詣零換位子中心環(huán)的一些刻畫

邵雨凡， 陳建華， 魏俊潮

(揚州大學 >數(shù)學科學學院，江蘇 >揚州225002)

1 引 言

環(huán)的交換性的眾多條件，優(yōu)美且有對稱性，但經(jīng)過時代的發(fā)展，環(huán)論學者發(fā)現(xiàn)研究的環(huán)的交換性條件過于復(fù)雜，或是失去了創(chuàng)新性.隨著探究的深入，在近十年來，環(huán)論學者將重點轉(zhuǎn)移到局部化的半交換性問題上，如文獻[1-3]中所研究的CN環(huán)、JTTC環(huán)和擬正規(guī)環(huán)等，探究這些環(huán)的性質(zhì)并利用這些環(huán)刻畫一些經(jīng)典的環(huán)類，更寬泛地詮釋了半交換性問題所具有的意義與價值.本文基于對冪零元素及冪等元素的探究，主要研究在局部交換性條件下環(huán)所呈現(xiàn)的性質(zhì)，給出詣零換位子中心環(huán)的若干性質(zhì)和刻畫，其價值在于研究的結(jié)合環(huán)的半交換性問題保持了環(huán)的交換性的若干性質(zhì)，但條件的放寬意味著適合更多的環(huán)類，同時應(yīng)用性也得到增強.

本文中，R表示有單位元的結(jié)合環(huán)、N(R)表示R的全體冪零元的集合、Z(R)表示R的中心、E(R)表示R的全體冪等元集合.

定義1[4-6]若對任意a∈N(R)，x∈R，總有[a，x]∈Z(R)，其中環(huán)上兩個元素a與x的交換子定義為[a，x]=ax-xa，則稱R為詣零換位子中心環(huán)，簡稱NC環(huán).若E(R)?Z(R)，則稱R為Abel環(huán).若N(R)={0}，則稱R為約化環(huán).若對任意a∈R，當aRa={0}，總有a=0，則稱R為半素環(huán).設(shè)I是R的理想，若I中的每個元素都是R的冪零元素，則稱I是R的詣零理想；若N(R)∩I={0}，則稱I為R的約化理想.若對任意x，y∈R，總有[x，y]∈Z(R)，則稱R為換位子交換環(huán).

顯然交換環(huán)總是換位子交換環(huán)，但由文獻[7]知，換位子交換環(huán)未必為交換環(huán)，除非R為半素環(huán).換位子交換環(huán)當然是NC環(huán).

定義2[8]設(shè)a∈R，若存在b∈R，使得a=aba，則稱a是R的正則元；若存在b，c∈R，使得a=a2b=ca2，則稱a是R的強正則元.

定義3[9-10]設(shè)a∈R，若存在b∈R，使得a=aba，b=bab，ab=ba，則稱a為R的群可逆元，且稱b為a的群逆元，通常記為a#.用R#表示R的全體群可逆元的集合.

定義4[11]設(shè)*∶R→R為雙射，滿足條件：

(a*)*=a， (a+b)*=a*+b*， (ab)*=b*a*，

則稱R為卷積環(huán)或*-環(huán).設(shè)R為*-環(huán)，a∈R，若存在c∈R，使得

a=aca，c=cac， (ac)*=ac， (ca)*=ca，

則稱a為Moore Penrose可逆元，簡稱MP可逆元，且稱c為a的MP逆元，記為a+.用R+表示R的全體MP可逆元的集合.設(shè)a∈R#∩R+，若a#=a+，則稱a為R的EP元.用REP表示R的全體EP元的集合.

2 主要結(jié)果

NC環(huán)是一類特殊的結(jié)合環(huán)，下面通過研究NC環(huán)與多種環(huán)之間的聯(lián)系，給出NC環(huán)的性質(zhì)和刻畫.命題1指出NC環(huán)實際上也是Abel環(huán).

命題1NC環(huán)為Abel環(huán).

證設(shè)R為NC環(huán).任取e∈E(R)，任取a∈R，記h1=(1-e)ae，h2=ea(1-e)，則

h1e=h1，eh1=0=h2e，h2=eh2，

而

注意到

[h1，e]=h1e-eh1=h1-0=h1， [h2，e]=h2e-eh2=0-h2=-h2，

所以h1，h2∈Z(R)，從而

h1=h1e=eh1=0，h2=eh2=h2e=0.

因此對每個a∈R，ae=eae=ea，從而e∈Z(R)，故R為Abel環(huán).

注1 命題1的逆命題不成立：

故R不為NC環(huán).

設(shè)

則根據(jù)通常的矩陣加法及乘法，WT3(R)成為一個環(huán). 借助于NC環(huán)，下面的命題給出了交換環(huán)的一個刻畫.

命題2R為交換環(huán)當且僅當WT3(R)是NC環(huán).

由于R為交換環(huán)，故

于是WT3(R)是NC環(huán).

即

所以xy=yx，于是R為交換環(huán).

設(shè)

則根據(jù)通常的矩陣加法及乘法，V2(R)成為一個環(huán).

命題3設(shè)R為交換環(huán)，則V2(R)為NC環(huán).

注2 命題3的逆命題不成立，即當V2(R)為NC環(huán)時，R不必為交換環(huán)：設(shè)F是一個域，當取

為NC環(huán)時，R不是交換環(huán).

MN≠NM，所以R不是交換環(huán).

下面利用環(huán)同構(gòu)建立NC環(huán)、半素環(huán)以及交換環(huán)之間的聯(lián)系.

命題4設(shè)R為半素環(huán)，若V2(R)為NC環(huán)，則R為交換環(huán).

從而對任意的z∈R，(xy-yx)z=z(xy-yx)成立，因此xy-yx∈Z(R).由文獻[7]中定理1知R為交換環(huán).

設(shè)R為半素環(huán)，記T(R，R)={(a，b)|a，b∈R}，在T(R，R)中定義加法及乘法如下：

(a，b)+(x，y)=(a+x，b+y); (a，b)(x，y)=(ax，ay+bx)，

則T(R，R)為一個環(huán).

推論1設(shè)R為半素環(huán)，若T(R，R)為NC環(huán)，則R為交換環(huán).

·

所以f是同態(tài)映射.因為對任意的a，b，c，d∈R，a=c與b=d不同時成立.

設(shè)x是一個未定元，記R[x]為R上的一元多項式環(huán)，記(x)表示由x生成的理想，則有商環(huán)R[x]/(x2)，記為R〈x〉.容易看出R〈x〉={a+bx|a，b∈R，x2=0}，定義R〈x〉中加法及乘法如下：

(a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x； (a+bx)(c+dx)=ac+(bc+ad)x，

則R〈x〉為一個環(huán).

推論2設(shè)R為半素環(huán)，若R〈x〉為NC環(huán)，則R為交換環(huán).

證構(gòu)造映射g∶T(R，R)→R〈x〉，(a，b)a+bx，則容易證明g為環(huán)同構(gòu)，故由推論1知R為交換環(huán).

利用冪零元的性質(zhì)以及約化理想的結(jié)構(gòu)，可以得到NC環(huán)與約化環(huán)之間的聯(lián)系.

命題5設(shè)R為半素環(huán)，若V2(R)為NC環(huán)，則R為約化環(huán).

證若N(R)≠{0}，則有0≠a∈N(R)，從而存在正整數(shù)n，使得an-1≠0而an=0，易見n≥2. 由命題4知R為交換環(huán)，故

an-1Ran-1=Ran-1an-1=Ranan-2={0}.

由于R為半素環(huán)，則an-1=0，矛盾.故N(R)={0}，所以R為約化環(huán).

命題6設(shè)I是R的詣零理想.若R為NC環(huán)，則商環(huán)R/I也為NC環(huán).

因此商環(huán)R/I也是NC環(huán).

命題7設(shè)I為R的約化理想，若R/I為NC環(huán)，則R為NC環(huán).

(an-1ta)2=an-1tanta=0.

由于t∈I，則an-1ta∈I，故

an-1ta∈N(R)∩I={0}.

于是an-1ta=0.因為(an-1t)2=an-1taan-2t=0，且an-1t∈I，所以an-1t=0.若n=2，則at=0；若n>2，則(an-2ta)2=0，且an-2ta∈I，故又有an-2ta=0，進一步用上述方法可證，an-2t=0.若n=3，則at=0；若n>3，則重復(fù)上述過程，至多有限步，總可得at=0.從而，對任意y∈R，有aty=0.由于(ta)2=tata=0，且ta∈I，故ta∈N(R)∩I={0}，即ta= 0，因此(ayt)2=aytayt=0.由于ayt∈I，則對任意y∈R，ayt=0.由于

t2=[(ab-ba)x-x(ab-ba)]t=a(bx)t-baxt-xabt+xbat=0，

因此t=0，從而對任意x∈R，(ab-ba)x=x(ab-ba).故[a，b]∈Z(R)，所以R為NC環(huán).

命題8設(shè)R為有單位元的結(jié)合環(huán)，則下列條件等價：

(i)R為換位子交換環(huán)；

(ii)V2(R)是換位子交換環(huán)；

(iii)V2(R)是NC環(huán).

因此[A，B]∈Z(V2(R))，即V2(R)是換位子交換環(huán).

(ii)?(iii) 顯然.

從而[x，y]z=z[x，y]，所以[x，y]∈Z(R).因此R為換位子交換環(huán).

命題9設(shè)a是R的正則元，若R為NC環(huán)，則a是R的強正則元.

證由于a是R的正則元， 所以存在b∈R， 使得a=aba.記e=ab，g=ba，則

ea=a=ag，e2=e，g2=g.

由于R為NC環(huán)，則由命題1知R為Abel環(huán)，所以e，g∈Z(R)，于是

a2b=ae=ea=a=ag=ga=ga=ba2，

因此a是R的強正則元.

命題10設(shè)R為NC環(huán)，若a∈R+，則a∈REP.

證由于a∈R+，所以a=aa+a.由于R為NC環(huán)，由命題9的證明知a2a+=a=a+a2，從而

aa+=(a+a2)a+=a+(a2a+)=a+a.

由于a=aa+a，a+=a+aa+，所以a∈R#且a#=a+，從而a∈REP.

命題11設(shè)a∈R#∩R+，若[a#，a+]∈Z(R)，則a∈REP.

證由于[a#，a+]∈Z(R)，故[a#，a+]a=a[a#，a+]，即a#a+a-a+a#a=aa#a+-aa+a#.上式左乘a得

aa#a+a-aa+a#a=a2a#a+-a2a+a#

①

由于

aa#a+a=a#aa+a=a#a，aa+a#a=aa+aa#=aa#=a#a，a2a#a+=a(aa#)a+=a(a#a)a+=aa+，

從而①式變?yōu)閍a+-a2a+a#=0，即aa+=a2a+a#.由于

a2a+a#=a2a+(a#aa#)=a2a+(aa#a#)=a(aa+a)a#a#=aaa#a#=aa#aa#=aa#，

所以aa+=aa#，故a∈REP.

3 結(jié) 論

本文主要研究了詣零換位子中心環(huán)的一些性質(zhì)，刻畫了這類環(huán)的結(jié)構(gòu).分析了有單位元的結(jié)合環(huán)R與其上二階或三階矩陣環(huán)之間的關(guān)系，由此得到二階或三階矩陣環(huán)為詣零換位子中心環(huán)的條件.給出了其在局部交換性下呈現(xiàn)的性質(zhì)，以及其與約化環(huán)、Abel環(huán)等一些重要環(huán)類的聯(lián)系.除此之外，本文還介紹了詣零換位子中心環(huán)上的正則元、強正則元的定義與一些性質(zhì)，并討論了其上的廣義逆問題，為詣零換位子中心環(huán)的應(yīng)用提供理論基礎(chǔ).

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.