含裂紋功能梯度材料Timoshenko梁的非線性靜力分析

馬明輝　鄭玉芳　陳昌萍

摘 要：利用轉(zhuǎn)動彈簧模型模擬裂紋，給出由裂紋引起的局部柔度表達(dá)式?；谝浑A剪切變形理論和Von Karman非線性理論建立含裂紋功能梯度材料Timoshenko梁的非線性力學(xué)模型，采用Hamilton原理推導(dǎo)了含裂紋功能梯度材料Timoshenko梁的非線性平衡微分方程，利用伽遼金方法對該非線性偏微分方程組進(jìn)行求解。數(shù)值計算中分析了跨高比、裂紋位置、裂紋深度和彈性模量比值等因素對含裂紋FGM梁非線性靜力響應(yīng)的影響。

關(guān)鍵詞：功能梯度材料梁;一階剪切變形理論;Von Karman非線性理論;伽遼金法

中圖分類號：TU311? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（51778551）

功能梯度材料（functionally graded material，F(xiàn)GM）是兩種或多種材料復(fù)合且成分和結(jié)構(gòu)呈連續(xù)梯度變化的一種新型復(fù)合材料[1]，其材料組分能夠沿一定的空間方向連續(xù)變化，可以通過不同的組成方式和梯度變化以滿足特定工況的使用需求，在航空航天、核能和機(jī)械等工業(yè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。任何材料包括FGM在實際使用過程中都會出現(xiàn)局部微觀裂紋，在工程結(jié)構(gòu)中裂紋損傷是普遍存在的。結(jié)構(gòu)中裂紋的存在將會影響結(jié)構(gòu)的剛度、強(qiáng)度以及質(zhì)量等特性。再者，梁構(gòu)件廣泛應(yīng)用于工程實際，所以對含裂紋功能梯度材料梁力學(xué)行為的研究具有十分重要的意義。

馬連生等[2]基于多種梁理論，結(jié)合Hamilton原理等方法對FGM梁進(jìn)行研究，討論了梁的幾何參數(shù)、邊界條件、外載荷以及材料梯度參數(shù)對FGM梁的非線性靜態(tài)響應(yīng)問題的影響。李華東等[3]基于應(yīng)力函數(shù)法，對梯形分布載荷作用下FGM簡支梁彎曲問題的解析解進(jìn)行了研究。REDDY等[4]基于Euler-Bernoulli和Timoshenko梁理論，分析了軸向變形和彎曲變形耦合的FGM梁的靜力彎曲問題。NIKNAM等[5]采用伽遼金方法和廣義微分求積法研究了不同熱載荷和機(jī)械載荷對具有一般邊界條件的漸變FGM梁非線性靜力彎曲性能的影響。魏東等[6]基于Euler-Bernoulli和Timoshenko梁理論，建立了一種求解含裂紋FGM梁的屈曲載荷計算方法。鄧昊等[7]采用扭轉(zhuǎn)彈簧模型對裂紋進(jìn)行模擬，基于動力學(xué)方法建立了功能梯度Timoshenko梁的表面裂紋傳遞矩陣，結(jié)合增廣拉格朗日算法和差分進(jìn)化算法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別。YANG等[8]基于歐拉梁理論和轉(zhuǎn)動彈簧模型，對含裂紋FGM梁進(jìn)行了數(shù)值分析，研究了裂紋數(shù)量、裂紋位置、材料屬性、細(xì)長比和支撐邊界對梁彎曲振動和屈曲的影響。TANG等[9]提出了一種新的雙向功能梯度材料歐拉梁模型來研究其非線性自由振動行為。RAJASEKARAN等[10]采用Euler-Bernoulli梁理論和一種新的有限元方法對雙向功能梯度單裂紋/多裂紋梁的動力特性進(jìn)行了研究。SONG等[11]基于一階剪切變形理論，研究了功能梯度多層石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料梁的線性自由振動和彈性屈曲行為。LIEN等[12]基于一階剪切變形理論，結(jié)合裂紋旋轉(zhuǎn)彈簧模型，對功能梯度材料多裂紋梁的線性自由振動問題進(jìn)行研究。KOU等[13]利用無網(wǎng)格邊界域積分方程法，研究含張開裂紋功能梯度材料梁的自由振動問題。從研究現(xiàn)狀來看，考慮幾何非線性以及一階剪切變形理論的FGM裂紋梁的研究成果相對較少。

本文利用轉(zhuǎn)動彈簧模型模擬裂紋，基于一階剪切變形理論和Von Karman非線性理論建立功能梯度材料Timoshenko梁的非線性力學(xué)模型，采用Hamilton變分原理推導(dǎo)功能梯度材料Timoshenko梁的非線性平衡微分方程。通過伽遼金方法對該非線性偏微分方程組進(jìn)行求解，分析跨高比、裂紋位置、裂紋深度和彈性模量比等因素對含裂紋FGM梁非線性靜力響應(yīng)的影響，并與相應(yīng)的文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對比。

5 結(jié)語

本文研究了含裂紋功能梯度材料Timoshenko梁的非線性靜力響應(yīng)。通過一階剪切變形理論和Von Karman非線性理論建立了含裂紋功能梯度材料Timoshenko梁的非線性力學(xué)模型，分析了跨高比、裂紋位置、裂紋深度和彈性模量比值對FGM梁的撓度曲線的影響。數(shù)值結(jié)果表明：

1）裂紋的存在會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度減小，在其他條件一定的情況下，有裂紋的FGM梁的撓度明顯要比無裂紋的FGM梁的撓度大。由此可見，裂紋會降低功能梯度材料梁的剛度和承載力等力學(xué)特性，在工程設(shè)計中應(yīng)考慮裂紋損傷對FGM結(jié)構(gòu)的影響。

2）隨著跨高比、裂紋深度的增大，裂紋位置逐漸向FGM梁的跨中靠近，F(xiàn)GM梁的靜力撓度隨之增大，且增長幅度越來越大。

3）當(dāng)其他條件保持不變時，F(xiàn)GM梁的撓度隨著彈性模量比值的增大而逐漸減小，可以理解為當(dāng)彈性模量比值增大時，F(xiàn)GM梁結(jié)構(gòu)的整體剛度增大，其撓度隨之減小。參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：曾 晶）

作者簡介：馬明輝 （1996—），男，在讀碩士，研究方向：結(jié)構(gòu)靜動力學(xué)分析，E-mail： minghui_ma@163.com.

通訊作者：鄭玉芳，E-mail： zheng_yufang@163.com.

Nonlinear Static Analysis of Cracked Functionally

Graded Material Timoshenko Beam

MA Minghui ZHENG Yufang CHEN Changping

（1. College of Civil Engineering， Fuzhou University， Fuzhou 350108， China; 2. Department of Civil Engineering

and Architecture， Xiamen University of Technology， Xiamen 361024， China）

Abstract： The rotating spring model is used to simulate the crack， and the local flexibility expression caused by the crack is given. Based on the first-order shear deformation theory and Von Karman nonlinear theory， the nonlinear model of the cracked functionally graded material Timoshenko beam is established. The Hamilton principle is used to derive the nonlinear balanced differential equation of the cracked functionally graded material Timoshenko beam. The system of differential equations is solved by the Galerkin method. In the numerical calculation， the effects of the factors such as span-depth ratio， crack location， crack depth and elastic modulus ratio on the nonlinear static response of cracked FGM beams are analyzed.

Key words： functionally graded material beam; first-order shear deformation theory; Von Karman nonlinear theory; Galerkin method