具有連續(xù)分布時滯的切換分布參數(shù)系統(tǒng)反饋控制

鮑樂平,李騰輝

(1.太原工業(yè)學(xué)院自動化系,太原 030008；2.太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院,太原 030024)

切換系統(tǒng)是混雜系統(tǒng)的一種重要類型。它包括一組子系統(tǒng)和描述子系統(tǒng)之間如何切換的切換規(guī)則,整個切換系統(tǒng)受控于切換規(guī)則[1]。由于在工程實踐中的應(yīng)用,如機器人控制[2]、電力系統(tǒng)控制[3]等,切換系統(tǒng)在近二十多年得到了廣泛的研究[4-7]。

按照建模方法的不同,切換系統(tǒng)分為集中參數(shù)切換系統(tǒng)和分布參數(shù)切換系統(tǒng)(或者稱切換分布參數(shù)系統(tǒng))。有關(guān)切換分布參數(shù)系統(tǒng)的研究一直是國際控制理論研究領(lǐng)域的難點。近十年來,切換分布參數(shù)切換系統(tǒng)受到了廣泛關(guān)注[8-12]。此外,時滯廣泛存在于工業(yè)系統(tǒng)中,是系統(tǒng)產(chǎn)生不穩(wěn)定的一個重要因素。近些年來,有關(guān)時滯系統(tǒng)的研究有大量的報道[13-19]。

文獻(xiàn)[13]研究了時滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,但考慮的切換系統(tǒng)不是分布參數(shù)系統(tǒng)；文獻(xiàn)[12]研究了切換分布參數(shù)系統(tǒng)的H控制問題,但沒有考慮具有分布時滯的情形。文獻(xiàn)[14-15]利用線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)方法研究了時滯分布參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性問題；文獻(xiàn)[16]利用LMI方法研究時滯分布參數(shù)系統(tǒng)的H控制問題；文獻(xiàn)[17]對具有分布時滯的不確定中立型分布參數(shù)系統(tǒng)研究了滑?？刂?設(shè)計了滑?？刂破?；文獻(xiàn)[18]對具有變時滯和連續(xù)分布時滯的分布參數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行了研究,設(shè)計了使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器，但沒有考慮切換。從已有的相關(guān)文獻(xiàn)來看,對于具有連續(xù)分布時滯的切換分布參數(shù)系統(tǒng)控制問題研究還未見報道。

1 問題描述

考慮具有連續(xù)分布時滯的切換分布參數(shù)系統(tǒng)為

Ad1iW(x,t-γ1)+

(1)

其狀態(tài)反饋控制為

U(x,t)=KiW(x,t)

(2)

由式(1)、式(2)得到閉環(huán)系統(tǒng)為

Ad1iW(x,t-γ1)+

(3)

式中：i∈Θ={1,2,…,N},表示該切換系統(tǒng)具有N個子系統(tǒng)；(x,t)∈Ω×(0,+),x表示坐標(biāo),t表示時間,表示具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域Ω=Ω1∪Ω2∪…∪ΩN,Ωi∩Ωj=?(i,j∈Θ)；W(x,t)∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量；U(x,t)∈Rs表示控制；為Laplace算子；Di為耗散系數(shù),Di>0(?i∈Θ);Di、Ai、Bi、Ad1i,Ad2i(?i∈Θ)為具有適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣；Ki為待定矩陣；時滯γ1>0,γ2>0為已知常數(shù),記h=max{γ1,γ2}。

系統(tǒng)邊值條件為

W(x,t)=φ(x,t),(x,t)∈Ω[-h,0]

(4)

W(x,t)=0,(x,t)∈?Ω[-h,0]

(5)

(6)

式中：φ(x,t)為光滑函數(shù)；n為邊界?Ω上的單位外法向量。

研究的目的是設(shè)計狀態(tài)反饋控制器[式(2)]和切換規(guī)則,使得閉環(huán)切換分布參數(shù)系統(tǒng)[式(3)]漸近穩(wěn)定。

引理Jensen不等式[19]：已知向量函數(shù)ω(·):[a,b]→Rn,a0,有

2 主要結(jié)果

定理已知具有連續(xù)分布時滯的切換分布參數(shù)系統(tǒng)[式(1)],其初邊值條件為式(4)、式(5)。如果對于任意給定的矩陣Q1i、Q2i>0,存在矩陣Pi>0,Ki,使以下矩陣不等式成立:

(7)

(8)

切換規(guī)則：

(9)

證明構(gòu)造切換Lyapunov-Krasovskii函數(shù)為

(10)

因為Pi、Di為正定矩陣,則PiDi為正定矩陣。類似文獻(xiàn)[12]推導(dǎo),根據(jù)高斯收斂定理、Poincare不等式以及邊界條件[式(4)～式(6)],可得

ΔWT(x,t)DiPiW(x,t)]dx=

(11)

對Vi沿著閉環(huán)系統(tǒng)[式(3)]的狀態(tài)軌跡關(guān)于時間t求導(dǎo)，即

ΔWT(x,t)DiPiW(x,t)]dx+

(12)

將式(11)代入式(12),得

(13)

利用Jensen不等式：

(14)

令

ηT(x,t)=[WT(x,t),WT(x,t-γ1),

那么有

(15)

(16)

式(16)中:

(17)

利用Schur補引理,可以得到與式(8)等價的線性矩陣，即

(18)

定理2 已知具有連續(xù)分布時滯的切換分布參數(shù)系統(tǒng)[式(1)],其初邊值條件為式(4)、式(5)。如果對于任意給定的矩陣Q1i,Q2i>0,存在矩陣Xi>0,Mi,使以下矩陣不等式成立：

(19)

當(dāng)i=1時,閉環(huán)切換分布參數(shù)系統(tǒng)[式(3)]退化為系統(tǒng)：

BU(x,t)

(20)

即為文獻(xiàn)[18]中的系統(tǒng)[式(14)]。由定理2容易得到。

推論1 已知系統(tǒng)[式(20)],其初邊值條件為式(4)、式(5)。如果對于任意給定的矩陣Q1,Q2>0,存在矩陣X>0,M,使得以下線性矩陣不等式成立:

(21)

3 數(shù)值例子

利用MATLAB解LMI(21),得到系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益矩陣為K=[-3.670 4 -1.166 5; -1.234 4 -4.631 5]；利用文獻(xiàn)[18]推論1的結(jié)果得到K=[-4.654 6 -1.373 8; -1.435 9 -6.277 3]。

通過數(shù)據(jù)對比可以發(fā)現(xiàn),通過本文結(jié)論獲得的增益比通過文獻(xiàn)[18]結(jié)論獲得的增益數(shù)值小。說明本文通過較小增益的反饋控制能實現(xiàn)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定,本文設(shè)計的控制器優(yōu)于文獻(xiàn)[18]。

4 結(jié)論

通過構(gòu)造切換Lyapunov-Krasovskii函數(shù),結(jié)合Poincare不等式、Jensen不等式和LMI,設(shè)計了具有連續(xù)分布時滯的切換分布參數(shù)系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器和切換規(guī)則,給出了該類系統(tǒng)漸近可鎮(zhèn)定的充分條件。比較已有分布參數(shù)系統(tǒng)相關(guān)結(jié)論,考慮了分布參數(shù)系統(tǒng)中Laplace算子的系數(shù)對系統(tǒng)的影響。所得可以看作是已有分布參數(shù)系統(tǒng)相關(guān)結(jié)論的推廣和改進(jìn)。最后,通過仿真進(jìn)行了驗證。