焦點(diǎn)之弦 靈巧善變

章麗潔

(江蘇省常州市橫山橋高級(jí)中學(xué) 213119)

2018年全國(guó)Ⅱ卷文科第20題(理科第19題)，這是一道以拋物線為背景的解析幾何問題，以拋物線的焦點(diǎn)弦為切入點(diǎn)，通過求解焦點(diǎn)弦所在的直線方程以及滿足條件的圓的方程，淡化圓錐曲線的難度，巧妙把直線與圓錐曲線、直線與圓、圓與圓錐曲線的知識(shí)加以融合，降低解析幾何的難度，體現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合，提高能力，培養(yǎng)素養(yǎng).

一、真題在線

高考真題(2018·全國(guó)Ⅱ卷文·20,理·19)設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8.

(1)求l的方程；

(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

本題涉及拋物線的方程與幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，焦點(diǎn)弦，直線的方程與斜率，圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系等，考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力等.

二、多向思維

當(dāng)我們審?fù)暌坏李}以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進(jìn)行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.不同的切入點(diǎn)有不同的解法，多點(diǎn)思維，多向開花.

解析(1)解法1：(官方標(biāo)準(zhǔn)答案——拋物線定義法)

因此l的方程為y=x-1.

解法2 (弦長(zhǎng)公式法)

由題意得F(1，0)，l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因此l的方程為y=x-1.

解法3(焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度公式法)

解法4 (參數(shù)方程法)

解法5 (極坐標(biāo)方程法)

(2)解法1 (官方標(biāo)準(zhǔn)答案——圓的性質(zhì)法1)

由(1)中的解法1得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

解法2(圓的性質(zhì)法2)由(Ⅰ)中的解法1得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

羅增儒教授說過：“一旦獲解，就立即產(chǎn)生感情上的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯(cuò)過了提高的機(jī)會(huì)，無異于入寶山而空返.”通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)向機(jī)智及思維的應(yīng)變性，實(shí)現(xiàn)提高發(fā)散思維的變通性，提高知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，從而應(yīng)用更多的知識(shí)來解決問題，獲得“一題多練”、“一題多得”的效果.