時(shí)滯節(jié)能減排系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性分析 ①

司鳳山, 徐 勇 , 王 晶, 王 娟

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094)

0 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，巨大的能源消耗和污染物的排放，給人類生存環(huán)境和能源的可持續(xù)利用帶來(lái)了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。于是采取何種措施有效協(xié)調(diào)能源價(jià)格及利用、碳排放、經(jīng)濟(jì)發(fā)展之間的關(guān)系是已成為目前亟待解決的一個(gè)重要課題。學(xué)者針對(duì)上述問(wèn)題已經(jīng)進(jìn)行了相關(guān)研究，例如呂堂紅等[1-2]通過(guò)研究能源價(jià)格模型，提出能源穩(wěn)定性的定價(jià)策略和利用策略。田立新等[3-4]和殷紅燕等[5]分析帶時(shí)滯的能源價(jià)格模型，給出能源價(jià)格調(diào)整的穩(wěn)定區(qū)間。Fang等[6]探究節(jié)能減排、碳排放、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間復(fù)雜的非線性博弈關(guān)系。本文基于以上研究，考慮經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)對(duì)節(jié)能減排和碳排放影響的延遲效應(yīng)，提出一個(gè)帶時(shí)滯的節(jié)能減排模型，從系統(tǒng)穩(wěn)定性和復(fù)雜性的角度給出延遲決策變量的穩(wěn)定性區(qū)間，以增強(qiáng)節(jié)能減排系統(tǒng)決策的科學(xué)性。

1 時(shí)滯節(jié)能減排系統(tǒng)構(gòu)建

文獻(xiàn)[6]研究了如下的三維節(jié)能減排系統(tǒng)：

(1)

其中，x(t)是節(jié)能減排量，y(t)是碳排放量，z(t)是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)量(GDP)。a1為節(jié)能減排的發(fā)展系數(shù)，a2為碳排放對(duì)節(jié)能減排的影響系數(shù)，a3為GDP增長(zhǎng)對(duì)節(jié)能減排的影響系數(shù)；b1為節(jié)能減排對(duì)碳排放的影響系數(shù)，b2為碳排放的發(fā)展系數(shù)，b3為GDP增長(zhǎng)對(duì)碳排放的影響系數(shù)；c1為節(jié)能減排對(duì)GDP增長(zhǎng)的影響系數(shù)，c2為碳排放對(duì)GDP增長(zhǎng)的影響系數(shù)，c3為對(duì)節(jié)能減排的經(jīng)濟(jì)投入對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響系數(shù)；ai,bi,ci>0,i=1,2,3。M,C,E,N>0，表示閾值。

因?yàn)楣?jié)能減排和碳排放受到經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的影響，所以在制定下一期節(jié)能減排和碳排放策略時(shí)，不但要參照本期的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)量，而且還要參考?xì)v史的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)量，只有綜合考慮才能制定出科學(xué)的策略。但是由于本期的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)量難以及時(shí)準(zhǔn)確獲取，故本文僅考慮參照歷史的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)量來(lái)制定節(jié)能減排和碳排放策略?；诖?，在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上構(gòu)建出帶時(shí)滯的節(jié)能減排系統(tǒng)為：

(2)

其中，τ>0為時(shí)滯參數(shù)，它表示參照τ時(shí)刻之前的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)量來(lái)決策未來(lái)的節(jié)能減排和碳排放量。

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

經(jīng)計(jì)算得到系統(tǒng)(2)的有效均衡點(diǎn)為E(x*,y*,z*)，其中，

系統(tǒng)(2)在均衡點(diǎn)E處線性化為：

(3)

進(jìn)而求得系統(tǒng)(3)在均衡點(diǎn)E處的特征方程為：

λ3+A2λ2+(A1+B1)λ+A0+B0+

(C1λ+C0+D0)e-λτ=0

(4)

其中，

B1=-a2b1，B0=-a2b1c3，

令λ=iω(ω>0)為式(4)的一個(gè)根，將其帶入得到：

(5)

依據(jù)式(5)可以得到：

(6)

其中，

K1=A2C1-C0-D0,K2=A1C0+B1C0+A1D0+

B1D0-A0C1+B0C1,K3=C1,

K4=A2C0-A1C1-B1C1+A2D0,

由式(6)得到關(guān)于ω的方程為：

M4ω8+M3ω6+M2ω4+M1ω2+M0=0

(7)

其中，

假設(shè)條件(1)：式(7)至少有一個(gè)正實(shí)根ω0成立，則式(7)有一對(duì)純虛根±iω0。此時(shí)根據(jù)式(6)得到時(shí)滯參數(shù)為：

(8)

特征方程(4)兩邊求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)得到：

(9)

取式(9)的實(shí)數(shù)部分可得：

(10)

其中，PR和PI分別是式(10)分母的實(shí)部和虛部，QR和QI分別是其分子的實(shí)部和虛部，

即為：

PR=ω0C0sin(ω0τ0)+ω0D0sin(ω0τ0)-

QI=2A2ω0-C1sin(ω0τ0)。

結(jié)論1：對(duì)于系統(tǒng)(2)及其均衡點(diǎn)E，如果條件(1)-(2)都成立，則當(dāng)τ<τ0時(shí)系統(tǒng)(2)在均衡點(diǎn)處局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ>τ0時(shí)系統(tǒng)在均衡點(diǎn)處不穩(wěn)定；當(dāng)τ=τ0時(shí)系統(tǒng)在均衡點(diǎn)處產(chǎn)生Hopf分岔。

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證理論分析的正確性，以及更好地展現(xiàn)系統(tǒng)的復(fù)雜特性，故取其中的一組參數(shù)值為：a1=4.5,a2=1.3,a3=20,b1=0.25,b2=0.85,b3=0.35,c1=0.5,c2=0.3,c3=0.2,M=10,C=1,E=8,N=12，此時(shí)系統(tǒng)(2)的均衡點(diǎn)為E(-0.6323, 1.1440,-0.0516)。

3.1 τ對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

依據(jù)式(8)計(jì)算得到τ0=0.4622，根據(jù)結(jié)論1可知0.4622是系統(tǒng)(2)關(guān)于時(shí)滯參數(shù)產(chǎn)生Hopf分岔的臨界值。系統(tǒng)(2)關(guān)于時(shí)滯參數(shù)τ的分岔圖和最大李雅普諾夫指數(shù)圖如圖1所示。

(a)τ=0.44 (b)τ=0.48

圖3 系統(tǒng)(2)的熵圖

圖1(a)描述了系統(tǒng)由穩(wěn)定狀態(tài)通過(guò)分岔逐步進(jìn)入混沌狀態(tài)的過(guò)程，顯然系統(tǒng)在τ=0.4622時(shí)產(chǎn)生分岔。由此可見(jiàn)，時(shí)滯參數(shù)過(guò)大會(huì)造成系統(tǒng)失穩(wěn)，即政府在節(jié)能減排決策時(shí)參照的歷史經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)量不可過(guò)早。此外，最大李雅普諾夫指數(shù)(the Largest Lyapunov Exponent，縮寫為L(zhǎng)LE)是描述系統(tǒng)混沌特征的一個(gè)重要量化指標(biāo)，指數(shù)小于零說(shuō)明系統(tǒng)處于均衡態(tài)；當(dāng)指數(shù)大于零說(shuō)明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，其值越大意味著系統(tǒng)混沌越顯著。從圖1(b)可以看出，在τ=0.4622時(shí)指數(shù)等于零，此時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間的臨界狀態(tài)，這與圖1(a)含義相同。同時(shí)說(shuō)明，τ<0.4622是系統(tǒng)關(guān)于時(shí)滯參數(shù)τ的穩(wěn)定域，而τ>0.4622是系統(tǒng)關(guān)于時(shí)滯參數(shù)τ的混沌域，這與結(jié)論1相一致。

為了直觀展現(xiàn)分岔臨界值左右兩側(cè)的系統(tǒng)狀態(tài)，分別令τ=0.44<τ0和τ=0.48>τ0，此時(shí)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)吸引子如圖2所示。

由圖2可知，當(dāng)τ=0.44時(shí)系統(tǒng)(2)是穩(wěn)定的，經(jīng)長(zhǎng)期博弈后將收斂于均衡點(diǎn)E。當(dāng)τ=0.48時(shí)系統(tǒng)最后趨于極限環(huán)，呈現(xiàn)出不穩(wěn)定狀態(tài)。要避免這種失穩(wěn)現(xiàn)象，必須縮短經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)量對(duì)節(jié)能減排和碳排放影響的滯后時(shí)間。

3.2 τ對(duì)系統(tǒng)復(fù)雜性的影響

系統(tǒng)會(huì)受到各種因素的干擾而失去穩(wěn)定。雖然系統(tǒng)可以通過(guò)自身調(diào)節(jié)或者外部干預(yù)使其由不穩(wěn)定狀態(tài)恢復(fù)至穩(wěn)定狀態(tài)，但是所用時(shí)長(zhǎng)取決于系統(tǒng)的復(fù)雜程度。系統(tǒng)越復(fù)雜，其重返穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間越長(zhǎng)。熵(Entropy)是一個(gè)衡量系統(tǒng)復(fù)雜程度的指標(biāo)，熵值越大意味著系統(tǒng)越復(fù)雜，反之亦然[9,10]。圖3描述了系統(tǒng)熵值隨τ增加的變化趨勢(shì)，圖中標(biāo)注的點(diǎn)(0.4622,0)表示τ增加至0.4622時(shí)系統(tǒng)中的不穩(wěn)定因素開(kāi)始導(dǎo)致系統(tǒng)的復(fù)雜性發(fā)生變化，呈現(xiàn)出逐漸增加的態(tài)勢(shì)。由此可見(jiàn)，圖3中系統(tǒng)復(fù)雜性的變化趨勢(shì)與圖1中系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化趨勢(shì)相同。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文在節(jié)能減排系統(tǒng)中引入時(shí)滯參數(shù)，分析了時(shí)滯系統(tǒng)在均衡點(diǎn)處的Hopf分岔的存在性及條件，借助數(shù)值仿真討論了時(shí)滯參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和復(fù)雜性的影響，給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定域。研究表明，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)量對(duì)節(jié)能減排和碳排放的延遲效應(yīng)存在時(shí)間范圍限制，否則容易導(dǎo)致系統(tǒng)經(jīng)分岔而陷入混沌狀；且系統(tǒng)穩(wěn)定性與系統(tǒng)復(fù)雜性具有相同的臨界值，它們的變化趨勢(shì)基本一致。只是探討了帶時(shí)滯的節(jié)能減排系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，沒(méi)有對(duì)失穩(wěn)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性控制，這將是下一步需要解決的問(wèn)題。