對豎直倒下勻質(zhì)桿內(nèi)部彈力的研究

涂德新

(江西師范大學(xué)附屬中學(xué)，江西 南昌 330046)

圖1

質(zhì)量均勻分布的重桿是一個重要的物理模型,勻質(zhì)桿在受力時的形變比較復(fù)雜,可能會有拉伸(壓縮)形變,對應(yīng)于法向力;也可能有剪切形變,對應(yīng)于切向力;還可能有彎曲形變,對應(yīng)于力偶矩．很多參加物理競賽的同學(xué)包括部分教師在分析勻質(zhì)桿的轉(zhuǎn)動問題時往往會忽視桿內(nèi)部力偶矩的存在,進(jìn)而得出矛盾的結(jié)果．下面建立一個模型來處理此問題．參數(shù)設(shè)定:勻質(zhì)桿長度為l,質(zhì)量為m,以下端O為轉(zhuǎn)軸,最初豎直,某時刻轉(zhuǎn)到與豎直方向的夾角為θ,如圖1所示,不考慮空氣阻力的作用,重力加速度為g,研究桿內(nèi)部作用力的分布．

可以求得

(1)

對桿相對轉(zhuǎn)軸O運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律

可以求得

(2)

圖2

如圖2所示,研究從離轉(zhuǎn)軸r處到l處桿的運(yùn)動,應(yīng)該是質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動,其質(zhì)量

(3)

這段桿的質(zhì)心繞下端的轉(zhuǎn)軸O在做加速圓周運(yùn)動,可以寫切線方向和法線方向的牛頓第二定律來求切向力和法向力．

設(shè)r處相互作用的切向力為Frτ,可得

(4)

由(2)-(4)式可以求得

(5)

這個力就是r處剪切形變對應(yīng)的切向力．

設(shè)r處的相互作用的法向力為Fr n,可得

(6)

由(1)、(3)、(6)式可以求得

(7)

這個力就是r處壓縮形變對應(yīng)的法向力．

(8)

將(2)、(3)、(5)式求得的相關(guān)參量代入(8)式后發(fā)現(xiàn)等式兩邊不相等.這是很多學(xué)生和教師感到困惑和矛盾的地方．下面解決此問題．

仔細(xì)研究后發(fā)現(xiàn),這是物理模型出了問題,不能把桿看成細(xì)桿,桿應(yīng)該有不能忽略的截面．換句話說Fr n這個法向力是一個分布力,如圖3所示,桿沿截面的壓縮并不均勻,也就是說有彎曲形變.分析后發(fā)現(xiàn)可能截面的上側(cè)為

圖3

壓縮形變,下側(cè)為拉伸形變,于是沿桿的這些分布力可以這樣處理:最上側(cè)和最下側(cè)的兩個力方向相反但大小不等,可以處理為沿桿向上的微元應(yīng)力和一個順時針的微元力偶矩,上下側(cè)對稱處的力都可以這樣處理,最后所有的微元應(yīng)力可以合成為沿桿向上的應(yīng)力Fr n,所有的微元力偶矩可以合成為順時針的力偶矩Mr,Fr n上文已經(jīng)求出,下面求解力偶矩Mr．

考慮到桿內(nèi)部有力偶矩后,(8)式有誤,應(yīng)該修正．對桿的上端以其質(zhì)心O′為軸列轉(zhuǎn)動定律:

(9)

由(2)、(3)、(5)、(9)式可以求得

改寫為

(10)