對(duì)《萬(wàn)有引力定律》的教學(xué)思考：地球質(zhì)量等于太陽(yáng)質(zhì)量嗎？

林曉青

摘要：本文針對(duì)人教版高中物理必修2萬(wàn)有引力定律的教學(xué)中，學(xué)生由于“參考系的不同選擇而算出太陽(yáng)與地球質(zhì)量相等”的錯(cuò)誤觀點(diǎn)從最初的“兩體運(yùn)動(dòng)”規(guī)律出發(fā)，一步步推導(dǎo)，最后得出最準(zhǔn)確的結(jié)果，即無(wú)論是以地球還是太陽(yáng)為參考系，最后算出來(lái)的都是太陽(yáng)與地球的質(zhì)量之和（），并非說(shuō)地球與太陽(yáng)的質(zhì)量相等。緊接著以所得到的結(jié)論，解釋了開(kāi)普勒第三定律的成立條件，并針對(duì)中學(xué)生教學(xué)，提出簡(jiǎn)單而又能讓學(xué)生容易接受理解的例子，即“雙星系統(tǒng)”來(lái)闡述本課題的結(jié)論！

關(guān)鍵詞：參考系 ; 兩體系統(tǒng) ; 折合質(zhì)量

在高中物理必修2萬(wàn)有引力定律的教學(xué)中，有學(xué)生提出這樣的問(wèn)題：如果知道地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T和引力常量G時(shí)，即可知道太陽(yáng)的質(zhì)量（設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為m，并假設(shè)地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)）;現(xiàn)在以地球?yàn)閰⒖枷?，則由物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可知此時(shí)變成太陽(yáng)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)周期仍然為T(mén)（忽略其它星球?qū)Υ讼到y(tǒng)的影響）。則此時(shí)由萬(wàn)有引力定律，可算出地球的質(zhì)量m，且地球與太陽(yáng)的質(zhì)量相等?。≡噯?wèn)，這樣的思維過(guò)程，錯(cuò)在哪里？

解答：當(dāng)?shù)厍蚶@太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力定律，有，可得出 （1）

反過(guò)來(lái)，當(dāng)以地球?yàn)橹行臅r(shí)，變成太陽(yáng)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則也有，可得出 （2）

這樣一來(lái)，得到;顯然，對(duì)于實(shí)際結(jié)果而言，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。下面針對(duì)這樣的錯(cuò)誤作一個(gè)具體分析：

首先介紹一下大學(xué)物理中關(guān)于“兩體運(yùn)動(dòng)”的一些基本情況。

令，則可得，這樣就具有與牛頓第二定律相同的表達(dá)式子;物理上，把稱(chēng)為兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)（兩體系統(tǒng)）的折合質(zhì)量或約化質(zhì)量。

這里簡(jiǎn)單說(shuō)明一下引入“折合質(zhì)量”的原因。牛頓第二定律是在慣性參考系中由實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及數(shù)據(jù)總結(jié)出來(lái)的規(guī)律，但它只能適用于慣性參考系中;而對(duì)于非慣性參考系，牛二定律將不再適用。這里引入“折合質(zhì)量”的原因，正是為了在非慣性參考系中，兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)在最后也能滿足牛頓第二定律這樣的形式，從而方便我們討論。

現(xiàn)在再回到太陽(yáng)與地球的兩體問(wèn)題。在實(shí)際的天體問(wèn)題中，由于兩物體之間的內(nèi)力作用（已假設(shè)忽略其它星球?qū)Υ讼到y(tǒng)的影響），太陽(yáng)也不是靜止不動(dòng)的。則由前面的介紹，可得若以太陽(yáng)為參考系，地球與太陽(yáng)之間的相互作用力為，從而地球相對(duì)太陽(yáng)的加速度大小

到這里，其實(shí)我們也可知道對(duì)于地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，地球的合外力

如果反過(guò)來(lái)以地球?yàn)閰⒖枷?，則看成太陽(yáng)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，算出的仍為。

總結(jié)：對(duì)于一開(kāi)始所提出的問(wèn)題，無(wú)論是以地球還是太陽(yáng)為參考系，最后算出來(lái)的都是太陽(yáng)與地球的質(zhì)量之和，并非說(shuō)地球與太陽(yáng)的質(zhì)量相等。

但是這里又會(huì)有另外一個(gè)疑問(wèn)：開(kāi)普勒第三定律中（其中M為中心天體，k表示常量），為什么只是除以中心天體的質(zhì)量而不是除以呢？

這是因?yàn)殚_(kāi)普勒在總結(jié)出開(kāi)普勒第三定律的時(shí)候，是假設(shè)了中心天體是靜止不動(dòng)的;而對(duì)于這樣的假設(shè)，其實(shí)是需要附加一個(gè)條件，即，即中心天體的質(zhì)量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于行星的質(zhì)量。當(dāng)然，在中學(xué)物理上，一般都是默許了這一條件。

所以，再次回到最初的問(wèn)題上，如果，則無(wú)論以太陽(yáng)為參考系或者地球?yàn)閰⒖枷?，最后算出?lái)的都是太陽(yáng)的質(zhì)量。

前面的推導(dǎo)過(guò)程是以大學(xué)物理的非慣性參考系中的物理規(guī)律為基礎(chǔ)而算出結(jié)果的，但對(duì)于中學(xué)實(shí)際教學(xué)，又該如何向?qū)W生講解，才能使學(xué)生較為容易接受呢？如果部分學(xué)生對(duì)于上面的解答過(guò)程的理解較為困難，也可考慮用中學(xué)生較為熟悉的“雙星系統(tǒng)”來(lái)稍作講解。當(dāng)然，從本質(zhì)上講，“雙星系統(tǒng)”問(wèn)題也只是“兩體系統(tǒng)”中的一部分。

行星運(yùn)動(dòng)中的“雙星系統(tǒng)”指的是兩顆恒星僅在彼此之間的引力作用下而繞著中心連線上的某個(gè)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。其實(shí)這個(gè)點(diǎn)正是該系統(tǒng)的質(zhì)心所在的點(diǎn)！那么由雙星系統(tǒng)，能夠算出的也僅僅是兩顆恒星的質(zhì)量之和。

解答：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2，角速度分別為、。根據(jù)題意有 ①

由這個(gè)例子也可看出，當(dāng)時(shí)，，即可近似看成作為中心天體，是幾乎靜止不動(dòng)的。這樣一來(lái)，算出的近似為的質(zhì)量的大小了。（完）

參考文獻(xiàn)

[1]趙凱華、羅蔚茵. 新概念物理教程——力學(xué). 高等教育出版社，2011.

[2]漆安慎. 力學(xué). 高等教育出版社，2007.