gè)介電微球組成的陣列來(lái)對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行散射場(chǎng)強(qiáng)整形.陣列中的介電微球分別以等Δsinθ與等 Δφ間隔放置,以保證在空間譜域中進(jìn)行均勻采樣,從而使微散射體的散射場(chǎng)在目標(biāo)區(qū)域合成均勻.由于陣列中介電微球產(chǎn)生的散射場(chǎng)須同相到達(dá)目標(biāo)區(qū)域,即P? (θ) 為常數(shù),因此得ri,j(1+cosθi)為常數(shù),記為p(p? λ).令θ1=σ,φ1=0 且有θi＞θi+1,φj＜ φj+1,則介電微球的排布滿足以下規(guī)則：

算例中取N= 16,M= 8.以+z方向?yàn)橛^察視角,圖2 (b)—圖2(d)分別展示了俯視、正視、側(cè)視圖.需說(shuō)明的是,當(dāng)i= 16 時(shí),在坐標(biāo) (0,0,p/2)處僅有一個(gè)介電微球.此陣列中的介電微球半徑均為a=1/20λ0,取p=30λ0,σ=30°,入射平面波的工作頻率為2 GHz.

圖2 微球陣列設(shè)計(jì)示意圖 (a) 三維視角圖； (b)俯視圖； (c)正視圖； (d)側(cè)視圖Fig.2.Schematic of micro-sphere array design： (a) 3-D view； (b) top view； (c) front view； (d) side view.

根據(jù)(14)式以及期望場(chǎng)強(qiáng)分布,可以解析計(jì)算出陣列中介電微球的εr,其分布如圖3所示.可以看到實(shí)現(xiàn)目標(biāo)區(qū)域點(diǎn)聚焦散射場(chǎng)的介電微球與j無(wú)關(guān),具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,這是因?yàn)橥沪誮上的介電微球與原點(diǎn)的距離ri,j相等.

圖3 微球相對(duì)介電常數(shù)分布Fig.3.Spheres relative permittivity of array distribution.

下面使用全波仿真軟件FDTD.Solution來(lái)驗(yàn)證上述求解結(jié)果的可行性.圖4展示了面目標(biāo)區(qū)域中期望形成的點(diǎn)聚焦散射場(chǎng)強(qiáng)分布,從3-D視角以及俯視視角可以看到,在設(shè)定的方向面目標(biāo)區(qū)域中得到了需要的點(diǎn)聚焦散射場(chǎng)分布.

在y= 0,x= 0,y=x三條特殊線上比較期望的散射場(chǎng)分布與全波仿真的結(jié)果,結(jié)果如圖5所示.可以看到,目標(biāo)區(qū)域中的點(diǎn)聚焦散射場(chǎng)強(qiáng)分布仿真結(jié)果與期望結(jié)果有些微失真,這是由于微散射體產(chǎn)生的散射波不是理想平面波導(dǎo)致的,并且散射體之間的微弱的多次散射效應(yīng)也會(huì)造成不良的影響.

假設(shè)期望的散射場(chǎng)強(qiáng)分布分別沿著x軸y軸正方向平移兩個(gè)波長(zhǎng)的點(diǎn)聚焦形狀,根據(jù)傅里葉變換的空間平移特性,即將散射體陣列分別沿著x軸y軸正方向方向平移 2λ0長(zhǎng)度即可.圖6 (a)展示了全波仿真結(jié)果,其散射場(chǎng)強(qiáng)的分布與預(yù)期完全符合.在此基礎(chǔ)上結(jié)合線性疊加原理,可以在目標(biāo)區(qū)域處便捷地實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的期望散射場(chǎng)形狀.如圖6 (b)—圖6(d)所示,由基本的點(diǎn)聚焦形狀散射場(chǎng)疊加獲取了3種不同形狀的復(fù)雜散射場(chǎng)形狀.特別說(shuō)明的是,在目標(biāo)區(qū)域處實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的期望散射場(chǎng)形狀需要將微球陣列平行于xoy面進(jìn)行對(duì)應(yīng)的平移疊加.圖7以“I”形散射場(chǎng)形狀為例展示了其微散射體的空間分布情況.

圖4 目標(biāo)區(qū)域歸一化點(diǎn)聚焦形狀散射場(chǎng)分布圖 (a) 三維視角圖； (b) 俯視圖Fig.4.Normalized scattering field distribution of focused shape in target area： (a) 3-D view； (b) top view.

圖5 目標(biāo)區(qū)域三條線上的歸一化散射場(chǎng)分布圖 (a) y = 0 處場(chǎng)分布； (b) x = 0 處分布； (c) y = x 處場(chǎng)分布Fig.5.Normalized scattering field distribution on three special lines in target area： (a) A cut view in y = 0； (b) a cut view in x = 0；(c) a cut view in y = x.

圖6 目標(biāo)區(qū)域歸一化復(fù)雜形狀散射場(chǎng)分布圖 (a) 相對(duì)原點(diǎn)沿向x方向右平移沿z方向上平移2 λ0 的點(diǎn)聚焦形狀散射場(chǎng)；(b) “I”形狀； (c) “T”形狀； (d) “X”-形狀Fig.6.Normalized scattering field intensity distribution of complex shape in target area： (a) focused shaped field moving 2 λ0 to the right and top relative to the origin； (b) “I”-shaped； (c) “T”-shaped； (d) “X”-shaped.

圖7 “I”形散射場(chǎng)分布的微散射體陣列示意圖 (a) 三維視角圖； (b)俯視圖； (c)正視圖； (d)側(cè)視圖Fig.7.Schematic of micro-sphere array design with “ I”-shaped： (a) 3-D view； (b) top view； (c) front view； (d) side view.

從圖6中良好的仿真結(jié)果可以看出,點(diǎn)聚焦形狀的散射場(chǎng)在目標(biāo)區(qū)域組合形成復(fù)雜的期望散射場(chǎng)形狀是有效且可行的.

4 討 論

從各個(gè)方向上入射的感應(yīng)平面波合成了目標(biāo)區(qū)域期望實(shí)現(xiàn)的散射場(chǎng)強(qiáng)形狀,而入射波照射到微散射體陣列后感應(yīng)的等效源產(chǎn)生的場(chǎng)只有傳播到遠(yuǎn)區(qū)后才可近似看作平面波,這表明了目標(biāo)區(qū)域必須處于微散射體陣列的遠(yuǎn)區(qū).包含高譜域信息的凋落波無(wú)法傳播至遠(yuǎn)區(qū),這也解釋了本文提出的逆向設(shè)計(jì)理論模型僅考慮利用空間譜的情況.由于高譜域信息的損失,這也使得本研究無(wú)法在目標(biāo)區(qū)域?qū)崿F(xiàn)超空間分辨率的散射場(chǎng)整形,如設(shè)計(jì)案例中所展示的點(diǎn)聚焦場(chǎng),即為提出的逆向設(shè)計(jì)方法可以獲得的面目標(biāo)區(qū)域處最大空間分辨率的場(chǎng),其中心線上的分布為sinc函數(shù)形狀.

5 結(jié) 論

研究中提出的逆向設(shè)計(jì)方法可以根據(jù)目標(biāo)區(qū)域期望的散射場(chǎng)強(qiáng)快速解析計(jì)算微散射體陣列的空間分布及介電常數(shù)分布.根據(jù)該方法在3-D情況下進(jìn)行了具體的逆向設(shè)計(jì)案例.在3-D算例中研究了方形面目標(biāo)區(qū)域期望的點(diǎn)聚焦形狀的散射場(chǎng)強(qiáng)分布案例,展示了一種全介電微球陣列的設(shè)計(jì)過(guò)程,并且基于線性疊加原理快速簡(jiǎn)便地在目標(biāo)區(qū)域產(chǎn)生了“I”,“T”,“X”形的復(fù)雜圖形.良好的全波仿真結(jié)果表明,本文提出的逆向設(shè)計(jì)方法是有效且可行的.后續(xù)的研究中可以考慮利用優(yōu)化算法對(duì)微散射體空間位置與介電常數(shù)分布進(jìn)行優(yōu)化,從而使目標(biāo)區(qū)域散射場(chǎng)強(qiáng)分布更加精確,本文提出的逆向設(shè)計(jì)方法可以為優(yōu)化提供高質(zhì)量的初值.