探究一道高考填空題的11種解法

李昌成 茍芳蘭

(1.新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002；2.新疆庫(kù)爾勒市教育研究中心 841000)

茍芳蘭(1978-)，女，甘肅省武山人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、試題呈現(xiàn)

二、總體分析

如圖1，要求已知橢圓上一點(diǎn)M的坐標(biāo)，我們必須理清題意，準(zhǔn)確把握信息，并找到信息之間的關(guān)聯(lián).由橢圓方程知2a=12，2c=8，F(xiàn)1(-4,0),F2(4,0).因?yàn)椤鱉F1F2是等腰三角形，結(jié)合橢圓的軸對(duì)稱性知|F1M|=|F1F2|=8.進(jìn)而由橢圓的定義知|MF2|=2a-|MF1|=4.也就是說(shuō)，△MF1F2的三邊均已知.那么本題可以通過(guò)等積法求解；也可以借助正余弦定理解題；還可以直接求交點(diǎn).研究發(fā)現(xiàn)，本題入口寬闊，思路靈活，是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練思維，提高綜合解題能力的良好素材.

三、解答試題

1.利用等積法求解

2.借助三角函數(shù)解題

分析在直角三角形中定義了三角函數(shù)，此定義與角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)緊密相關(guān).已知三邊利用余弦定理能夠求得三角形的任一內(nèi)角的余弦值，二者結(jié)合起來(lái)，問(wèn)題可以得到解決.本問(wèn)題中，點(diǎn)M又在第一象限，就更容易處理了.

以下同解法5.

評(píng)注以上兩種方法恰當(dāng)利用了直角三角形與平面上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，解題中三角函數(shù)提供了有力的支撐.二倍角公式的應(yīng)用能感受到命題專家的良苦用心，把學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力考查得悄無(wú)聲息，酣暢淋漓.這兩種解法都避開了解析幾何的繁雜運(yùn)算.

3.直接求交點(diǎn)

分析本題中已有直線和橢圓，我們還可以發(fā)掘出相關(guān)的圓，利用直線與直線、直線與橢圓、橢圓與圓求交點(diǎn)也能順利地完成解答.求交點(diǎn)是解析幾何的基本知識(shí)，人人皆知，但是在高考的關(guān)鍵時(shí)候，腦海里一直在翻騰那些高大上的特殊技巧，而可能忽視這些通解通法.

解法8 如圖1，點(diǎn)M也可以看作是直線MF1與橢圓C的交點(diǎn).

解法9 如圖1，點(diǎn)M還可以看作是直線MF2與橢圓C的交點(diǎn).

評(píng)注以上五種解法利用解析幾何的基本方法，聯(lián)立直線與直線，或直線與曲線，或曲線與曲線求交點(diǎn)，思路簡(jiǎn)捷.這一題把解析幾何中的直線、圓、橢圓等主干知識(shí)進(jìn)行了全面的考查.在平時(shí)教學(xué)只要注意這些基本功的訓(xùn)練，學(xué)生應(yīng)該可以掌握，并形成知識(shí)技能.本題中直線方程需要自己建立，圓需要想象構(gòu)造，再建立其方程.這些就是能力的體現(xiàn).每種解法都是創(chuàng)新思維的產(chǎn)物，近年來(lái)高考特別強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新，我們平時(shí)訓(xùn)練要打破慣性思維的束縛.

四、解后反思

本題不是一道難題，但是一道好題.對(duì)學(xué)生的能力考查得淋漓盡致.不同層次的學(xué)生投入不同的時(shí)間都能解出來(lái)，代價(jià)不同而已.命題專家給學(xué)生留了很多入口，代數(shù)方向的，幾何方向的，二者結(jié)合的，用相應(yīng)的知識(shí)都能作答，以達(dá)到考查的學(xué)生知識(shí)技能目的.這啟發(fā)我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)過(guò)程中，務(wù)必把基礎(chǔ)知識(shí)扎牢，基本功訓(xùn)練到位，知識(shí)間的關(guān)系理順.提倡常規(guī)題型創(chuàng)新解答，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維.注重一題多解，在比較中發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解法，為正式考試贏得時(shí)間.平時(shí)教學(xué)應(yīng)注重知識(shí)的生成過(guò)程，這樣有利于知識(shí)的融會(huì)貫通，形成發(fā)散思維.還應(yīng)注意歸納總結(jié)，每類問(wèn)題有哪些處理的方法做到胸有成竹，防止在一棵樹上吊死.正如本題，三角形面積求法，交點(diǎn)的求法等等都不是一次性習(xí)得的，所以要抓住一些機(jī)會(huì)好好總結(jié)，而不是翻來(lái)覆去地刷題，形成思維定勢(shì)，練百個(gè)陳題不會(huì)做一個(gè)新題.小題大做，小題巧做，對(duì)提升大題的應(yīng)試能力也是大有裨益的.