霍亂多斑塊傳播動(dòng)力學(xué)建模及穩(wěn)定性分析

李佳晶，周林華

(長(zhǎng)春理工大學(xué)理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022)

0 引言

霍亂是一種急性腸道傳染病，盡管人們?cè)谂ο拗破鋫鞑?，但它仍可引起暴發(fā)和大流行[1-5].其傳播方式在小范圍內(nèi)主要是接觸傳播，而在大范圍內(nèi)傳播時(shí)主要的傳播方式是水流傳播，特別是在衛(wèi)生條件差的地方水流極易受到污染而增加霍亂的發(fā)生率.人們對(duì)霍亂普遍易感，病后可獲得一定免疫力.近年來(lái)，一些地方出現(xiàn)了霍亂暴發(fā)，包括海地(2010—2011年)、喀麥隆(2010—2011年)、肯尼亞(2010年)等[6].霍亂因其高致病性和快速傳播性，成為全球公共衛(wèi)生和疾病防控體系最為關(guān)注的疾病之一.

鑒于流行病的特殊性，對(duì)流行病的研究不可能借助于實(shí)驗(yàn)的手段，所以對(duì)其通過(guò)理論分析和模擬仿真來(lái)進(jìn)行研究就顯得尤為重要.近年來(lái)傳染病微分方程模型被廣泛應(yīng)用到控制傳染病流行的研究中，包括對(duì)霍亂的建模研究[7-21].Chao等[7]對(duì)海地霍亂暴發(fā)建立了隨機(jī)模型，分析了疫苗接種策略的影響.Eisenberg等[12]提出了一個(gè)多組模型來(lái)解釋海地霍亂的傳播，并確定最佳控制干預(yù)措施，但在證明地方病平衡點(diǎn)時(shí)模型只考慮了群體間的直接傳遞，忽略了群體間的間接傳遞.上述模型的分析在很大程度上依賴于數(shù)值模擬.Eisenberg等[13]建立了霍亂傳播的常微分方程模型，該模型包含直接和間接傳播、非線性發(fā)病率、病原體的多重感染狀態(tài)和感染個(gè)體的多重感染階段，其結(jié)果包含和擴(kuò)展了許多先前的結(jié)果.

近年來(lái)關(guān)于霍亂模型的研究，就建模而言考慮的艙室對(duì)象均是在不可約網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的相關(guān)研究.然而，疾病的傳播往往是在各種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)之間進(jìn)行，而對(duì)于可約網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的霍亂傳染病動(dòng)力學(xué)建模與分析，至今沒(méi)有發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的結(jié)果.本文將在可約網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，考慮兩區(qū)域的SIR霍亂傳染病動(dòng)力學(xué)模型及其穩(wěn)定性分析.

1 海地霍亂傳播動(dòng)力學(xué)建模

1.1 相關(guān)背景

2010年海地大面積暴發(fā)霍亂.疫情最初暴發(fā)于阿蒂博尼特地區(qū)并且迅速向海地西部等周邊地區(qū)蔓延.在阿蒂博尼特地區(qū)主要考慮3個(gè)受感染的城市，它們分別為Gona?ves、Saint-Marc和Dessalines；在海地西部同樣考慮3個(gè)受感染的城市，分別為Arcahaie、Léogne和Croix-des-Bouquets.其中Gona?ves市的霍亂細(xì)菌沿MEYE支流流入Léogne，Saint-Marc市的霍亂細(xì)菌沿MEYE支流分別流入Arcahaie市和Croix-des-Bouquets市.海地地圖和兩個(gè)地區(qū)中不同城市的代表點(diǎn)具體見圖1和表1.

圖1 海地地圖

表1 城市對(duì)應(yīng)點(diǎn)

1.2 模型的建立

(1)

1.3 模型的約化

由可約矩陣定義，存在置換矩陣Q，使得

(2)

其中：Clk×lk是非負(fù)不可約矩陣；Al2×l1是非負(fù)矩陣.這里l1=l2=3，k=1，2.于是，模型(1)約化為

(3)

由文獻(xiàn)[26]的Next-Generation方法，令

則模型(3)的基本再生數(shù)為R0=ρ(M0)，其中ρ表示譜半徑.

由接觸矩陣B的形式，可將模型(3)分解為Cl1×l1和Cl2×l2兩個(gè)子系統(tǒng)，分別滿足：

(4)

(5)

當(dāng)4≤i，j≤6時(shí)，Cl2×l2的子系統(tǒng)分下述兩種情形：

當(dāng)滿足情形1時(shí)，Cl2×l2的子系統(tǒng)為

(6)

當(dāng)滿足情形2時(shí)，Cl2×l2的子系統(tǒng)為

(7)

2 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性及證明

2.1 系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

引理2.1設(shè)B=(βij)(1≤i，j≤3)是不可約矩陣.

引理2.2設(shè)B=(βij)(4≤i，j≤6)是不可約矩陣.

定理2.3設(shè)B=(βij)是可約矩陣，R0>1.

由文獻(xiàn)[22]的命題3.1和定理3.3知，本文上述引理2.1與引理2.2是成立的.同時(shí)，若定理2.1成立，則易得定理2.2與定理2.3.因此，下面重點(diǎn)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)以證明定理2.1.

2.2 定理2.1的證明

由于變量Ri沒(méi)有出現(xiàn)在模型(7)的前兩個(gè)方程中，所以考慮以下簡(jiǎn)化系統(tǒng)：

(8)

易知模型(8)的可行域?yàn)?/p>

(9)

并且

(10)

構(gòu)造模型(8)的李雅普諾夫函數(shù)

根據(jù)平衡點(diǎn)性質(zhì)，以下等式成立：

(11)

于是，沿系統(tǒng)(8)的解曲線對(duì)李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo)可得

(12)

(13)

所以

(14)

其中：D(3；l)表示具有長(zhǎng)度為l的定向循環(huán)的3個(gè)頂點(diǎn)的所有單圈圖的集合；CQ是在單圈圖Q屬于D(3；l)中具有長(zhǎng)度為l的定向循環(huán)；E(CQ)和E(Q)分別代表CQ和Q中的弧.由文獻(xiàn)[22]有

(15)

進(jìn)一步結(jié)合(14)和(15)式可得V′≤0.

3 數(shù)值模擬

表2 參數(shù)取值及變量初值

(1) 無(wú)病平衡點(diǎn)情形

(a)第1組第2組

(2) 地方病平衡點(diǎn)情形Ⅰ

(a)第1組第2組

(3) 混合平衡點(diǎn)情形

(a)第1組第2組

(4) 地方病平衡點(diǎn)情形Ⅱ

(a)第1組第2組

圖2—5中，I1，I2，I3代表3群體中第一組的染病者，I4，I5，I6代表3群體中第二組的染病者.

本文表明兩組SIR模型的全局漸近行為完全由基本再生數(shù)R0的大小確定.但和以往不同的是，在該結(jié)果中即使R0≤1也可能使霍亂疾病發(fā)生.因此對(duì)于霍亂疾病，除了要嚴(yán)格隔離治療病人和帶菌者外，還要杜絕人們喝生水、用生水浸泡蔬菜等習(xí)慣，防止外來(lái)霍亂細(xì)菌的入侵.