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——統(tǒng)計及統(tǒng)計案例高考考點題型例析

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

統(tǒng)計及統(tǒng)計案例與現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密，是高中數(shù)學的一個重要內容，也是高考命題的一個重點.下面舉例說明統(tǒng)計及統(tǒng)計案例高考考點題型，供參考.

一、抽樣方法

例1 (2019全國Ⅰ，文6)某學校為了解1000名新生的身體素質，將這些學生編號為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽100名學生進行體質測驗，若46號學生被抽到，則下面4名學生中被抽到的是( ).

A．8號學生 B．200號學生

C．616號學生 D．815號學生

點評本題考查系統(tǒng)抽樣方法，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；求解本題的關鍵是利用分段間隔10和46號學生被抽到判斷出所抽號碼的個位數(shù)是6；不難發(fā)現(xiàn)選出的號碼所構成的數(shù)列是以10為公差的等差數(shù)列，因此也可以利用等差數(shù)列的有關知識來解答；在抽樣方法中重點考查分層抽樣方法的應用和系統(tǒng)抽樣.

二、頻率分布直方圖的應用

例2 (2019全國Ⅲ，理17文17)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

圖1 圖2

記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70．

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．

解析(1)由已知得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計值為

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.

點評本題以頻率分布直方圖為背景，考查頻率分布直方圖中未知字母的求法及相關計算，考查了數(shù)據(jù)處理能力，體現(xiàn)了數(shù)學運算等核心素養(yǎng)；解決與頻率分布直方圖有關的問題，關鍵在于尋找出圖中的數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系；利用頻率分布直方圖去估計總體是考查的重點，偶爾出現(xiàn)畫頻率分布直方圖.

三、莖葉圖的應用

例3 (2014全國Ⅱ，文19)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民.根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分(評分越高表明市民的評價越高)，繪制莖葉圖如下：

(1)分別估計該市的市民對甲、乙部門評分的中位數(shù)；

(2)分別估計該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率；

(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.

分析(1)中位數(shù)就是將數(shù)據(jù)按從大到小或從小到大的順序重新排列最中間的數(shù)或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)；(2)要求高于90的概率，就是要數(shù)出高于90的個數(shù)；(3)由所給的莖葉圖來評價一組數(shù)據(jù)，主要看兩個指標，一個是中位數(shù)，另一個是標準差，其中從莖葉圖來觀察，數(shù)據(jù)越集中，其標準差越小，反之就越大.

(3)由所給的莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差，說明該市的市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大.

點評此題是文科的高考數(shù)學的統(tǒng)計題，求解此類題的關鍵是要熟練掌握統(tǒng)計學中的基本概念.

四、樣本的數(shù)字特征

例4(2019全國Ⅱ，文5)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是( ).

A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差

解析9個數(shù)據(jù)從低到高排列后，第5個數(shù)據(jù)為中位數(shù)，去掉第1個和最后1個數(shù)據(jù)后，中間的數(shù)據(jù)即中位數(shù)不變.故選A．

點評本題考查的是數(shù)字特征，考查了數(shù)據(jù)處理能力；求解本題的關鍵是對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的本質的理解.

五、相關關系的判斷與線性回歸方程

例5 (2016全國Ⅲ，理18)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.

(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；

(2)建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

分析(1)利用所給的數(shù)據(jù)和公式，求出相關系數(shù)r即可判斷出相關程度；(2)利用所給的數(shù)據(jù)及公式代入即可求出線性回歸方程，再把2016年對應的t=9代入即可得出結論.

解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得

六、獨立性檢驗

例6 (2019全國Ⅰ，文17)某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意男顧客4010女顧客3020

(1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率.

(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

分析(1)利用題表可以直接算出相應的概率；(2)將題表數(shù)據(jù)代入公式計算出K2的值，再與表中的k比較，即可作出相應的判斷.

點評本題考查概率的計算、獨立性檢驗；求解獨立性檢驗有關問題的關鍵是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)正確列出2×2列聯(lián)表以及根據(jù)公式準確計算出K2的觀測值k，若K2的值越大，則兩分類變量有關的把握越大.